1、第 83 讲 极坐标方程与参数方程的综合应用1(2018大庆模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error! ( 为参数) 以点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( ) .4 2(1)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程；(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最大值(1)由Error! 得 y 21，x23所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 21. x23由 sin( ) ，得 (sin cos cos sin ) ，4 2 4 4 2化简得，sin cos 2，所以 xy2.所以直线 l 的直角坐标
2、方程为 xy2. (2)(方法一 )由于点 Q 是曲线 C 上的点，则可设点 Q 的坐标为( cos ，sin )，3点 Q 到直线 l 的距离为d .| 3cos sin 2|2 |2cos 6 2|2当 cos( ) 1 时，d max 2 . 6 42 2所以点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 . 2(方法二) 设与直线 l 平行的直线 l的方程为 xy m ，由Error! 消去 y 得 4x26mx3m 230，令 (6m)2 44(3m23)0，解得 m2.所以直线 l的方程为 xy2，即 xy20.所以两条平行直线 l 与 l之间的距离为 d 2 .|2 2|2 2所以点
3、Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 .22(经典真题) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ，0， 2(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y x2 垂直，根据(1) 中你得到的参3数方程，确定 D 的坐标(1)C 的普通方程为( x1) 2y 21(0 y 1) 可得 C 的参数方程为Error! (t 为参数，0t)(2)设 D(1cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线
4、 GD 与 l 的斜率相同，则 tan t ，t .33故 D 的直角坐标为(1cos ， sin )，即( ， )3 3 32 323(2018赤峰一模)已知直线 l：Error!( t 为参数)，曲线 C1：Error!( 为参数) (1)设 l 与 C1 相交于 A，B 两点，求|AB| ；(2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标压缩为原来的 ，得到曲线12 32C2，设点 P 是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值(1)l 的普通方程为 y (x1) ，3C1 的普通方程为 x2y 21.联立方程组Error!解得 A(1,0)，B( ， )，所以
5、 |AB|1.12 32(2)C2 的参数方程为Error!( 为参数)，故点 P 的坐标为( cos ， sin )，12 32从而 P 到直线 l 的距离是d sin( )2 | 32cos 32sin 3|2 34 2 4由此可知当 sin( )1 时，d 取得最小值，且最小值为 ( 1)4 64 24(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l2 的参数方程为Error!(m 为参数 )设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
6、立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 0 ，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径2(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：yk (x2) ；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y (x2) 1k设 P(x，y)，由题设得Error!消去 k 得 x2y 24( y0)所以 C 的普通方程为 x2y 24( y0) (2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin 2)4(02，)联立Error!得cos sin 2(cos sin )故 tan ，从而 cos2 ，sin 2 .13 910 110代入 2(cos2sin 2)4 得 25，所以交点 M 的极径为 .
7、55(2017福州市毕业班综合质量检测) 已知直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为2cos23 2sin212，其左焦点 F 在直线 l 上(1)若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求|FA| FB|的值；(2)求椭圆 C 的内接矩形周长的最大值(1)将曲线 C 的极坐标方程 2cos23 2sin212 化为直角坐标方程，得 1，则左焦点 F(2 ，0)，所以 m2 ，x212 y24 2 2将直线 l 的参数方程Error!(t 为参数) 与曲线 C 的方程 1 联立，化简可得x212 y
8、24t22t20，由直线 l 的参数方程的几何意义，令|AF| |t1|，|BF| t2|，则|AF|BF| t1t2|2.(2)由曲线 C 的方程 1，可设曲线 C 上的任意一点 P 的坐标为(2 cos ，2sin )x212 y24 3(0 )，2则以 P 为顶点的内接矩形周长为4(2 cos 2sin )16sin( )，33因此，当 时，可得该内接矩形周长的最大值为 16.66(2018佛山一模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数，x tcos ，y 2 tsin )0 ) ，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正x 2c
9、os ，y 2 2sin )半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)设 C 与 l 交于 M，N 两点(异于原点)，求|OM|ON| 的最大值(1)因为曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，x 2cos ，y 2 2sin )所以消去参数 ，得曲线 C 的普通方程为 x2(y2) 24 ，化简得 x2y 24y ，则 24 sin ，所以曲线 C 的极坐标方程为 4sin .(2)因为直线 l 的参数方程为 (t 为参数，0)，x tcos ，y 2 tsin )所以由直线 l 的参数方程可知，直线 l 必过点(0，2) ，也就是圆 C 的圆心，则MON ，2不妨设 M(1， )，N( 2， )，其中 (0， )，2 2则|OM| | ON| 1 24sin 4sin( )4(sin cos )4 sin( )，2 2 4所以当 时，|OM| ON|取得最大值为 4 .4 2