1、第 80 讲 概率与统计的综合问题1(2018湖北 5 月冲刺试题)有 120 粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将 120 粒种子分种在 40 个坑内，每坑 3 粒；方案二：120 粒种子分种在 60 个坑内，每坑2 粒，如果每粒种子发芽的概率为 0.5，并且，若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且第二次补种的种子颗粒同第一次)假定每个坑第一次播种需要 2 元，补种 1 个坑需 1 元；每个成活的坑可收获 100 粒试验种子，每粒试验种子收益 1 元(1)用 表示播种费用，分别求出两种方案的 的数学期望
2、；(2)用 表示收益，分别求出两种方案的收益 的数学期望；(3)如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？(1)方案一：用 X1 表示一个坑播种的费用，则 X1 可取 2，3.X1 2 3P78( )312所以 E X12 3 .所以 E140E X 185 元78 18 178方案二：用 X2 表示一个坑播种的费用，则 X2 可取 2，3.X2 2 3P34( )212所以 E X22 3 .34 14 94所以 E260E X 2135 元(2)方案一：用 Y1 表示一个坑的收益，则 Y1 可取 0，100.Y1 0 100P ( )218 6364所以 E Y1100 .
3、所以 E140E Y 13937.5 元6364 157516方案二：用 Y2 表示一个坑的收益，则 Y2 可取 0，100.Y2 0 100P ( )214 1516所以 E Y2100 ，所以 E260E Y 25625 元1516 3754(3)方案二所需的播种费用比方案一多 50 元，但是收益比方案一多 1687.5 元，故应选择方案二2(2018长春二模)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量分别在100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示(
4、1)现按分层抽样从质量为250，300)，300，350)的芒果中随机抽取 9 个，再从这9 个中随机抽取 3 个，记随机变量 X 表示质量在300，350)内的芒果个数，求 X 的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有 10000 个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以 10 元/千克收购；B：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于 250 克的以 3 元/个收购通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多(1)9 个芒果中，质量在250，300)和300，350)内的分别有
5、6 个和 3 个则 X 的可能取值为 0，1，2，3.P(X0) ，P(X1) ，2084 4584P(X2) ，P(X3) .1884 184所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P2084 4584 1884 184X 的数学期望 EX0 1 2 3 1. 2084 4584 1884 184(2)方案 A: (1250.0021750.0022250.0032750.0083250.0043750.001)5010000100.00125750 元方案 B：低于 250 克：(0.0020.0020.003)501000027000 元，高于或等于 250 克(0.0080.0040.0
6、01)5010000319500 元，总计 70001950026500 元由 257506.635，40（ 1515 55） 220202020所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异4(2018武汉调研测试)在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示(1)求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 (同一组中数据用该组区间中点作代表)；x (2)由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2 分别取考生的平均成绩 和考生成绩的方差 s2，那么该区 4000 名考生成绩超过 84.41 分(含 84.81 分) 的x 人数估计有多少人
7、？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为 ，求 P(3)( 精确到0.001)附：s 2204.75， 14.31；204.75zN(， 2)，则 P(z)0.6826，P(2z2)0.9544；0.8413 40.501.(1)由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1所以 450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5，x 所以 4000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 70.5 分(2)依题意 z 服从正态分布 N(， 2)，其中 70.5， 2D204.75，14.31，x 所以 z 服从正态分布 N(， 2)N(70.5，14.31 2)，而 P(z)P(56.19z84.81)0.6826，所以 P(z84.81) 0.1587.1 0.68262所以竞赛成绩超过 84.81 分的人数估计为 0.15874000634.8 人634 人(3)全市竞赛考生成绩不超过 84.81 分的概率 10.15870.8413.而 B(4，0.8413)，所以 P(3)1P(4)1 C 0.8413410.5010.499.4