1、第 66 讲 曲线与方程1已知点 A( 2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足 x 2，则点 P 的轨迹是(D)PA PB A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线 (2x，y )， (3x，y)，因为 x 2，所以(2x)(3x)PA PB PA PB y 2x 2，即 y2x 6.2已知 F1(1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点 P 的轨迹是(A)A椭圆 B双曲线C抛物线 D线段由于|PF 1| PF2|2|F 1F2|42 ，所以 P 点轨迹为椭圆3曲线 f(x，y)0 关于直线 xy 20 对称曲线的方程是(D)Af(x 2，y)
2、0 Bf(x 2，y )0Cf(y2，x2)0 Df(y2，x 2) 0设(x 0，y 0)是 f(x，y )0 上任一点，它关于 xy20 的对称点为(x，y) ，则Error!解得Error!又 f(x0， y0)0，所以 f(y2，x2) 0.4设 A1、A 2 是椭圆 1 长轴的两个端点，P 1、P 2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，x29 y24则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为(C)A. 1 B. 1x29 y24 y29 x24C. 1 D. 1x29 y24 y29 x24设交点为 P(x，y) ，A 1(3,0)，A 2(3,0)，P 1(x0，y 0)，P
3、2(x0，y 0)因为 A1、P 1，P 三点共线，所以 ，y y0x x0 yx 3因为 A2、P 2，P 三点共线，所以 ，y y0x x0 yx 3解得 x0 ，y 0 ，代入 1，9x 3yx x209 y204化简得 1.x29 y245在圆 x2y 29 中，过已知点 P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为 (x )2( y1) 2 .12 54设弦的中点为 M，则 OMPM.所以 M 在以 OP 为直径的圆上，故所求轨迹方程为(x )2(y1) 2 .12 546在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆在 x 轴上截得的线段长为 2 ，在 y 轴上截得的2线段长为 2 ，则圆心 P 的轨
4、迹方程为 y 2x 21 .3设 P(x，y) ，圆 P 的半径为 r.由题意 y22r 2，x 23r 2，从而 y22x 23，所以 P 点的轨迹方程为 y2x 21.7(2017全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y 21 上，过 M 作 x 轴的x22垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 COP PQ 的左焦点 F.(1)设 P(x， y)，M( x0，y 0)，则 N(x0,0)， (xx 0，y )， (0，y 0)NP NM 由 得 x0
5、x ，y 0 y.NP 2NM 22因为 M(x0，y 0)在 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2y 22.(2)由题意知 F(1,0)设 Q(3，t )，P(m，n)，则( 3，t )， (1m，n)， 33mtn，OQ PF OQ PF (m，n)， (3m，t n) OP PQ 由 1 得3mm 2tnn 21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 3 3mtn 0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F.8点 P 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆上的一点
6、，过焦点 F2 作F 1PF2 的外角平分线的垂线，垂足为点 M，则点 M 的轨迹是(D)A抛物线 B椭圆C双曲线 D圆连接 OM，延长 F2M 交 F1P 的延长线于点 Q，则|PQ |PF 2|.所以|QF 1|PF 1|PQ| PF1| PF2|2a.因为 OM 为 F1F2Q 的中位线，所以|OM| |QF1|a.12因此点 M 的轨迹是圆故选 D.9(2016广东佛山六校联考) 已知 A(3,2)，B(1,0)，P(x，y)满足 x 1 x 2 (O 为OP OA OB 坐标原点) ，若 x1x 21，则 P 点坐标满足的方程为 x y10 .因为 x 1 x 2 ，OP OA OB
7、 所以(x， y)(3x 1,2x1)(x 2,0)(3 x1x 2,2x1)，所以 x3x 1x 2，y2x 1，所以 xy x 1x 21，故 P 点坐标满足的方程为 xy 10.10(2016全国卷)已知抛物线 C：y 22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程由题意知 F( ，0) ，12设直线 l1的方程为 ya，直线 l2的方程为 yb，则 ab0，且 A( ，a)
8、，B( ，b)，P( ，a)，a22 b22 12Q( ，b) ，R( ， )12 12 a b2记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0.(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则k1 b k 2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b 0 12 12所以 ARFQ.(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，则 SABF |ba|FD| |b a|x1 |，12 12 12SPQF .|a b|2由题意可得|b a|x1 | ，12 |a b|2所以 x10( 舍去)，x 11.设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE可得 (x1)2a b yx 1而 y，所以 y2x 1( x1) a b2当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1,0)，满足方程 y2x1.所以所求的轨迹方程为 y2x1.