1、第 63 讲 椭 圆1已知椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，M 是椭圆上的一点，N 是 MF1x216 y212的中点，若|ON| 1，则|MF 1|的长等于(C)A2 B4C6 D5因为|ON |1，所以|MF 2|2，又|MF 1|MF 2|8，所以|MF 1|6.选 C.2(2017江苏五校联考)一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，P(2， )是椭圆3上一点，且|PF 1|，| F1F2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为 (A)A. 1 B. 1x28 y26 x216 y26C. 1 D. 1x28 y24 x216 y24设椭圆的标准方程为 1(ab
2、0) x2a2 y2b2由点(2， )在椭圆上知 1.34a2 3b2又|PF 1|， |F1F2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1| |PF2| 2|F1F2|，即 2a22c，即 ，ca 12又 c2a 2b 2，联立解得 a28，b 26.3(2017全国卷)已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以x2a2 y2b2线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay 2ab0 相切，则 C 的离心率为(A)A. B.63 33C. D.23 13由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，所以圆心到直线的距离
3、 d a，解得 a b，2aba2 b2 3所以 ，ba 13所以 e .ca a2 b2a 1 ba2 1 132 634(2018江西第一次诊断)设 F1，F 2 分别是椭圆 1 的左、右焦点，P 为椭圆上x225 y216任一点，点 M 的坐标为(6,4)，则| PM| PF1|的最大值为(B)A20 B15C10 D5因为 P 在椭圆上，所以|PF 1| PF2|2a10，所以|PM| |PF 1|PM |10 |PF2|10| PM| PF2|10| MF2|10515，当 P 在 MF2 的延长线上时取等号5(2019广州市二模)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0
4、)，点 F 关于直线 y x 的对称点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为 1 .12 5x29 5y24设椭圆的方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2因为 c1，则 a2b 2c 2b 21，所以椭圆方程为 1.x2b2 1 y2b2设 F(1,0)关于直线 l：y x 的对称点为 M(x1，y 1)，12则Error!解得Error!即 M( ， )35 45又 M 在椭圆上，所以 1，解得 b2 ，925b2 1 1625b2 45则 a2 ，所以椭圆的方程为 1.95 5x29 5y246(2018株洲醴陵第三次月考) 椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 为椭x29
5、 y24圆上的动点，当F 1PF2 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围为 ( ， ) .355 355由题意知 F1( ，0)，F 2( ，0) ，5 5设 P(x0，y 0)，则 1( x 0，y 0)， 2( x 0，y 0)，PF 5 PF 5所以 1 2x 5y b0)的左、右焦点， A 是椭圆上位于第一象限的一x2a2 y2b2点，若 0，椭圆的离心率为 ，AOF 2 的面积为 2 ，求椭圆的方程AF2 F1F2 22 2因为 0，所以 AF2x 轴AF2 F1F2 设点 A 的坐标为(c，y)(y0)，将(c，y) 代入 1 得 y ，x2a2 y2b2 b2a所以 SAOF2
6、c 2 ，12 b2a 2又 e ，所以 b22 ，所以 b28.ca 22 24 2由 ，设 c k，a2k (k0)，则 4k282k 2，ca 22 2所以 k2，所以 a4，b 28，所以椭圆方程为 1.x216 y288(2018郑州三模)已知 P 为椭圆 1 上一个动点，过点 P 作圆(x 1) 2y 21x24 y23的两条切线，切点分别是 A， B，则 的取值范围为 (C)PA PB A ，) B ， 32 32 569C2 3， D2 3，)2569 2(方法 1)直接法( 选择|PF|t 作为自变量建立函数)设|PF|t，则 1|PF| 3.所以|PA|PB| ，|PF|2
7、 1 t2 1设FPA，则 sin ，1|PF| 1t所以 cos 212sin 21 ，2t2所以 (t 21)cos 2 (t21)(1 )PA PB 2t2t 2 3.2t2令 g(t)t 2 3，t1 ，32t2所以 g(t)2 32 3.t22t2 2当且仅当 t2 ，即 t 1，3 时取“”2t2 42又当 t1 时，g(1)0，t3 时，g(3) ，所以 g(t)max .569 569所以 g(t)的取值范围为2 3， 2569即 的取值范围为2 3， PA PB 2 569(方法 2)直接法( 选择FPA 作为自变量建立函数 )设FPA，则 与 的夹角为 2，PA PB |P
8、A|PB| ，1tan 所以 | | |cos 2PA PB PA PB cos 2 cos 2，1tan2 1 cos 21 cos 2设 cos 2t，则g(t) (1t) 32 3.PA PB t（1 t）1 t 21 t 2当 P 为椭圆的右顶点时，sin ，所以 cos 2 ，13 79所以 的最大值为 .PA PB 1 791 79 79 569所以 的取值范围为2 3， PA PB 2 569(方法 3)特例法( 选取两个特殊位置处理)当 P 为右顶点时，|PA| |PB| ，8设FPA，则 sin ，cos 212sin 2 ，13 79此时 ，排除 A，D.PA PB 8 8
9、 79 569当 P 为左顶点时，此时 0，排除 B，选 C.PA PB (方法 4)排除法( 定性排除)，因为 P 在椭圆上运动，所以 有范围，由此排除 A，D，PA PB 当 P 在椭圆上所引两切线的夹角为钝角时， 为负，故排除 B，选 C.PA PB 9(2018长沙模拟)已知过椭圆 1(ab0)的左顶点 A(a，0) 作直线 l 交 y 轴x2a2 y2b2于点 P，交椭圆于点 Q，若 AOP 是等腰三角形，且 2 ，则椭圆的离心率为PQ QA _ _255因为AOP 是等腰三角形，A(a，0)，所以 P(0，a)，设 Q(x0，y 0)，因为 2 ，PQ QA 所以(x 0，y 0a
10、)2(a x 0，y 0)，所以 解得002,xyay02,3,a代入椭圆方程化简，得 ，b2a2 15所以 e .1 b2a2 25510已知椭圆 C： 1(a )的离心率为 .x2a2 y22 2 63(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P 是椭圆 C 上任意一点，Q 为圆 E：x 2(y2) 21 上任意一点，求 PQ 的最大值(1)由题设知 e ，63所以 e2 ，解得 a26.c2a2 a2 b2a2 a2 2a2 69 23所以椭圆 C 的方程为 1.x26 y22(2)圆 E： x2(y2) 21 的圆心为 E(0,2)，点 Q 在圆 E 上，所以 PQEPEQEP1(当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号 )设 P(x0，y 0)是椭圆 C 上的任意一点，则 1，即 x 63y .x206 y202 20 20所以 EP2x (y 02) 22( y01) 212.20因为 y0 ， ，所以当 y01 时，EP 2 取得最大值 12，即 PQ2 1.2 2 3所以 PQ 的最大值为 2 1.3