1、第 46 讲 基本不等式1(2016合肥市二模)若 a， b 都是正数，则(1 )(1 )的最小值为(C)ba 4abA7 B8C9 D10(1 )(1 )5 52 9，ba 4ab ba 4ab ba4ab当且仅当 b2a 时，取“”，故选 C.2小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a1，即 va.va 2ba b3(经典真题)若实数 a，b 满足 ，则 ab 的最小值为(C)1a 2b abA. B22C2 D42由 知 a0，b0，1a 2b ab所以 2 ，即 ab2 ，ab1a 2b 2ab 2当且仅当Error!即 a ，b2 时取“”，42 42所以 ab 的最小值为
2、2 .24已知 x0，y 0，x 2y 2 xy8，则 x2y 的最小值是(B)A3 B4C. D.92 112利用基本不等式，x2y8x(2y )8( )2，x 2y2整理，得(x2y) 24( x2y) 320，即(x2 y4)(x2y 8)0，又 x2y0，所以 x2y 4，当且仅当 x2，y1 时取等号5(2018天津卷)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 的最小值为_ _.18b 14因为 a3b60，所以 a3b6，所以 2a 2 a2 3b 2 218b 2a2 3b2 22 3 ，当且仅当 时等号成立，即 时取到2a 3b 2 614 a 3b，a 3b 6 0) a 3
3、，b 1 )等号6如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分) ，则其边长 x 为 20 m.设矩形的高为 y(m)，面积为 S(m2)，由三角形相似得 ，即 xy 40.x40 40 y40所以 Sxy( )2400，x y2当且仅当 xy20 时等号成立7已知 x0，y 0，且 4xy1.(1)求 的最小值；1x 1y(2)求 log2xlog 2y 的最大值(1)因为 ( )(4xy ) 52 59.1x 1y 1x 1y yx 4xy yx4xy当且仅当 ，即 x ，y 时，取“”yx 4xy 16 13所以 的最小值为 9.1x 1y(2)log2xlog
4、2ylog 2(xy)log 2( 4xy)14log 2 ( )2log 2 4，144x y2 116当且仅当 4xy ，即 x ，y 时取“”18 12所以 log2xlog 2y 的最大值为 4.8(2017四川泸化中学月考) 设 ab0，则 a2 的最小值是(D)1ab 1aa bA1 B2C3 D4(方法 1)因为 ab0，a2 a 2 a 21ab 1aa b a b baba b 1ba ba 2 a 2 4，1b a b2 2 4a2当且仅当 a2b 时取“”，故选 D.2(方法 2)a2 a(ab) ab1ab 1aa b 1aa b 1ab224.当且仅当Error!即E
5、rror!时取“”所以 a2 的最小值为 4.1ab 1aa b9(2018江苏卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为 _9_(方法 1)如图(1)，因为 SABC S ABD S BCD ，所以 acsin 120 c1sin 60 a1sin 60，12 12 12所以 acac.所以 1.1a 1c所以 4ac(4ac)( ) 52 59.1a 1c ca 4ac ca4ac当且仅当 ，即 c2a 时取等号ca 4ac(方法 2)如图(2)，以 B 为原点， BD 为 x 轴建立平
6、面直角坐标系，则 D(1， 0)，A( ， c)，C( ， a)c2 32 a2 32又 A，D，C 三点共线，所以 ，所以 aca c.c2 1 32ca2 132a以下同方法 1.10某单位决定投资 32000 元建一仓库(长方体状) ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 400 元，两侧墙砌砖，每米长造价 450 元，顶部每平方米造价 200 元，求：(1)仓库面积 S 的最大允许值是多少？(2)为使 S 达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为 x 米，两侧砖墙长为 y 米，且 x，y 0.顶部面积 Sxy，依题意得，400x900y 200xy32000，由基本不等式得32000400x900y 200xy 2 200xy400x900y1200 200xy，xy即 320001200 200S，即 S6 1600，S S令 t (t0)，得 t26t1600，S即(t10)( t16)0，所以 0t10，即 0 10，所以 0S100.S所以 S 的最大允许值为 100 平方米(2)由(1)S100，当且仅当 400x900y，且 xy100 时等号成立，解得 x15.所以正面铁栅应设计为 15 米长