1、第 69 讲 圆锥曲线的综合应用( 二)(与定点、定值及探索性问题的综合)1(2018全国卷)设椭圆 C： y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A，B 两点，点 M 的坐标为(2 ，0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)由已知得 F(1，0) ，l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为 (1， )或(1， )22 22又 M(2，0)，所以 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的
2、垂直平分线，所以OMAOMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为yk(x1)(k 0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x10)的焦点为 F，准线为 l.已知点 A 在抛物线 C 上，点 B 在 l 上，ABF 是边长为 4 的等边三角形(1)求 p 的值；(2)在 x 轴上是否存在一点 N，当过点 N 的直线 l与抛物线 C 交于点 Q，R 两点时， 为定值？若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由1|NQ|2 1|NR|2(1)由题意，|AF| |AB| ，则 ABl，设准线 l 与 x 轴交于 D，则 ABDF.又ABF 是边长为 4 的等边三角
3、形，所以ABF 60.所以BFD 60，|DF|BF|cos BFD4 2，12即 p2.(2)设点 N(t，0)，由题意知直线 l的斜率不为零，设直线 l的方程为 xmyt，点 Q(x1，y 1)，R(x 2，y 2)，由 得 y24my4t0，x my t，y2 4x，) 16m216t0 ，y 1y 24m，y 1y24t ，易知|NQ| 2(x 1t) 2y (my 1t t) 2y (1m 2)y ，21 21 21同理可得|NR| 2(1m 2)y .2则有 .1|NQ|2 1|NR|2 16m2 8t16（1 m2）t2 2m2 t（2m2 2）t2若 为定值，则 t2，此时点
4、N(2，0)1|NQ|2 1|NR|2又当 t2，mR 时，0，所以，存在点 N(2，0)，当过点 N 的直线 l与抛物线 C 交于 Q，R 两点时， 1|NQ|2为定值 .1|NR|2 143(经典真题)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，点 P(0,1)和点 A(m，n)x2a2 y2b2 22(m0)都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M.(1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标( 用 m，n 表示) ；(2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N.问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQMONQ？若存在，求点 Q 的坐标；若
5、不存在，说明理由(1)由题意得Error!解得 a22.故椭圆 C 的方程为 y 21.x22设 M(xM,0)因为 m0，所以1n1，直线 PA 的方程为 y1 x.n 1m所以 xM ，即 M( ，0)m1 n m1 n(2)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 B(m，n)设 N(xN,0)，则 xN .m1 n“存在点 Q(0，y Q)使得 OQMONQ ”等价于“存在点 Q(0，y Q)使得 ”，|OM|OQ| |OQ|ON|即 yQ满足 y | xM|xN|.2Q因为 xM ，x N ， n 21，m1 n m1 n m22所以 y |x M|xN| 2.2Qm21 n2所
6、以 yQ 或 yQ .2 2故在 y 轴上存在点 Q，使得OQMONQ ，且点 Q 的坐标为 (0， )或(0 ， )2 24(经典真题)已知椭圆 C：9 x2y 2m 2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.(1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点( ， m)，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？m3若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由(1)证明：设直线 l：y kxb(k0，b0)，A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，M( xM， yM
7、)将 ykxb 代入 9x2y 2m 2，得(k 2 9)x22 kbxb 2m 20，故 xM ，y Mkx Mb .x1 x22 kbk2 9 9bk2 9于是直线 OM 的斜率 kOM ，即 kOMk9.yMxM 9k所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值(2)四边形 OAPB 能为平行四边形因为直线 l 过点( ，m)，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.m3由(1)得 OM 的方程为 y x.9k设点 P 的横坐标为 xP.由Error!得 x ，即 xP .2Pk2m29k2 81 km3k2 9将点( ，m )的坐标代入 l 的方程得 b ，m3 m3 k3因此，x M .kk 3m3k2 9四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2x M，于是 2 ，km3k2 9 kk 3m3k2 9解得 k14 ，k 24 .7 7因为 ki0，k i3，i1,2，所以当 l 的斜率为 4 或 4 时，四边形 OAPB 为平行四边形7 7