1、第 81 讲 极坐标系1在极坐标系中，已知三点 M(2， )，N (2,0)，P(2 ， )3 3 6(1)将 M，N，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M，N，P 三点是否在一条直线上(1)由公式Error!得 M，N，P 的直角坐标分别为 M(1， )，N (2,0)，P(3， )3 3(2)因为 kMN ，k NP ，32 1 3 3 03 2 3所以 kMNk NP，所以 M，N，P 三点在一条直线上2在极坐标系中，画出下列方程表示的图形(1)(3)( )0(0)；4(2)5cos 5 sin .3(1)表示圆心在极点，半径为 3 的圆和射线 组成的图形(如图(1)4(2)将方
2、程化为直角坐标方程 x2y 25x5 y，3即(x )2(y )225，52 532圆心为( ， )，化为极坐标为(5 ， )，52 532 3即方程表示圆心为(5， )，半径为 5 的圆3图形如图(2)所示(1) (2)3(2018广东七校联考)已知曲线 C 的方程为( x2) 2(y1) 25，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)设 l1： ，l 2： ，若 l 1 、l 2 与曲线 C 相交于异于原点的两点 A、B，求6 6AOB 的面积(1)曲线 C 的方程为( x2) 2( y1) 25.将Error!代入并化简得：4cos
3、 2sin .即曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin .(2)在极坐标系中，C ：4cos 2sin ，所以由Error!得|OA |2 1，同理|OB|2 .3 3又因为AOB ，6所以 SAOB sin AOB . 12|OA| |OB| 8 534即AOB 的面积为 .8 5344(2018全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程(1)由 xcos ，y sin
4、 得 C2 的直角坐标方程为(x1) 2y 24.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1，0) ，半径为 2 的圆由题设知，C 1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以 2，| k 2|k2 1故 k 或 k0.43经检验，当 k0 时，l
5、1 与 C2 没有公共点；当 k 时，l 1 与 C2 只有一个公共点，l 2 与 C2 有两个公共点43当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以 2，|k 2|k2 1故 k0 或 k .43经检验，当 k0 时，l 1 与 C2 没有公共点；当 k 时，l 2 与 C2 没有公共点43综上，所求 C1 的方程为 y |x|2.435(2016全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos .(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1
6、 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2( y1) 2a 2，则 C1 是以(0,1) 为圆心，a 为半径的圆将 xcos ，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1 a 20.(2)曲线 C1，C 2 的公共点的极坐标满足方程组Error!又 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a 20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a 20，解得 a1(舍去) 或
7、 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C 2 的公共点，且在 C3 上所以 a1.6(2017山西太原一模)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数)，曲线 C2：x 2y 22y0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l： (0) 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B( 均异于原点 O)(1)求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；(2)当 0 时，求|OA| 2| OB|2 的取值范围2(1)C1 的普通方程为 y 21，x22C1 的极坐标方程为 2cos22 2sin220，C2 的极坐标方程为 2sin .(2)联立 (0)与 C1 的极坐标方程得| OA|2 ，21 sin2联立 (0)与 C2 的极坐标方程得|OB| 24sin 2.则|OA |2|OB |2 4sin 2 4(1sin 2)4.21 sin2 21 sin2令 t1sin 2，因为 0 ，所以 t(1,2)2所以|OA| 2|OB| 2 4t4，t (1,2)，2t设 f(t) 4t 4，t(1,2)，2t易知 f(t)在(1,2)上单调递增，所以|OA| 2|OB| 2(2,5)