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【全国名校】2019届重庆市重庆第一中学高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

1、2019 届 重 庆 市 重 庆 第 一 中 学高 三 ( 上 ) 期 中 数 学 试 卷 ( 文 科 )数 学注 意 事 项 :1 答 题 前 , 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 , 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 : 每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 , 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的

2、作 答 : 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 , 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 则=|10) 3 ,则|=4 =A4 B2 C1 D 39已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 , 的顶点 恰为 的两焦点,顶 (3,4) =233 , 点 在 上且 ,则 |=A B C D277 277 2 210若函数 有两个不同的零点,则实数 的取值范围是()= A B C D(,1) (,) (

3、0,1) (0,)11巳知数列 的前 n 项和为 ,首项 ,且满足 ,则 等于 1=23 +1+2=(2) 2018A B C D20162017 20172018 20182019 2019202012(题文)已知双曲线 的右顶点为 , 为坐标原点,以 为圆心的:2222=1(0,0) 圆与双曲线 的某渐近线交于两点 , ,若 ,且 ,则双曲线 的离心率为 =60 A B C D74 73 72 7二、填空题13函数 在点 处的切线方程为_;()=(+2) (1,(1)14若 x, ,且 ,则 的最小值为_;+ +2=12+115已知 , 分别是椭圆 的左、右焦点, 为椭圆 上一点,且1 2

4、 :22+29=1(3) ,则 _12=120|1|2|=16已知函数 满足 ,且对任意 恒有 ,则()(1)=12 , 2(+2)(2)=()+()_(2018)+(2019)=三、解答题17在 中,角 所对的边分别为 ,且 . , ,+=1(1)证明: 成等比数列;,(2)若 ,且 ,求 的周长.=3 32=22+1 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 18如图 1,在直角 中, , 分别为 的中点,连=90,=43,=23 , ,结 并延长交 于点 ,将 沿 折起,使平面 平面 ,如图 2 所示 图 1 图 2(1)求证: ;(2)求四棱锥 的体积19已知数列 满足 ,

5、数列 满足 , +2+=2+1() +1=+1()且 .1=1,3=5,5+7=22()求 及 ; ()令 ,求数列 的前 项和 =, 20已知椭圆 的左右焦点分别为 ,且 为抛物线1:22+22=1(0) 1,2 2的焦点, 的准线被 和圆 截得的弦长分别为 。2:2=2(0) 2 1 2+2=2 22,4(1)求 方程;1,2(2)已知动直线 与抛物线 相切(切点异于原点),且与椭圆 相交于 两点,若椭圆 2 1 ,上存在点 ,使得 ,求实数 的取值范围。1 +=(0) 21已知函数 ()=1求 的单调区间;(1)() 证明: 其中 e 是自然对数的底数, ( ) ()+1( =2.718

6、28)22在平面直角坐标系中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的 极坐标方程为 ,直线 的参数方程为 ( 为参数),点 的极坐标为24+1=0 =3+32=3+12 ,设直线 与曲线 相交于 两点(23,6) ,(1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程; (2)求 的值|23设函数 。()=|2|+1|(1)解不等式 ;()1(2)记函数 的最大值为 ,若 ,证明: 。() +=3(,0) +12019 届 重 庆 市 重 庆 第 一 中 学高 三 ( 上 ) 期 中 数 学 试 卷 ( 文 科 )数 学 答 案参考答案1D【解析】【分析】化简集合 ,根据并集

7、运算即可.=0,1,2【详解】因为 , ,所以 ,故选 D.=0,1,2 =1,0,1 =1,0,1,2【点睛】本题主要考查了集合的并集运算,属于容易题.2A【解析】【分析】根据等比数列可知, ,所以 ,故 可求出.3=12 2=3 5=32【详解】因为 ,所以 ,故 ,所以选 A.3=12 2=3 5=32=23 3=6【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,属于中档题.3B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为 ,故选 B.1575=1515=1230=14【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式,属于中档题.4D【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【

8、详解】A 选项中 故不是奇函数, B 选项中 故不是奇函数, C 选项中()() ()=()故不是奇函数, D 选项中 ,是奇函数,故选 D.()=() ()=33+=3+3=()【点睛】本题主要考查了奇函数的判定,属于中档题.5B【解析】【分析】根据数量积的性质, ,展开计算即可. |2|2=(2)2【详解】因为 ,所以选 B.|2|2=(2)2=424+2=44 330+3=1【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质,属于中档题.6C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图:由 z=2xy 得 y=2xz,平移直线

9、y=2xz,由图象可知当直线 y=2xz 经过点( 0,2)时,直线的截距最大,此时 z 最小,此时 z=02=2,故选:C【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键7D【解析】设圆心 ,则 ,因此圆 的方程为 即(,0),(0)|3+4|5 =23+45 =2=2 (2)2+2=4,选 D.2+24=08B【解析】【分析】设 A ,根据抛物线的定义知 ,(22,) |=+2=22+2=4又 ,联立即可求出 p.=2=222=3【详解】设 A ,根据抛物线的定义知 ,(22,) |=+2=22+2=4又 ,联立解得 ,故选 B.=2=222=3 =2【点睛】本题主要考查了

10、抛物线的定义及斜率公式,属于中档题.9A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 ,由过点 ,可得双曲线方程,利2432= (3,4)用正弦定理可知 ,根据双曲线方程即可求出.=|【详解】设双曲线方程为 ,因为过点 ,代入得 ,即双曲线方程为 ,故2432= (3,4) =4 2423=1,由正弦定理可知 ,故选 A.2=4,2=27=|=22=277【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和简单性质以及正弦定理,属于中档题.10C【解析】【分析】令 得出 ,在同一坐标系内画出 和 ,利用图象求出曲线()=0 = = =过原点的切线方程,即可求出.=【详解】函数 ,其中 ,令 得出 ,

11、()= 0 ()=0 =在同一坐标系内画出 和 的图象,如图所示:= =设曲线 上点 ,则 ,所以过点 P 的切线方程为 ,= (0,0) =1 0=10(0)因为直线过原点,所以 ,解得 ,所以切线斜率为 ,所以实数 的取值范围0=1,0=1 0=1 是 ,故选 C.(0,1)【点睛】本题主要考查了函数零点的应用问题,也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题,属于中档题.11D【解析】【分析】直接利用递推关系式和猜想法求出数列的通项公式,最后利用数学归纳法进行证明,进一步求出结果【详解】数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 Sn+ (n2 ),1+2=则: ,+1+2=1所以: ,=11+

12、2,由于 1=1=23当 n=2 时, = ,2=11+234当 n=3 时, ,3=12+2=45猜想: ,=+1+2下面用数学归纳法来证明:当 n=1 时, ,1=1=23当 n=k 时, ,=+1+2则当 n=k+1 时, = = ,+1=1+2 12+1+2(+1)+1(+1)+2综上所述: =+1+2所以: 2018=2018+12018+2=20192020故选:D【点睛】本题考查的知识要点:利用递推关系式求出数列的通项公式,数学归纳法的应用12C【解析】试题分析:因为 且 ,所以 为等边三角形,设 ,则=600 =3,渐近线方程为 , ,取 的中点 ,则 ,由勾股定理可得 ,所以

13、 ,在 中,所以 ,结合 ,可得 故选:A考点:双曲线的简单性质.13 =+1【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式计算 f(1)的值,即可得切点坐标,进而求出函数的导数,求出f( 1)的值,即可得切线的斜率,由直线的点斜式方程计算可得答案【详解】根据题意,f(x)=ln(x+2 ),则 f( 1)=ln1=0 ,即切点的坐标为(1,0),又由 f(x)= ,则 k=f(1)=1,1+2则切线的方程为:y=1(x+1),即 y=x+1,故答案为:y=x+1【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程,关键掌握导数的几何意义,属于基础题148【解析】【分析】由题意可得 + =( + )(x+2y),

14、展开利用基本不等式可得最小值21 21【详解】x0,y0,且 x+2y=1,求 + =( + )(x+2y)21 21=4+ + 3+2 =4+4=82 4当且仅当 ,并且 x+2y=1 即 x= 且 y= 时取等号,4= 12 14 + 的最小值为 821【点睛】本题考查基本不等式求最值,“1”的代换是解决问题的关键,属基础题1536【解析】【分析】根据椭圆的定义知 , ,再由余弦定理|1|+|2|=2=29可得 ( 2)2=4236=|1|2+|2|22|1|2|120,即可解出.=( |1|+|2|)2|1|2|【详解】由椭圆定义可知 ,且 ,|1|+|2|=2 |12|=2=229根据

15、余弦定理得: ,|12|2=|1|2+|2|22|1|2|120所以 4(29)=422|1|2|+|1|2|=42|1|2|解得 ,故填 36.|1|2|=36【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆方程,余弦定理,属于中档题.16 32【解析】【分析】根据 可归纳出函数为周期函数,利用周期函数的性质求解即可.2(+2)(2)=()+()【详解】令 ,可得 ,所以 =1 2(1)(0)=(1)+(1)=2(1) (0)=1令 ,可得 ,所以 =2,=0 22(1)=(2)+(0) (2)=12令 ,可得 ,所以 =3,=1 2(2)(1)=(3)+(1) (3)=1令 ,可得 ,所以 =4,=

16、0 22(2)=(4)+(0) (4)=12令 , 可得 ,所以 =5,=1 2(3)(2)=(5)+(1) (5)=12令 ,可得 ,所以 =6,=0 22(3)=(6)+(0) (6)=1令 , 所以 =7,=1 (7)=12故函数是 6 为周期的周期函数所以 , .(2018)=(2)=12,(2019)=(3)=1 (2018)+(2019)= 32【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性,属于中档题.17(1)见解析(2)9【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦定理求出结果(2)利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果【详解】证明:由正弦定理得:且 整理得:

17、,(1)+=1 +=1所以: ,所以: ,由正弦定理得: ,故:a,c,b 成等比(+)=1 2= 2=数列由 ,所以: ,所以: ,(2) 32=22+1 322=2 (26)=1解得: 由余弦定理得: ,由于: =3 2=2+22 =3故: 于是得: ,解得: =2=9 9=(+)23=(+)227 +=6所以 的周长为 +=9【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型18(1)见解析(2)532【解析】【分析】()利用折叠问题的应用,根据面面垂直转换为线面垂直,进一步求出线线垂直()利用

18、()的结论,进一步利用锥体的体积公式求出结果【详解】 如图所示:( )证明:由条件可知 ,E 为 BD 的中点,=所以: ,又面 面 BDC,面 面 ,且 面 ABD, = 所以: 面 BCD,又因为 平面 BCD,所以: 由题给数据知 , 为等边三角形,E 为 BD 的中点,(2) =6 因此 中, , ,=60=3 =60=3,因此 , ,=30=1 四边形 =126 3121 3=532由 知 面 BCD,所以 , (1) =13四边形 =135323=532【点睛】本题考查的知识要点:相面垂直和面面垂直之间的转换,锥体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型19

19、(1) ;(2) .=21 =(23)2+3()【解析】【分析】(1)根据题意判断 等差数列, 等比数列,联立方程即可求解( 2)根据数列通项公式, 可用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可得 为等差数列, 为等比数列,设 的公差为 ,则 由题意可得: +1=3=5=1+25+7=26=21+10=22 1=1=2 =21于是 ,而 ,+1=2 1=1=1=21(2)由题意: ,由错位相减法,得:=(21)21=120+321+522+(23)22+(21)212=121+322+(23)21+(21)2两式相减,得:=1+2(2+22+21)(21)2=1+(2+14)(21)2=3(

20、23)2于是: =(23)2+3()【点睛】本题主要考查了等差数列,等比数列的定义及通项公式,错位相减法求和,属于中档题.20(1)见解析;(2) .(2,0)(0,2)【解析】【分析】(1)根据题意 , ,即可求出方程(2)设出直线22=22 2=4,2=,联立直线与椭圆、抛物线方程,运用韦达定理及向量运算即可求解.:=+(0)【详解】(1)由题得 ,故 22=222=4 (2)由题知 存在斜率且不为 0,设 联立 :=+(0),(1,1),(2,2),(0,0),因为 与 相切,故 =+2=8 288=0 2 1=022+=0联立 ,=+2+22=8 (2+2)2+2+28=0两根为 ,1

21、,2所以 ,又1+2=22+2,12=282+2202+1 1+1 (0,1)(1,+) (1,+) (0,1)研究新构造函数的单调性,即可得出【详解】 根据题意,函数 ,其定义域为 ;( ) ()=1 (0,1)(1,+)其导数 ,令 ,则 ,()=11(1)2 ()=11 ()=12分析可得:在 上, , 为增函数,(0,1) ()0 ()在 上, , 为减函数;则 ,(1,+) ()+1 1+1 (0,1)(1,+)分 2 种情况:, 时, ,(1,+)1+1210令 ,则 ,()=21 ()=+322令 ,()=+322则 , , , ,()=+3241 ()=+64 1 ()0故 在

22、 上单调递增,故 ,()(1,+) ()(1)=20故 在 上单调递增,()(1,+)于是 ,所以 ,()(1)=20 ()0所以 在 上单调递增,()(1,+)因此, 时, ,即 ,1 ()(1)=0 210下面证明 时的情况: (0,1)令 , ,故 在 上单调递增,()=1 ()=10 ()(0,1)于是 时, ,即 , ,(0,1) ()(0)=0 10 +10 ()(0,1)故 时, ,即 , (0,1) ()1+1综上所述: ()+1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式的方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题22(1) , (2)1(2)

23、2+2=3 3=0【解析】【分析】() 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线 C 的直角坐标方程,消去参数即可得到直线l 的普通方程;() 点 A 的直角坐标为( 3, ),设点 P,Q 对应的参数分别为 t1,t 2,点 P,Q 的极坐3标分别为( ),( )将 (t 为参数)与(x2) 2+y2=3 联立,得:1,6 2, 6 =3+32=3+12 t1t2=1,|AP|AQ|=1 ,转化求解 |AP|AQ|OP|OQ|的值【详解】 曲线 C 的直角坐标方程为: ,即( ) 2+24+1=0,直线 l 的普通方程为 (2)2+2=3 3=0 点 A 的直角坐标为 ,设点 P,Q 对应的参数

24、分别为 , ,点 P,Q 的极坐标分别为( ) (3,3) 1 2, 将 为参数 与 联立得: ,(1,6) (2,6). =3+32=3+12 ( ) (2)2+2=3 2+23+1=0由韦达定理得: , 12=1 |=1将直线的极坐标方程 与圆的极坐标方程 联立得:=6() 24+1=0,由韦达定理得: ,即 223+1=0 12=1 |=1所以, |=12|12|=1【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化,考查转化思想以及计算能力23(1) 解集为 ;(2)见解析.0,+)【解析】【分析】(1)去绝对值号转化为分段函数即可求解(2)由(1)知 ,根据()=3=,构造后利用均值不等式即可.+=1【详解】(1) ,易得 的解集为 .()= 3,12+1,123,2 ()1 0,+)(2)由(1)知 ,于是 因为()=3= +=1,移项即得证.+2+2+2【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,均值不等式在证明中的应用,属于中档题.