1、第 55 讲 空间向量的概念及运算1已知 a(1,5，2)，b(m,2，m 2) ，若 a b，则 m 的值为(B)A0 B6C6 D6由 ab0 得 m102m40，所以 m6.2已知ABCD，且 A(4,1,3)、B(2，5,1) 、C (3,7，5)，则顶点 D 的坐标为(D)A(5，13,3) B(5，13,3)C(5,13，3) D(5,13，3) ，设 (x，y，z)，OA OC OB OD OD 则(7,8，2) ( x2，y 5，z1)，所以 x5，y13，z3，即 (5,13，3)OD 3已知向量 m(4，k ，k 1)，n(k，k3， )，若 m n，则 k 的值等于(A)
2、32A2 B2,6C3，2 D6,3，2代入检验可知选 A.4已知 a(0，1,1)，b(1,2，1) ，则 a 与 b 的夹角是(D)A30 B60C90 D150因为 ab01(1)21(1) 3，又|a| ，|b| ，02 12 12 2 12 22 12 6由 cosa，b ，得a，b150.ab|a|b| 323 325如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E、F 分别是AB、 AD 的中点，则 的值等于 .EF DC 14 EF DC 12BD DC | | |cos ， 12BD DC BD DC cos 120 .12 146若向量 a，b 满足
3、|a|3，|b|2，a，b60，那么 ab 3 ；|a 2b| .13由 ab|a|b|cos a，b 32cos 603，|a2b| .a 2b2 137已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 (2，1,4) ， (4,2,0)，AB AD (1,2,1)AP (1)求证： 是平面 ABCD 的法向量；AP (2)求平行四边形 ABCD 的面积(1)证明： 2( 1)(1) 2410，AB AP 4(1)220 10，AD AP 所以 ， ，所以 平面 ABCD.AB AP AD AP AP 所以 是平面 ABCD 的法向量AP (2)因为 (2，1,4)， (4,2,0)
4、，AB AD 所以| | ，AB 22 12 42 21| | 2 ，AD 42 22 02 5 24(1)24 06，AB AD 所以 cos BADcos ， AB AD ，AB AD |AB |AD | 10535则 sin BAD ，1 cos 2BAD47035所以 SABCD| | |sin BADAB AD 2 8 .21 547035 68如图，空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上，且OA OB OC OM2 MA，N 为 BC 的中点，则 等于(B)MN A. a b c12 23 12B a b c23 12 12C. a b c12 12 23
5、D. a b c 23 23 12 ( )MN ON OM 12OB OC 23OA (bc) a a b c.12 23 23 12 129A(1,0,1) ，B(4,4,6) ，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点 共面 (填共面或不共面)(3,4,5)， (1,2,2)， (9,14,16)，AB AC AD 设 x y .AD AB AC 即(9,14,16)(3x y,4x2y, 5x2y) ，所以Error!从而 A、B、C、D 四点共面10如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在 CD 上，且 CG CD
6、，应用空间向量的运算解决以下问题：14(1)求证： EFB 1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；(3)求 FH 的长(H 为 C1G 的中点)以 D 为原点，DA、DC、DD 1 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，由已知有 E(0,0， )，F( ， ，0)，C(0,1,0)，B 1(1,1,1)，G(0， ，0) ，C 1(0,1,1)12 12 12 34(1)证明：因为 ( ， ， )， ( 1,0，1)，EF 12 12 12 B1C 所以 (1) 0( )(1)0，EF B1C 12 12 12所以 EFB1C.(2)因为 (0， ，0)(0,1,1)(0 ， ，1)，C1G 34 14所以| | ，| | ， .C1G 174 EF 32 EF C1G 38所以 cos ， .EF C1G EF C1G |EF |C1G | 5117(3)因为 H 为 C1G 的中点，所以 H(0， ， )，又 F( ， ，0)，78 12 12 12所以 FH 的长为| |HF 12 02 12 782 0 122 .418