1、第 82 讲 曲线的参数方程1(经典真题)已知动点 P，Q 都在曲线 C：Error!(t 为参数 )上，对应参数分别为 t与 t2 (00)(1)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；(2)当 a3 时，曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，求 A，B 两点的距离(1)曲线 C1：Error! 的直角坐标方程为 y32x .曲线 C1 与 x 轴的交点为 ( ，0). 32曲线 C2：Error! 的直角坐标方程为 1. x2a2 y29曲线 C2 与 x 轴的交点为 (a,0)，( a,0). 由 a0，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴
2、上，知 a . 32(2)当 a3 时，曲线 C2：Error! 为圆 x2y 29. 圆心到直线 y32x 的距离 d . |3|22 12 355所以 A，B 两点的距离|AB|2 2 .r2 d29 3552 12554(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin( )2 .4 2(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标(1)C1 的普通方程为 y
3、 21，C 2 的直角坐标方程为 xy40.x23(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( cos ，sin )3因为 C2 是直线，所以| PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，d() |sin( )2| ，| 3cos sin 4|2 2 3当且仅当 2k (kZ)时，d( )取得最小值，最小值为 ，此时 P 的直角坐标为6 2( ， )32 125(2018武汉二月调研)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为x 4cos ，y 2sin )参数) ，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点x t 3，y 2t
4、23)(1)求|AB|的值；(2)若 F 为曲线 C 的左焦点，求 的值FA FB (1)由 消去参数 得： 1.x 4cos ，y 2sin ) x216 y24由 消去参数 t 得：y2x4 .x t 3，y 2t 23) 3将 y2x4 代入 x24y 216 中，得317x264 x16110.3设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则x1 x2 64317，x1x2 161117 .)|AB| |x1x 2|1 k2 .1 417 （643）2 4171611 4017所以|AB|的值为 .4017(2)由(1)知 F(2 ，0)，所以3 (x 12 ，y 1)(x22 ，y
5、 2)FA FB 3 3(x 12 )(x22 )(2x 1 4 )(2x24 )3 3 3 3x 1x22 (x1x 2)124x 1x22 (x1x 2)123 35x 1x26 (x1x 2)6035 6 6044.6111617 3 643176. (2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ( 为参数)，x cos ，y sin )过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 的中点 P 的轨迹的参数方程(1)O 的直角坐标方程为 x2y 21.当 时，l 与O 交于两点2当 时，记 tan k，则 l 的
6、方程为 ykx .l 与O 交于两点当且仅当2 2| |1，解得 k1 或 k1，即 ( ， )或 ( ， )21 k2 2 34 4 2综上， 的取值范围是( ， )4 34(2)l 的参数方程为(t 为参数， )x tcos ，y 2 tsin ) 4 34设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，t B，t P，则 tP ，且 tA，t B 满足 t22 tsin 10.tA tB2 2于是 tAt B2 sin ，t P sin .2 2又点 P 的坐标(x，y)满足 x tPcos ，y 2 tPsin ，)所以点 P 的轨迹的参数方程是( 为参数， )x 22sin 2，y 22 22cos 2) 4 34