1、第 67 讲 直线与圆锥曲线的位置关系1椭圆 mx2ny 21 与直线 y1x 交于 M，N 两点，原点与线段 MN 中点的连线的斜率为 ，则 的值是(A)22 mnA. B.22 2C2 D.12Error!消去 y，得( mn)x 22nxn10，所以 MN 的中点为( ，1 )nm n nm n依题意 ，即 .1 nm nnm n 22 mn 222已知双曲线 1(a 0，b0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1,2 B (1,2)C2，) D(2，)因为过点 F 且倾斜角为 60
2、的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，ba所以 ，ba 3所以离心率 e2 4，c2a2 a2 b2a2所以 e2，即 e2，)3已知直线 yx 2 与圆 x2y 24x30 及抛物线 y28x 依次交于 A，B，C，D四点，则| AB| |CD|等于(D)A10 B12C14 D16由题可知直线 yx 2 过圆心(2,0)，抛物线的焦点为(2,0)由Error!，得 x212x 40.设 A(x1，y 1)，D (x2，y 2)，则 x1x 212，x 1x24，所以|AD| x1 x22 y1 y22 2x1 x22 8x1x2 16，212
3、2 84故|AB| |CD| AD|BC|16214.4(2016石家庄市一模)过点 A(0,1)作直线，与双曲线 x2 1 有且只有一个公共点，y29则符合条件的直线的条数为(C)A0 B2C4 D无数直线 x0 显然不满足，设直线方程为 ykx1(k0)，由Error!得(9k 2)x22kx10 0，分两种情况讨论：当 9k 20 时，即 k3 时，令 4k 240(9k 2)0，解得 k ，符合条件；10当 9k 20 时，即 k3 时，直线和双曲线的渐近线平行，也满足条件所以共有四条直线5抛物线 y24x 与直线 2x ym 0 相交所得的弦长为 3 ，则 m 的值为 4 .5将直线
4、方程代入抛物线方程整理得 y22y2m 0，所以|AB| |y1y 2| 3 ，1 1k2 52 22 8m 5所以 m4.6(2016湖北孝感模拟)若点 (3，1)是抛物线 y22px(p0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p 的值是_2_设以点(3 ，1)为中点的弦所在的直线交抛物线 y22px(p0)于 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)两点，则由得 y y 2p(x 1 x2)，21 2则 ，由题意知，k AB2，且 y1y 22.y1 y2x1 x2 2py1 y2故 kAB 2.所以 p2.2py1 y2 2p27若抛物线 yx 22x m 与直线 y2x 相
5、交于不同的两点 A、B.(1)求 m 的取值范围；(2)求弦长 AB；(3)求线段 AB 的中点坐标两曲线组成的方程组Error!代入得 x24x m0， (1)因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以 0，即 424(m)0，所以 m4.(2)当 m4 时，方程有两实根 x1，x 2，由韦达定理 x1x 24，x 1x2m，所以|AB| |x1x 2|1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x22 .5m 20(3)设线段 AB 的中点坐标为(x，y)，则 x 2，y 2 4.x1 x22 42 x1 x22所以线段 AB 的中点坐标为( 2，4) 8(2018石家庄二模)倾斜角为 的直线经过
6、椭圆 1(ab0)的右焦点 F，与椭圆4 x2a2 y2b2交于 A，B 两点，且 2 ，则该椭圆的离心率为(B)AF FB A. B.32 23C. D.22 33由题意可设直线方程 yxc，则 y x c，b2x2 a2y2 a2b2 0，)消去 x，整理得(b 2a 2)y22b 2cyb 40.设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则y1 y2 2b2ca2 b2，y1y2 b4a2 b2，)又 2 ，所以(cx 1，y 1)2(x 2c，y 2)，AF FB 所以y 12y 2.所以 所以 ，所以 e .12 4c2a2 b2 239平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1
7、,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1，0) 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 (，1)(1， ) .依题意可知机器人运行的轨迹方程为 y24x.设直线 l：yk(x1)，联立Error!消去 y 得 k2x2 (2k24)x k 20，由 (2k 24) 24k 40，得 k21，解得 k1 或 k1.10(2016全国卷)已知椭圆 E： 1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率x2t y23为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA NA.(1)当 t4，|AM| |AN|时，求 AMN 的面积；(2)当 2|AM
8、|AN|时，求 k 的取值范围设 M(x1，y 1)，则由题意知 y10.(1)当 t4 时，E 的方程为 1，A(2,0) x24 y23由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 .4因此直线 AM 的方程为 yx 2.将 xy2 代入 1 得 7y212y0.x24 y23解得 y0 或 y ，所以 y1 .127 127因此AMN 的面积 SAMN2 .12 127 127 14449(2)由题意 t3，k 0，A( ，0)t将直线 AM 的方程 yk (x )代入 1 得tx2t y23(3tk 2)x22 tk2xt 2k23t0.t由 x1( ) 得 x1 ，tt2k2 3t3 tk2 t3 tk23 tk2故|AM |x 1 | .t 1 k26t1 k23 tk2由题设，直线 AN 的方程为 y (x )，1k t故同理可得|AN| .6kt1 k23k2 t由 2|AM|AN|得 ，23 tk2 k3k2 t即(k 3 2)t3k(2 k1)当 k 时上式不成立，因此 t .323k2k 1k3 2t3 等价于 0，即 0.k3 2k2 k 2k3 2 k 2k2 1k3 2 k 2k3 2由此得Error!或Error!解得 k2.32因此 k 的取值范围是( ，2)32