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【全国名校】2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

1、20182019 学 年 河 北 省 衡 水 中 学高 三 年 级 上 学 期 四 调 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题数 学注 意 事 项 :1 答 题 前 , 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 , 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 : 每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 , 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非

2、选 择 题 的 作 答 : 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 , 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1下列命题正确的个数为梯形一定是平面图形;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A0 B1 C2 D32已知 是公差为 1 的等差数列, 为 的前 项和,若 ,则 8=44 4=A B3 C D452

3、 723已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点,则该双曲线的22=1() 2=8渐近线方程为A B C D= 3 =3 =13 =334如图,一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ,再由点 沿着置于水 平面的长方体的棱爬行至顶点 ,则它可以爬行的不同的最短路径有A40 条 B60 条 C80 条 D120 条5函数 的图象大致是()=22|A BC D6若 ,则(2+4)+(24)=32 =A B2 C D234 347某县教育局招聘了 8 名小学教师,其中 3 名语文教师,3 名数学教师,2 名全科教师,需要分配到 两个学校任教,其中每个学校都需要 2 名语文教师和 2 名数学,教师,则分

4、配方案种数为A72 B56 C 57 D638一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A B C D96+36 72+48 48+96 24+489已知函数 ,下列结论不正确的是()=2A 的图象关于点 中心对称=() (,0)B 既是奇函数,又是周期函数=()C 的图象关于直线 对称=() =2D 的最大值为=()32此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 10如图所示,某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为A B C D20009 400

5、027 81 12811已知 的准线交 轴于点 ,焦点为 ,过 且斜率大于 0 的直线交2=4 于 , ,则2=4,=600 |=A B C4 D3476 47312已知 是减函数,且 有三个零点,则()= 2,0(1+2),0 ()+的取值范围为A B (0,22)1,+) (0,22)C D1,+) 221,+)二、解答题13数列 满足 , ( ). 1=6 +1=69 (1)求证:数列 是等差数列;13(2)求数列 的前 999 项和.14在四棱锥 , , ,/=900,=2,平面 平面 , 分别是 中点.=4, , ,(1)证明: 平面 ; (2)求 与平面 所成角的正弦值 . 15在

6、 中,内角 所对的边分别为 ,已知 , ,.2+22=+2(1)求角 的大小;(2)若 的面积 ,且 ,求 . =2534 =5 +16如图,直线 平面 ,直线 平行四边形 ,四棱锥 的 顶点 在平面 上, , , , , = 7 = 3 =,/,=2分别是 与 的中点., (1)求证: 平面 ;/(2)求二面角 的余弦值.17如图,椭圆 : 的左右焦点分别为 ,离心率为 ,122+22=1(0) 1,2 32过抛物线 : 焦点 的直线交抛物线于 两点,当 时, 点在 轴上2 2=4 , |=74 的射影为 ,连接 并延长分别交 于 两点,连接 , 与 的面积1 ,) 1 , 分别记为 , ,

7、设 .=(1)求椭圆 和抛物线 的方程;1 2(2)求 的取值范围.18已知函数 的图象的一条切线为 轴.()=3223 (1)求实数 的值;(2)令 ,若存在不相等的两个实数 满足 ,()=|()+()| 1,2 (1)=(2)求证: .120 ()函数 的最大值为 或 时的函数值,结合 ,可得() =1 =33 (1)=010因为 ,即 ,整理化简得 ,=222+1=211+1 12=1, , ,|2=(21)2+(2221)2 |=1+1 |=2+1代入余弦定理 整理化简得:|2=|2+|22|600,又因为 ,所以 , ,1+2=103 12=1 1=13 2=3,选 B.|= (21

8、)2+(2221)2=473【点睛】圆锥曲线题目要注意题中几何关系,利用余弦定理是解决本题的关键。12D【解析】【分析】由于分段函数 是减函数,从而知道当 时, 为减函() 0 ()=(1+2)数,此时导函数 恒成立,从而求出 。再由于 有三个零点,()0 =1 =()+也就是函数 与 图象有三个交点,通过讨论 与交点的情况进而求出=()= 的取值范围。【详解】当 , 单调递减,0 ()=(1+2)可得 在0时 , ()=(1+2)(1+2)=(1)(1)0恒成立。当 , 恒成立,可得 ,而 ,所以 ,00 ()= =1+21令 , .令 得 ,()=1+21 ()=1+12 ()=0 =1+

9、2所以 , 单调递减; 时,(0,1+2)时 , ()0 (),()=(1+2)=22时, , 时, ,0()1 + ()+所以要使 在 有唯一解,=1+21 (0,+)只需 或 .=22 1故选 D.【点睛】零点问题是近年高考中常考题型,常常转化为构造两个函数交点问题,利用数形结合也是常见的方法。13(1)见解析;(2) 3+(+1)【解析】【分析】(1)方程两边减 3 后,取倒数可化简得 ,即可证明(2)化简1+13 13=13,相加相消求和即可 .=3(+1) =3+(+1)【详解】(1)数列 满足: , ( ) 1=6 +1=69 ,1+13= 1693=3+33(3)=13+ 13所

10、以, ,1+13 13=13即,数列 是以 为首项, 为公差的等差数列;13 113=13 13(2)由(1)得 ,解之得: ;1+13=13+( 1)13 =3(+1)所以, =3(+1) =3+(+1)于是,=3+21+3+32+3+(+1)=3+(+1)【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和,属于中档题.14(1)见解析(2)105【解析】【分析】(1)要证明直线 平面 ,只需要证明直线 与平面 内两条相交直 线都垂直,通过题中条件分析证明 分别垂直于 和 即可。(2)建立空间直角坐 标系,通过找出平面 的法向量,利用空间向量法计算线面角的公

11、式即可。【详解】(1)取 中点为 ,则由 可得 , = 因为平面 平面 ,所以 平面 ,故 , 而 , 交 于 ,所以 平面 ,可得到 . 连接 ,在直角梯形 中,易求得 ,而 , =22,=22 =4则 ,即 ,2+2=2 又 ,可得 平面 ,所以 . 又 , 与 交于 ,所以 平面 . (2)以 为原点, 方向分别为 轴, 轴, 轴正方向建立如图的空间直 , 角坐标系,则 , , , , .(0,0,0), (22,0,0) (0,22,0)(0,0,2)(2,0,0) (0,2,1)平面 的法向量为 , ,故所求线面角的正弦值 =(0,22,0)=( 2, 2,1)为 |=|= 4522

12、=105【点睛】在立体几何题中,二面角、线面角等问题,常常可以通过建立空间直角坐标系利用法向量方法来做,关键在于建立合适的坐标系,找准坐标和法向量,确定所求角。15() ;() .=3 3【解析】试题分析:()由余弦定理把已知条件化为 ,再由正弦定理化2=+2为角的关系,最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得 ,从而得 角;=12 ()由三角形面积公式求得 ,再由余弦定理可求得 ,从而得=25 2+2=50,再由正弦定理得 ,计算可得结论.+=10 +=(+)试题解析:()因为 ,所以由 ,2+22=+2 2=+2即 ,由正弦定理得 ,2=+ 2=+即 , ,2=(+) (+)=()= ,

13、即 ,2= (21)=0 , , , , .00) =2=4 =4,同理可得 ,故可将 化为 m 的代数|=41+2 |,|,| =|式,用基本不等式求解可得结果。试题解析:()由抛物线定义可得 ,(,74)点 M 在抛物线 上,2=4 ,即 2=4(74) 2=742又由 ,得 =32 2=32将上式代入,得 72=7解得 =1, = 3,,=2所以曲线 的方程为 ,曲线 的方程为 。 124+2=1 2 2=4()设直线 的方程为 , =+1由 消去 y 整理得 ,=+12=4 244=0设 , .( 1,1) (2,2)则 ,12=4设 , ,= =则 ,=2211=11612=14所以

14、 , =14设直线 的方程为 , =(0)由 ,解得 ,=2=4 =4所以 ,|= 1+2|=41+2由可知,用 代替 ,14 可得 , |=11+(14)2|= 1+ 1162由 ,解得 ,=24+2=1 = 242+1所以 ,|= 1+2|=21+242+1用 代替 ,可得14 |= 1+ 1162|=21+1162142+1所以=|=41+211+116221+242+121+1162142+1= 42+1 142+1= 42+2+142,当且仅当 时等号成立。=2+122 =1所以 的取值范围为 . 2,+)点睛:解决圆锥曲线的最值与范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关

15、系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值常从以下几个方面考虑:利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;利用基本不等式求出参数的取值范围;利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围18() ;()见解析 .=23【解析】【试题分析】(1)依据题设条件借助导数的几何意义求解;(2)依据题设构造函数 ,运用导数的知识分析推证:()=23(321)+ 1() , ,()=32 1 0设切点坐标为 ,由题意得(0,0)(0)=032023=0,(0)=32 010=0,解得0=1,=23.() ,令 ,()=|23(321)+ 1|

16、 ()=23(321)+ 1则 ,当 时, , ,()=( 1)+(12+12) 1 10 ()0又可以写成 ,当 时, , () ( +12)+12 00 ()0因此 在 上大于 0, 在 上单调递增,又 ,()(0,+) ()(0,+) (1)=0因此 在 上小于 0,在 上大于 0,()(0,1) (1,+)且 在 上单调递减,在 上单调递增,()=(),1,(),01 00故 在 上单调递增,()(1,+)所以 ,所以 ,()(1)=0 ()(1)0不妨设 ,则 ,0(12)而 , ,有单调性知 ,即 00 ()=332在 单调递增,在 单调递减,()(0,1) 1,+)所以 时, .=1 =(1)= 3【点睛】本题考查外接球,首先选取一个面,使得这个图形的外心容易被找到,常见的选取面有直角三角形(斜边中点),正三角形(内心)等.研究多面体的外接球问题,要运用球的性质,还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。