1、第 58 讲 立体几何的综合问题1(2017全国卷)如图，在四棱锥 PABCD中，AB CD ，且BAPCDP 90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPD ABDC ，APD90 ，求二面角 APBC的余弦值(1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.因为 ABCD ，所以 ABPD.又 APDPP ，所以 AB平面 PAD.因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为点 F.由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPF，可得 PF平面 ABCD.以 F 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位
2、长度建立如图所示的空间直角FA AB 坐标系 Fxyz.由(1)及已知可得 A( ，0，0) ，P(0，0， )，B( ，1，0)，C( ，1，0) ，22 22 22 22所以 ( ，1， )， ( ，0，0) ，PC 22 22 CB 2( ，0， )， (0 ，1，0)PA 22 22 AB 设 n(x 1，y 1，z 1)是平面 PCB 的一个法向量，则即nPC 0，nCB 0，) 22x1 y1 22z1 0，2x1 0. )所以可取 n(0，1， )2设 m(x 2，y 2，z 2)是平面 PAB 的一个法向量，则即mPA 0，mAB 0，) 22x2 22z2 0，y2 0. )
3、所以可取 m(1，0，1)，则 cosn，m .nm|n|m| 232 33所以二面角 APBC 的余弦值为 .332(2016全国卷)如图，四棱锥 PABCD中，PA 底面ABCD，AD BC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN 平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值(1)证明：由已知得 AM AD2.23取 BP 的中点 T，连接 AT，TN ，由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN BC2.12又 ADBC，AM2，故 TN AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 A
4、T平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC ，从而 AEAD，且 AE .AB2 BE2AB2 （BC2）2 5以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.AE 由题意知 P(0，0，4)，M(0，2，0)，C( ，2，0)，N( ，1，2)，552 (0，2， 4)， ( ，1，2) ， ( ，1，2) PM PN 52 AN 52设 n(x，y，z )为平面 PMN 的法向量，则 即 可取 n(0，2，1)nPM 0，nPN 0，) 2y 4z 0，52x y 2z
5、0，)于是|cosn， | .AN |nAN |n|AN | 8525所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .85253(2018华南师大附中模拟) 在五面体 ABCDEF 中，ABCDEF ， ADCD，DCF60，CDEFCF 2AB2AD 2，平面 CDEF平面 ABCD.(1)证明：直线 CE平面 ADF；(2)已知 P 为棱 BC 上的点，试确定 P 点位置，使二面角 PDFA的大小为 60.(1)证明：因为 CDEF，CDEFCF2，所以四边形 CDEF 为菱形，所以 CEDF，因为平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCDCD，因为 ADCD，所以 A
6、D平面 CDEF，所以 CEAD.又因为 ADDFD，所以直线 CE平面 ADF.(2)因为DCF60，所以DEF 为正三角形，取 EF 的中点 G，连接 GD，则 GDEF，所以 GDCD，因为平面 CDEF平面 ABCD，GD 平面 CDEF，平面 CDEF平面 ABCDCD，所以 GD平面 ABCD，因为 ADCD，所以 DA，DC，DG 两两垂直，以 D 为原点，DA，DC，DG 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图，因为 CDEF CF2，ABAD1，所以 E(0，1， )，F(0 ，1， )3 3由(1)知 (0，3， )是平面 ADF 的一个法向量，CE
7、 3因为 (0，1， )， (1，1，0)，DF 3 CB 设 a (a，a ，0)(0 a 1) ，CP CB 则 (a ，2a，0)DP DC CP 设平面 PDF 的法向量为 n(x，y，z)，因为 所以nDF 0，nDP 0，) y 3z 0，ax （2 a）y 0，)令 y a，则 x (a2)， za，3 3所以 n( (a2)， a，a)，3 3因为二面角 PDFA 为 60，所以|cos n， | CE |nCE |n|CE | 43a123（a 2）2 3a2 a2 ，解得 a .12 23所以 P 点靠近 B 点的 CB 的三等分点处4(2017广州市一模)如图 1，在直角
8、梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接AE， AC，DE ，得到如图 2 所示的几何体(1) 求证：AB平面 ADC；(2) 若 AD1，二面角 CABD 的平面角的正切值为 ，求二面角 BADE 的余弦值6(1)证明：因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，又 BDDC，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DCAB.又因为折叠前后均有 ADAB，DCAD D，所以 AB平面 ADC.(2) 由(1)知 AB平面 ADC，所以二面角 CABD 的平面角为 CA
9、D. 又 DC平面 ABD，AD 平面 ABD，所以 DCAD.依题意 tanCAD . CDAD 6因为 AD1，所以 CD .6设 ABx(x0)，则 BD .x2 1依题意ABDDCB，所以 ，即 .ABAD CDBD x1 6x2 1解得 x ，故 AB ，BD ，BC 3.2 2 3 BD2 CD2(方法 1)如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，B( ，0,0)，C(0， ，0)，3 6E( ， ，0) ，A ( ，0， )，32 62 33 63所以 ( ， ，0)， ( ，0， )DE 32 62 DA 33 63由(1)知平面 BAD 的法向量 n(0
10、,1,0)设平面 ADE 的法向量 m( x，y，z) ，由Error!得Error! 令 x ，得 y ，z ，6 3 3所以 m( ， ， ). 6 3 3所以 cosn，m . nm|n|m| 12由图可知二面角 BADE 的平面角为锐角，所以二面角 BADE 的余弦值为 .12(方法 2)因为 DC平面 ABD，过点 E 作 EFDC 交 BD 于 F，则 EF平面 ABD. 因为 AD平面 ABD，所以 EFAD.过点 F 作 FGAD 于 G，连接 GE，所以 AD平面 EFG，因此 ADGE. 所以二面角 BADE 的平面角为EGF .由平面几何知识求得 EF CD ，FG AB ，12 62 12 22所以 EG . 所以 cos EGF . EF2 FG2 2FGEG 12所以二面角 BADE 的余弦值为 .12