【全国名校】2018-2019学年广东省广州市番禺区高二上学期期中考试文科数学试题（解析版）

1、2018-2019 学 年 广 东 省 广 州 市 仲 元 中 学 高 二 上 学 期 期 中考 试数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答

2、 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1 已知集合 ，那么“ ”是“ ”的（ ）2,1,0AaB1aABA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件2某单位共有老、中、青职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的2 倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 3

3、2 人，则该样本中的老年职工人数为( )A9 B18 C27 D363已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为22+24=1 (2 ， 0) A B C D13 12 22 2234执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则输入的 （ ）yxA B C D 或124145设非空集合 满足 ，则（ ）， =A ，有 B ，有 C ，使得 D ，使得0 0 0 06甲、乙两名同学 次数学测验成绩如茎叶图所示， 分别表示甲、乙两名同学 次数学测验成8 1,2 8绩的平均数， 分别表示甲、乙两名同学 次数学测验成绩的标准差，则有1,2 8A ， B ，12 127已知一组数据（1，2） ， （ 3，5

4、） ， （6，8） ， 的线性回归方程为 ，则 的值为(0,0)=+2 00（ ）A-3 B -5 C-2 D-18已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为 2222=1(0,0) 3 ( )A B C D=2 =22 =12 =29 7 名学生中有且只有 3 名同学会说外语，从中任意选取 2 人，则这 2 人都会说外语的概率为（ ）A B C 13 13 23 15 15D1710已知椭圆 C： 的离心率为 ，直线 l 与椭圆 C 交于 两点，且线段22+22=1( 0， 0) 32 ， 的中点为 ，则直线 l 的斜率为（ ） (2， 1)A B C D113 23 1211 （ 2

5、011湖北）若实数 a， b 满足 a0，b0，且 ab=0，则称 a 与 b 互补，记 （a，b）=ab 那么 （a，b） =0 是 a 与 b 互补的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要的条件C充要条件 D既不充分也不必要条件12椭圆 的左焦点为 为上顶点， 为长轴上任意一点，且 在原点 的右侧，2+22=1(|0此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A B C D(0,22) (0,12) (12,1) (22,1)二、填空题13已知点 ，动点 满足 ，若(0， 2)、 (0,2) (， ) 2+2+4+4+2+24+4=10，则 _|=7 |=14已知双曲线的一条渐近线

6、方程为 ，且过点 ，则该双曲线的标准方程为=0 (1， 2)_15若 “ ”是“ 函数 的图象不过第三象限”的充要条件，则实数 _ ()=(13)+13 =16设 分别是椭圆 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为 ，1， 2225+216=1 （ 6， 4）则 的最大值为_|+|1|三、解答题17命题 ；： ， 2+1 0命题 q：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆2+2+24=1若命题 p 与 q 至少有一个是假命题，求实数 a 的取值范围18已知双曲线 C： 的一条渐近线倾斜角为 ，过双曲线的右焦点且垂直于 x2222=1(0,0) 3轴的直线与双曲线交于 两点，设 到双曲线的

7、同一条渐近线的距离分别为 和 ，且、 、 1 21+2=6（1）求双曲线 C 的离心率；（2）求双曲线 C 的方程19某学校用简单随机抽样方法抽取了 30 名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校 900 名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的 7 名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各 1 人，参加读书日宣传活动.（i）共有多少种不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过 2 小时的概率.20一台机器的使用年限 （年）和所支出的维修费用

8、 （万元）有如下统计数据： 已知 与 之间有线性相关关系. （）求 关于 的回归方程； （）估计使用年限为 年时，维修费用约是多少 ?10参考公式：线性回归方程 中斜率和截距公式分别为：=+， .=1()()=1()2 =21某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费.（1）求某户居民用电费用 （单位：元）关于月用电量 （单位：度）的函数解析式；yx（2 ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，

9、获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过 260 元的点80%，求 的值；,ab（3）在满足（2）的条件下，估计 1 月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 22设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，过 与 垂直的2:0xyCab1F2A2F直线交 轴负半轴于 点，且 .Q12FQ（1）求椭圆 的离心率；（2）若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；A2 30xyC（3）过 的直线 与（2）中椭圆交于不同的两点 、 ，则 的内切圆的面积是

10、否存在最2Fl MN1F大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.2018-2019 学 年 广 东 省 广 州 市 仲 元 中 学 高 二 上 学 期 期 中考 试数 学 答 案1 C【解析】由题得： ，则 成立，而1a,1,01ABAB且 ，所以前后互推都成立，故选 C2,0AaBAB2 B【解析】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果设老年职工有 x 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，则中年职工有2x，x+2

11、x+160=430，x=90，即由比例可得该单位老年职工共有 90 人，在抽取的样本中有青年职工 32 人，每个个体被抽到的概率是32160=15用分层抽样的比例应抽取 90=18 人故选 B15考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过3 C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为 ，从而求得 ，再根据题中(2 ， 0) =2所给的方程中系数，可以得到 ，利用椭圆中对应 的关系，求得 ，最后利用椭圆离2=4 , =22心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知

12、，因为 ，=2 2=4所以 ，即 ，2=2+2=8 =22所以椭圆 的离心率为 ，故选 C. =222=22点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中 的关系求得结果.,4 D【解析】该程序框图表示的是分段函数， 输出的 由 得2log, ,xy2,y2log x，由 ，得 ，输入的 或 ，故选 D.4x2 x11x45 B【解析】【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合 Venn 图判断元素与集合的关系即可【详解】解： ，= A 错误；B 正确；C 错误； D 错误故选：B【点睛】本题考查命题真

13、假的判断，考查子集的关系，属于基础题型.6 B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【详解】由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92.乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93. ，1=18(78+79+84+85+85+86+91+92)=85；12=18(7885)2+(7985)2+0+0+(8685)2+(9185)2+(9285)2=1718，2=18(77+78+83+85+85+87+92+93)=8522=18(7785)2+(7885)2+0+0+(8785)2+

14、(9285)2+(9385)2=2308 ，1=2 10+204+2 21 2 1 1 4 ： 2 1 1 4若 p 与 q 至少有一个是假命题，则当 同时为真命题时，则 ，得 ， 40,0)2222=1( 0， 0) 3，即 ，=3=3 =3 ，=2+2=2+32=2双曲线 C 的离心率 =2=2（2）由题意可得图象如图， 是双曲线的一条渐近线 ，即 ， = =0作 ， ， 所以 是梯形；因为 F 是 的中点，所以 ， =1+22 =3又 ，所以由点到直线距离公式可得， ，(， 0) =2+2= ， ， ，=3 =3 =9+3=23则双曲线的方程为： 2329=1【点睛】本题主要考查双曲线的

15、离心率与方程，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.19 （ ）210；（） （）12；（） 12【解析】试题分析：（）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生人数为 7 人，所占比例为 ，因此该校 900 人中的“读书迷”730的人数为 人；（） （）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”790213为 ， ， ，抽取的女“读书迷”为 ， ， ， (其中下角标表示该生月平均5a84a34b63840b课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（）根据题意可知，符合条件的基本事件为， ， ， ， ，于是可以求出概率.354,b

16、356,386,b383840,a410,a试题解析：（）设该校 900 名学生中“读书迷”有 人，则 ，解得 .x79x210所以该校 900 名学生中“读书迷”约有 210 人. （） （）设抽取的男“读书迷”为 ， ， ，抽取的女“读书迷”为35a841a， ， ， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，34b63840b则从 7 名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各 1 人的所有基本事件为：， ， ， ，354,a356,358,a3540,b， ， ， ，8b8 8， ， ， ，413,4136,4138,410,所以共有 12 种不同的抽取方法 （）设 A 表示事件“抽取的男、

17、女两位读书迷月均读书时间相差不超过 2 小时” ，则事件 A 包含 ， ， ， ， ， 354,ab356,386,ab38,3840,ab410,6 个基本事件， 所以所求概率 612PA20 （ I） ；（II） 万元.=0.160.14 1.46【解析】【分析】（）求出对应的系数，求出回归方程即可；（）代入 x 的值，求出对应的函数值即可【详解】解:（） ,=2+3+4+5+65 =4,=0.2+0.3+0.5+0.7+0.85 =0.5,5=1()()=2(0.3)+(1)(0.2)+00+10.2+20.3=1.6,5=1()2=(2)2+(1)2+02+12+22=10,=5=1(

18、)()5=1()2 =1.610=0.16,=0.50.164=0.14故线性回归方程为 .=0.160.14（）当 时, ,=10 =0.16100.14=1.46故估计使用年限为 年时，维修费用约是 万元.10 1.46【点睛】本题主要考查线性回归方程.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为,=12,=1 ,； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助=+ (,)我们分析两个变量的变化趋势.21 （ 1） ；（2） ；（3） .0.5,086241,xy0.15,.02ab1

19、705【解析】试题分析：1）根据电价的分档情况，可以写出分段函数，当 时， x；当 时， ，当 时， 05yx 240x052820860yx 4；（2）由（1）可知：当 时， 814x 2y，则 ，根据频率分布直方图可知 ，解出40x408Px 0.120.3852ba；（3）分别求出各组中值点的电价，并求其概率（频率） ，再求平均值.15,.2ab207140203154017y 试题解析：（1）当 时， ；x5yx当 时， ，20402820860x 当 时， ，x141y 所以 与 之间的函数解析式为： ；5,0862014,xy（2）由（1）可知：当 时， ，则 ，26yx8Px结合

20、频率分布直方图可知： ，0103852ba ；015,2ab （3）由题意可知 可取 50，150，250，350，450，550X当 时， ， ，x05y 2501Py当 时， ， ，15017 7当 时， ， ，2x284y 403y当 时， ， ，350520 2P当 时， ， ，450x13y 15y当 时， ， ，284 40故 的概率分布列为：Y25 75 140 220 310 410P01 02 03 02 015 005所以随机变量 的数学期望X2501724032031540175EY 22 （1） ；（2） ；（3） 的内切圆的面积的最大值为 ，此时直线 的方1xyFMN

21、 96l程为 .x【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质写出点的坐标 ，0 Ab， ，由向量的坐标运算计算 ，由这个关12 0 Fcc， ， ， 3 0Qc， 230QAFcb系可解得 ；（2） 外接圆圆心为斜边 的中点 ，半径 ，由相1ea2RtAF 21 ， rc切的性质得 ，求出 ，再由 ，求出 即可；3cc1cea,b（3）设 的内切圆的半径为 ，则 的周长为 ，由此可得1FMN 1MN 48a，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立得12212Syy l1xmy，由根与系数关系代入 ，换元令 ，234690m 122134FMNS 21tm转化为 ，可知当 时， 有最大值 ，从而求出内

22、切圆面1213FMNtSt t1R积的最大值与相应的直线方程即可.试题解析：（1）由题 ， 为 的中点.设 ，则 ，0 Ab， 1F2Q12 0 Fcc， ， ， 3 0Qc， ，由题 ，即 ，3 AQcb， 2 c， 2A 23AQb 即 ， .220a24acea（2）由题 外接圆圆心为斜边 的中点 ，半径 ，2RtAF 2QF1 0c， 2rc由题 外接圆与直线 相切， ，即 ，即 ，tQ 30xydr334c ， ， ，故所求的椭圆 的方程为 .1c2acbC214xy（3）设 ， ，由题 异号，1 Mxy， 2 Nxy， 12 y，设 的内切圆的半径为 ，则 的周长为 ，F RFMN 8a，1 1142MNS因此要使 内切圆的面积最大，只需 最大，此时 也最大， 1FMNS，112212FMNSyy由题知，直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，l l1xmy由 得 ，2143xmy24690ym由韦达定理得 ， ， （ ）123y12340mR，122211214FMNSym令 ，则 ， ，tmt123FMNtSt当 时， 有最大值 3，此时， ， ，1t14FMNSR 0max34R故 的内切圆的面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 .1 916l1考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.