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2020年人教版高考数学理科一轮练习:第67讲直线与圆锥曲线的位置关系

1、第 67 讲 直线与圆锥曲线的位置关系1椭圆 mx2ny 21 与直线 y1x 交于 M,N 两点,原点与线段 MN 中点的连线的斜率为 ,则 的值是(A)22 mnA. B.22 2C2 D.12Error!消去 y,得( mn)x 22nxn10,所以 MN 的中点为( ,1 )nm n nm n依题意 ,即 .1 nm nnm n 22 mn 222已知双曲线 1(a 0,b0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1,2 B (1,2)C2,) D(2,)因为过点 F 且倾斜角为 60

2、的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,所以该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ,ba所以 ,ba 3所以离心率 e2 4,c2a2 a2 b2a2所以 e2,即 e2,)3已知直线 yx 2 与圆 x2y 24x30 及抛物线 y28x 依次交于 A,B,C,D四点,则| AB| |CD|等于(D)A10 B12C14 D16由题可知直线 yx 2 过圆心(2,0),抛物线的焦点为(2,0)由Error!,得 x212x 40.设 A(x1,y 1),D (x2,y 2),则 x1x 212,x 1x24,所以|AD| x1 x22 y1 y22 2x1 x22 8x1x2 16,212

3、2 84故|AB| |CD| AD|BC|16214.4(2016石家庄市一模)过点 A(0,1)作直线,与双曲线 x2 1 有且只有一个公共点,y29则符合条件的直线的条数为(C)A0 B2C4 D无数直线 x0 显然不满足,设直线方程为 ykx1(k0),由Error!得(9k 2)x22kx10 0,分两种情况讨论:当 9k 20 时,即 k3 时,令 4k 240(9k 2)0,解得 k ,符合条件;10当 9k 20 时,即 k3 时,直线和双曲线的渐近线平行,也满足条件所以共有四条直线5抛物线 y24x 与直线 2x ym 0 相交所得的弦长为 3 ,则 m 的值为 4 .5将直线

4、方程代入抛物线方程整理得 y22y2m 0,所以|AB| |y1y 2| 3 ,1 1k2 52 22 8m 5所以 m4.6(2016湖北孝感模拟)若点 (3,1)是抛物线 y22px(p0)的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2,则 p 的值是_2_设以点(3 ,1)为中点的弦所在的直线交抛物线 y22px(p0)于 A(x1,y 1),B(x2,y 2)两点,则由得 y y 2p(x 1 x2),21 2则 ,由题意知,k AB2,且 y1y 22.y1 y2x1 x2 2py1 y2故 kAB 2.所以 p2.2py1 y2 2p27若抛物线 yx 22x m 与直线 y2x 相

5、交于不同的两点 A、B.(1)求 m 的取值范围;(2)求弦长 AB;(3)求线段 AB 的中点坐标两曲线组成的方程组Error!代入得 x24x m0, (1)因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以 0,即 424(m)0,所以 m4.(2)当 m4 时,方程有两实根 x1,x 2,由韦达定理 x1x 24,x 1x2m,所以|AB| |x1x 2|1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x22 .5m 20(3)设线段 AB 的中点坐标为(x,y),则 x 2,y 2 4.x1 x22 42 x1 x22所以线段 AB 的中点坐标为( 2,4) 8(2018石家庄二模)倾斜角为 的直线经过

6、椭圆 1(ab0)的右焦点 F,与椭圆4 x2a2 y2b2交于 A,B 两点,且 2 ,则该椭圆的离心率为(B)AF FB A. B.32 23C. D.22 33由题意可设直线方程 yxc,则 y x c,b2x2 a2y2 a2b2 0,)消去 x,整理得(b 2a 2)y22b 2cyb 40.设 A(x1,y 1), B(x2,y 2),则y1 y2 2b2ca2 b2,y1y2 b4a2 b2,)又 2 ,所以(cx 1,y 1)2(x 2c,y 2),AF FB 所以y 12y 2.所以 所以 ,所以 e .12 4c2a2 b2 239平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1

7、,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1,0) 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 (,1)(1, ) .依题意可知机器人运行的轨迹方程为 y24x.设直线 l:yk(x1),联立Error!消去 y 得 k2x2 (2k24)x k 20,由 (2k 24) 24k 40,得 k21,解得 k1 或 k1.10(2016全国卷)已知椭圆 E: 1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率x2t y23为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA NA.(1)当 t4,|AM| |AN|时,求 AMN 的面积;(2)当 2|AM

8、|AN|时,求 k 的取值范围设 M(x1,y 1),则由题意知 y10.(1)当 t4 时,E 的方程为 1,A(2,0) x24 y23由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 .4因此直线 AM 的方程为 yx 2.将 xy2 代入 1 得 7y212y0.x24 y23解得 y0 或 y ,所以 y1 .127 127因此AMN 的面积 SAMN2 .12 127 127 14449(2)由题意 t3,k 0,A( ,0)t将直线 AM 的方程 yk (x )代入 1 得tx2t y23(3tk 2)x22 tk2xt 2k23t0.t由 x1( ) 得 x1 ,tt2k2 3t3 tk2 t3 tk23 tk2故|AM |x 1 | .t 1 k26t1 k23 tk2由题设,直线 AN 的方程为 y (x ),1k t故同理可得|AN| .6kt1 k23k2 t由 2|AM|AN|得 ,23 tk2 k3k2 t即(k 3 2)t3k(2 k1)当 k 时上式不成立,因此 t .323k2k 1k3 2t3 等价于 0,即 0.k3 2k2 k 2k3 2 k 2k2 1k3 2 k 2k3 2由此得Error!或Error!解得 k2.32因此 k 的取值范围是( ,2)32