1、专题 13 不等式、推理与证明1【2019 年高考全国 I 卷文数 】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯” 便是如此此外，最美人512体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且512腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，5151,22ACBD腿长为 105 cm 得，即 ， 0CD，5164.892AC，.1056.89
2、D所以 AD169.89.头顶至脖子下端长度为 26 cm，即 ABb2abab4ab，解得 ，充分性成立；244当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述， “ ”是“ ”=1, =54+ 4ab的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.,ab8 【2018 年高考北京卷文数】设集合 则(,)|1,4,2,AxyaxyaA对任意实数 a， B对任意实数 a， （2，1）(2,1) AC当且仅当 a8 2 |2 2 8 |2【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法
3、、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10 【2018 年高考天津卷文数】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy52410xy， ， 35zxyA6 B19 C21 D45【答案】C【解析】绘制不等式组 表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函52410xy， ，数在点 A 处取得最大值，联立直线方程得 ，可得点 A 的坐标为 ，据此可知目标函51xy2,3数的最大值为： .本题选择 C 选项.max3523zy【名师点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y
4、 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.11【2017 年高考天津卷文数】设 ，则“ ”是“ ”的xR2x|1|xA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 ，可得 ，由 ，可得 ，即 ，20x2x|1|1x02x因为 ，所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，故选 B0x|【名师点睛】判断充要关系的的方法：根据定义，若 ，那么 是 的充分而不必要,/pqpq条件，同时 是 的必要而不充分条件，若 ，那么 是 的充要条件，若 ，qp,/p那那么 是 的既不充分也
5、不必要条件；当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若， ，若 是 的真子集，那么 是 的充分而不必要条件，同时 是 的必要而:pxA:BApqq不充分条件，若 ，那么 是 的充要条件，若没有包含关系，那么 是 的既不充分也不必要pqp条件；命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“ 是 ”的关系转化为“ 是”的关系进行判断p12【2017 年高考天津卷文数】已知奇函数 在 上是增函数若()fxR，则 a， b， c的大小关系为0.8221(log),(log4.1),5afbfcA Bc C D【答案】C【解析】由题意可得 ，且 ， ，所以221(log)(l5)aff22log
6、l4.10.82，0.822log5l41结 合 函 数 的 单 调 性 ， 可 得 ， 即 ， 即 故 选 C0.822(log5)(l4.1)()fffabcba【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式13【2017 年高考全国 I 卷文数 】设 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为3,10,xyA0 B1C2 D3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数 经过 时 z 取
7、得最大值，故zxy(3,0)A，故选 Dmax30z【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围14【2017 年高考浙江卷】若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是xy032xy2zxyA0，6 B0，4C6， D4，)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 时取最小值 4，无最大值，选 D(2,1)【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不
8、等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为 （或 ） ， “ ”取下方， “ ”取上方，并明确可行域对应0AxByCykxbykxb的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围15【2017 年高考全国 II 卷文数】设 满足约束条件 则 的最小值是,xy2+30,xy2zxyA B15 9C D 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为 故选 A.6,3Bmin123
9、5z【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16 【2017 年高考全国 II 卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己
10、的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩故选 D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)17 【2017 年高考北京卷文数】若 满足 则 的最大值为,xy3,2,xyA1 B3C5 D9【答案】D【解析】如图，画出可行
11、域，表示斜率为 的一组平行线，当 过点 时，目标函数取得最大值2zxy122zxy3,C，故选 D.ma39【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值时常将函数 转化为直线的斜截zaxbyzaxby式： ，通过求直线的截距 z的最值间接求出 的最值；（2）距离型：形如ayxbz；（3）斜率型：形如 ，而本题属于截距形式.22zxaybybzxa18 【2017 年高考山东卷文数】已知 x,y 满足约束条件 ,则 z=
12、x+2y 的最大值是2503yA-3 B-1 C1 D3【答案】D【解析】画出约束条件 表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线 ,可2503xy 20xy知当其经过直线 与 的交点 时, 取得最大值，为250xy2(1)2zxy,故选 D.max13z【名师点睛】(1)确定二元一次不等式( 组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组) 若满足不等式(组), 则不等式( 组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线
13、性规划求目标函数最值的步骤：画出约束条件对应的可行域； 将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值19 【2017 年高考山东卷文数】已知命题 p： ;命题 q：若 ,则 a0.当且仅当 ，即 时等号成立.2+232 223=2 26=14 2=233=6 =3=1 综上可得 的最小值为 .2+18 14【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ，当且仅当 时取等号；2,ababRab ， ，当且仅当 时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用”31 【2018 年高考江苏卷】在 中
14、，角 所对的边分别为 ， ， 的平分ABC , ,abc120ABCAB线交 于点 D，且 ，则 的最小值为_AC14ac【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得=+，化简得 ，12120=12160+12160 =+,1+1=1因此4+=(4+)(1+1)=5+45+24=9,当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .=2=3 4+ 9【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.32 【2017 年高考上海卷】不等式 的解集为_1x【答案】 ,0【解析】 由题意，
15、不等式 ，得 ，1x10xx所以不等式的解集为 .,【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键.33【2017 年高考北京卷文数】能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc” 是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为_.【答案】1，2，3（答案不唯一）【解析】 ，矛盾，所以1，2，3 可验证该命题是假命题.123,123【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一34【2017 年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学
16、生人数多于教师人数；（ ）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_【答案】6 12【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为 ，abc、 、则 .*2,cabcN ，max846 min3,65,412.cbac【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.35 【2017 年高考天津卷文数】若 ， ，则 的最小值为_,abR041ab【答案】 4【解析】 ， （前一个等号成立的条件是214124abab，
17、后一个等号成立的条件是 ，两个等号可以同时成立，当且仅当2ab时取等号） 2,4ab【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式： ，当且仅2,ababR当 时取等号； ， ，当且仅当 时取等号解题时要注意公式的适ab,abR2ab用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用” 36 【2017 年高考山东卷文数】若直线 过点 ,则 2a+b 的最小值为1(0)xyab ， (1)_【答案】 8【解析】由直线 过点 可得 ,1(0)xyab ， (1,2)1ab所以 .当且仅当 ，即 时2442() 8aab 4ab,2等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用
18、的前提：“一正”“ 二定”“三相等”所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式37 【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的总x存储费用为 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是_4x【答案】30【解析】总费用为 ，当且仅当 ，即 时60904()2904xx90x3x等号成立【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
19、等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值 )、“等”(等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误38【2017 年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 ， 表示每周计划播出的甲、xy乙两
20、套连续剧的次数（）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；xy（）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】（I）见解析；（II ）见解析 .【解析】（）由已知， 满足的数学关系式为 ，即 ,xy7060532xyyN7602xyyN该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中阴影部分内的整点（包括边界）：（图 1） （图 2）（）设总收视人次为 万，则目标函数为 z6025zxy考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线6025zxy5y1z为直线在 轴上的截距，当 取得最大值时， 的值最大252zz又因为 满足约束条件，所以
21、由图 2 可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距, 6025xy最大，即 最大zz解方程组 得点 M 的坐标为 ，760,2xy(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的几何意义常见的目标函数有：截距型：形如 ，zaxby求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截zaxbyayxb距zb的最值间接求出 的最值； 距离型：形如 ；斜率型：形z22()()zxayb如 本题属于截距型，同时应注意实际问题中的最优解一般是整数yzxa