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2020年人教版高考数学理科一轮练习:第81讲 极坐标系

1、第 81 讲 极坐标系1在极坐标系中,已知三点 M(2, ),N (2,0),P(2 , )3 3 6(1)将 M,N,P 三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断 M,N,P 三点是否在一条直线上(1)由公式Error!得 M,N,P 的直角坐标分别为 M(1, ),N (2,0),P(3, )3 3(2)因为 kMN ,k NP ,32 1 3 3 03 2 3所以 kMNk NP,所以 M,N,P 三点在一条直线上2在极坐标系中,画出下列方程表示的图形(1)(3)( )0(0);4(2)5cos 5 sin .3(1)表示圆心在极点,半径为 3 的圆和射线 组成的图形(如图(1)4(2)将方

2、程化为直角坐标方程 x2y 25x5 y,3即(x )2(y )225,52 532圆心为( , ),化为极坐标为(5 , ),52 532 3即方程表示圆心为(5, ),半径为 5 的圆3图形如图(2)所示(1) (2)3(2018广东七校联考)已知曲线 C 的方程为( x2) 2(y1) 25,以直角坐标系原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程;(2)设 l1: ,l 2: ,若 l 1 、l 2 与曲线 C 相交于异于原点的两点 A、B,求6 6AOB 的面积(1)曲线 C 的方程为( x2) 2( y1) 25.将Error!代入并化简得:4cos

3、 2sin .即曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin .(2)在极坐标系中,C :4cos 2sin ,所以由Error!得|OA |2 1,同理|OB|2 .3 3又因为AOB ,6所以 SAOB sin AOB . 12|OA| |OB| 8 534即AOB 的面积为 .8 5344(2018全国卷 )在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程;(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程(1)由 xcos ,y sin

4、 得 C2 的直角坐标方程为(x1) 2y 24.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1,0) ,半径为 2 的圆由题设知,C 1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时,点 A 到 l1 所在直线的距离为 2,所以 2,| k 2|k2 1故 k 或 k0.43经检验,当 k0 时,l

5、1 与 C2 没有公共点;当 k 时,l 1 与 C2 只有一个公共点,l 2 与 C2 有两个公共点43当 l2 与 C2 只有一个公共点时,点 A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以 2,|k 2|k2 1故 k0 或 k .43经检验,当 k0 时,l 1 与 C2 没有公共点;当 k 时,l 2 与 C2 没有公共点43综上,所求 C1 的方程为 y |x|2.435(2016全国卷 )在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数,a0)在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:4cos .(1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1

6、 的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3 的极坐标方程为 0,其中 0 满足 tan 02,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a.(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2( y1) 2a 2,则 C1 是以(0,1) 为圆心,a 为半径的圆将 xcos ,ysin 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1 a 20.(2)曲线 C1,C 2 的公共点的极坐标满足方程组Error!又 0,由方程组得 16cos28sin cos 1a 20,由已知 tan 2,可得 16cos28sin cos 0,从而 1a 20,解得 a1(舍去) 或

7、 a1.当 a1 时,极点也为 C1,C 2 的公共点,且在 C3 上所以 a1.6(2017山西太原一模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数),曲线 C2:x 2y 22y0,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l: (0) 与曲线 C1,C 2 分别交于 A,B( 均异于原点 O)(1)求曲线 C1,C 2 的极坐标方程;(2)当 0 时,求|OA| 2| OB|2 的取值范围2(1)C1 的普通方程为 y 21,x22C1 的极坐标方程为 2cos22 2sin220,C2 的极坐标方程为 2sin .(2)联立 (0)与 C1 的极坐标方程得| OA|2 ,21 sin2联立 (0)与 C2 的极坐标方程得|OB| 24sin 2.则|OA |2|OB |2 4sin 2 4(1sin 2)4.21 sin2 21 sin2令 t1sin 2,因为 0 ,所以 t(1,2)2所以|OA| 2|OB| 2 4t4,t (1,2),2t设 f(t) 4t 4,t(1,2),2t易知 f(t)在(1,2)上单调递增,所以|OA| 2|OB| 2(2,5)