1、第 41 讲 数列的综合问题1(2017长春市高三质量监测( 二)已知数列a n满足 a1 ，a n1 3a n1(nN *)32(1)若数列b n 满足 bna n ，求证： bn 是等比数列；12(2)若数列c n满足 cnlog 3an，T nc 1c 2c n，求证 Tn .nn 12(1)由已知得 an1 3( an )(nN*)，12 12从而有 bn1 3b n，又 b1a 1 1，12所以数列b n是以 1 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 bn3 n1 ，从而 an3 n1 ，12cnlog 3(3n1 )log33n1 n1，12所以 Tnc 1c 2c 3c
2、n012n1 ，nn 12所以 Tn .nn 122(2016四川卷)已知数列a n的首项为 1，S n为数列a n的前 n 项和，S n1 qS n1，其中 q0，n N*.(1)若 2a2，a 3，a 22 成等差数列，求数列 an的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e2 ，证明： e1e 2e n .y2a2n 53 4n 3n3n 1(1)由已知，S n1 qS n1，S n2 qS n1 1，两式相减得到 an2 qa n1 ，n1.又由 S2qS 11 得到 a2qa 1，故 an1 qa n对所有 n1 都成立，所以数列a n是首项为 1，公比为 q 的等
3、比数列从而 anq n1 .由 2a2，a 3，a 22 成等差数列，可得2a33a 22，即 2q23q2，则(2q1)( q2)0.由已知，q0，故 q2.所以 an2 n1 (nN*)(2)证明：由(1)可知，a nq n1 ，所以双曲线 x2 1 的离心率y2a2nen .1 a2n 1 q2n 1由 e2 解得 q .1 q253 43因为 1q 2(k1) q 2(k1) ，所以 q k1 (kN*)1 q2k 1于是 e1e 2e n1q q n1 ，qn 1q 1故 e1e 2e n .4n 3n3n 13(2018浙江卷)已知等比数列 an的公比 q1，且 a3a 4a 52
4、8，a 42 是 a3，a 5 的等差中项数列b n满足 b11，数列(b n1 b n)an的前 n 项和为 2n2n.(1)求 q 的值；(2)求数列b n的通项公式(1)由 a42 是 a3，a 5 的等差中项，得 a3a 52a 44，所以 a3a 4a 53a 4428，解得 a48.由 a3a 520，得 8(q )20，1q解得 q2 或 q .因为 q1，所以 q2.12(2)设 cn(b n1 b n)an，数列c n的前 n 项和为 Sn.由 cn 解得 cn4n1.S1，n 1，Sn Sn 1，n 2，)由(1)可得 an2 n1 ，所以 bn1 b n(4n1) ( )
5、n1 ，12故 bnb n1 (4n5)( )n2 ，n2，12bnb 1(b nb n1 )(b n1 b n2 )(b 3b 2)(b 2b 1)(4n5) ( )n2 (4n9)( )n3 7 3.12 12 12设 Tn37 11( )2 (4n5)( )n2 ，n2，12 12 12则 Tn3 7( )2 (4n9)( )n2 (4n 5)( )n1 ，12 12 12 12 12所以 Tn34 4( )24( )n2 (4n 5)( )n1 ，12 12 12 12 12因此 Tn14(4n3) ( )n 2，n2.12又 b11，所以 bn15(4n 3)( )n2 .12又当
6、n1，b n1b 1 满足上式，所以 bn15(4n3)( )n2 .124设a n是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的正整数 n，a n与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bn ( )(nN *)，求证：b 1b 2b 3b n1n.12an 1an anan 1(1)由已知 (nN*)，an 22 2Sn整理得 Sn (an2) 2，所以 Sn1 (an1 2) 2.18 18所以 an1 S n1 S n (an1 2) 2(a n2) 218 (a 4a n1 a 4a n)，18 2n 1 2n整理得(a n1 a n)(an1 a n 4)0，由题意知 an1 a n0，而 a12，所以 an1 a n4，即数列a n是 a12，d4 的等差数列，所以 ana 1(n1)d4n2.(2)证明：令 cnb n1，则cn ( 2)12an 1an anan 1 ( 1)( 1) .12 2n 12n 1 2n 12n 1 12n 1 12n 1故 b1b 2b nnc 1c 2c n(1 )( )( )13 13 15 12n 1 12n 11 1.12n 1故 b1b 2b n1n.