1、第 49 讲 数学归纳法1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步应验证 n 等于(D)12A1 B2C3 D42用数学归纳法证明：当 n 为正奇数时，x ny n能被 x y 整除，第二步假设应写成(D)A假设 nk (k 为正奇数)时命题成立，再推证 nk1 时命题成立B假设 n2k 1 时 (kN *)命题成立，再推证 n2k2 时命题成立C假设 n2k 1 时 (kN *)命题成立，再推证 n2k3 时命题成立D假设 n2k1 时 (kN *)命题成立，再推证 n2k1 时命题成立k 为正奇数时，k 1 为正偶数，A 不正确；2k1 为正奇数时，2k 2 为正
2、偶数，B 不正确；2k1 与 2k3 (k N*)虽为相邻两正奇数，但 1 未包含其中，故 C 也不正确，应选 D.3平面内有 k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点设 k 条直线的交点个数为 f(k)，则 f(k1)与 f(k)的关系为(D)Af(k 1)f(k)k 1 Bf (k1)f(k)k1Cf(k1) f(k )k 2 Df (k1)f(k)k当 k 条直线再增加一条时，这条直线与前 k 条直线都有交点，故当增加一条直线时，就增加了 k 个交点，即 f(k1) f (k)k.4设 f(n) (nN *)，那么 f(n1) f (n)等于(D)1n 1 1n 2 1n 3 12
3、nA. B.12n 1 12n 2C. D. 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2因为 f(n)为从 n1 到 2n 之间的连续正整数的倒数之和，所以 f(n1) ，1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n 2故 f(n1) f(n) 12n 1 12n 2 1n 1 .12n 1 12n 25用数学归纳法证明：1 1)，第一步要验证的不等式12 13 12n 1是 1 0，f( x) ，令 a11，a n1 f(a n)，nN *.axa x(1)写出 a2，a 3，a 4 的值，并猜想数列 an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论(1)因为 a11，所以 a2f(a
4、1)f (1) ；a1 aa3f(a 2) ；a 4f( a3) .a2 a a3 a猜想：a n .an 1 a(2)证明：易知，n1 时，猜想正确假设 nk 时，猜想正确，即 ak ，ak 1 a则 ak1 f(ak)aaka aka ak 1 aa ak 1 aak 1 a 1 ，ak 1 1 a这说明，nk1 时猜想也正确由可知，对于任意 nN*，都有 an 成立an 1 a8某个命题与正整数 n 有关，若 nk (kN *)时该命题成立，那么可推得当 nk 1时命题也成立，现已知当 n5 时该命题不成立，那么可推得(C)A当 n6 时该命题不成立 B当 n6 时该命题成立C当 n4
5、时该命题不成立 D当 n4 时该命题成立如果 n4 时命题成立，那么由题设，可推得 n5 时命题也成立，上面的判断作为一个命题，它的逆否命题是：如果 n5 时命题不成立，那么 n4 时命题也不成立，依据原命题等价于逆否命题，即原命题成立，则逆否命题也一定成立，应选 C.9平面上有 k 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不交于同一点，则在 k 个圆的基础上再增加一个圆，k1 个圆将平面分成的区域在 k 个圆的基础上增加 2k 块当 nk 1 时，平面上增加了第 k1 个圆，它与原来的 k 个圆的每一个圆都相交于两个不同的点，共 2k 个交点，这 2k 个交点将第 k 1 个圆分成 2
6、k 段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，故区域共增加了 2k 块10设数列 的前 n 项和为 Sn.n2n(1)求 Sn；(2)问是否存在自然数 n0，使得对 nn0 的一切自然数 n 都有 Sn2 ？若存在，求最小1n的自然数 n0，并证明你的结论；若不存在，请说明理由(1)Sn ，12 222 323 n2nSn ，12 122 223 324 n2n 1由得Sn 12 12 122 123 12n n2n 1 1 .121 12n1 12 n2n 1 12n n2n 1所以 Sn2 2 .12n 1 n2n n 22n(2)要 Sn2 ，只需 5 时， 2 .nn 12n 1n而当 n5 时， 1，从而 Snn0 的一切自然数 n 都有 Sn2 成立1n