1、第 34 讲 平面向量的应用1一船从某河一岸驶向另一岸，船速为 v1，水速为 v2，已知船可垂直到达对岸，则(B)A|v 1|v2|C|v 1| v2| D|v 1|与|v 2|的大小不确定2设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab) (axb)的图象是一条直线，则必有(A)Aa b Ba bC|a|b| D|a| |b|f(x)xa 2x 2ababxb 2，因为 f(x)为直线，即 ab0，所以 ab.3已知 O、N、P 在ABC 所在平面内，且| | | |， 0，且OA OB OC NA NB NC ，则点 O、N、P 依次是ABC 的 (C)PA PB PB PC PC PA
2、 A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心由| | | |知，O 为 ABC 的外心OA OB OC 由 0 知，N 为 ABC 的重心NA NB NC 由 ( ) 0 ，PA PB PB PC PA PC PB CA PB 同理， ， ，所以 P 为 ABC 的垂心AP BC CP AB 4已知向量 a(xz,3)，b (2，yz)，且 ab.若 x，y 满足不等式| x|y| 1，则 z的取值范围为(D)A2,2 B2,3 C3,2 D3,3因为 ab，所以 2(xz) 3(yz)0，则 z2x3y，x ，y 满足不等式|x| |y| 1，画出可行域如下
3、：当 z2x3y 经过点 A(0,1)时，z2x3y 取得最大值 3，当 z2x3y 经过点C(0，1) 时，z2x3y 取得最小值3.5两人一起提重为|G| 的书包时，两拉力的夹角为 ，每人用力均为|F| ，则|F|与|G|的关系是 |F| .|G|2cos2按力的平行四边形法则有|F| .|G|2cos26在正三角形 ABC 中，D 是 BC 边上的点，若 AB3， 2 ，则 .DC BD AB AD 152如图，在ABD 中， ( ) 2 AB AD AB AB BD AB AB BD 9| | |cos 120 .AB BD 1527在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(
4、2,3)，C (3,2)，点 P(x，y) 在ABC 三边围成的区域( 含边界)上，且 m n (m，nR) OP AB AC (1)若 mn ，求| |；23 OP (2)用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值(1)因为 mn ， (1,2)， (2,1) ，23 AB AC 所以 (1,2) (2,1)(2,2)OP 23 23所以| | 2 .OP 22 22 2(2)因为 m(1,2) n(2,1) (m2n,2m n), OP 即Error!两式相减得：mn yx.令 yxt，由图可知，当直线 yxt 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.8已知
5、A、B 、C 为ABC 的三个内角，向量 m 满足|m| ，且62m( sin ，cos )，若 A 最大时，动点 P 使得| |、| |、| |成等差数列，则 2B C2 B C2 PB BC PC |PA |BC |的最大值是(A)A. B.233 223C. D.24 324由题意知 2sin2 cos 2 ，B C2 B C2 32即 1cos(BC) ，1 cosB C2 32则 cosA cos(BC)，12因为 B，C(0 ，) ，所以 BC ( ，)，当 BC 时，cos A 取最小值 ，A 取最大值 ，此时 BC .12 23 6设| | 2c(c0) ，因为| |， | |
6、，| |成等差数列，BC PB BC PC 所以| | |2| |4c | |，PB PC BC BC 所以点 P 的轨迹为以 B、C 为焦点的椭圆，且椭圆方程为 1，x24c2 y23c2不妨设 A(0， )，P (2ccos ， csin )( 为参数)，c3 3则| |PA 4c2cos2 3csin c32c c，163 sin 12 433当且仅当 sin 1 时取等号，所以 的最大值是 .|PA |BC |43c32c 2339已知点 P( 3，0) ，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 AQ 上，满足 0， ，当点 A 在 y 轴上移动时，动点 M
7、 的轨迹方程为PA AM AM 32MQ _y24x( x0)_设 M(x，y )为轨迹上的任一点，设 A(0，b) ，Q(a， 0)(a0)，则 (x，yb) ，AM (ax，y )，MQ 因为 ，所以(x ，yb) (ax，y )，AM 32MQ 32所以 a x，b ，即 A(0， )，Q( ，0) ，13 y2 y2 x3(3 ， )， ( x， y)，PA y2 AM 32因为 0，所以 3x y20，PA AM 34即所求轨迹的方程为 y24x (x0)10如图，平行四边形 OACB 中，BD BC，OD 与 BA 相交于 E，求证：BE BA.13 14如图，设 a， b，OA OB 则 a， b a，BD 13 OD 13设 manb，OE 因为 O，E，D 三点共线，所以 ，mn 13 (m1)anb， ba，AE OE OA AB 又 A，E，B 三点共线，所以 ，即 mn10.m 1 1 n1由解得 m ，n3m ，故 a b.14 34 OE 14 34所以 a b b a b，BE OE OB 14 34 14 14又 ab，所以 ，即 BE BA.BA BE 14BA 14