1、第 37 讲 等差数列的概念及基本运算1已知正项数列a n中，a 11，a 22,2a a a (n2)，则 a6 等于(D)2n 2n 1 2n 1A16 B8C2 D42由 2a a a 可知数列a 是等差数列，且首项为 a 1，公差2n 2n 1 2n 1 2n 21da a 413.2 21所以a 的通项 a 13(n1) 3n2，2n 2n所以 an .所以 a6 4.3n 2 36 22(2018武汉二月调研)在等差数列 an中，前 n 项和 Sn 满足 S7S 245，则 a5(B)A7 B9 C14 D18因为 S7S 2a 3a 4a 5a 6a 745，所以 5a545，所
2、以 a59.3(2018长沙模拟)各项均为正数的等差数列 an中，a 4a936，则前 12 项和 S12 的最小值为( D)A78 B48C60 D72因为 S12 126(a 1a 12)6(a 4a 9)62 12 72.（a1 a12）2 a4a9 364(2016湖北八校第一次联考) 等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 1，S20162016 S20152015则数列 an的公差为(B)A1 B2C2015 D2016(方法) 由 Sn ，得 ，na1 an2 Snn a1 an2所以 1，S20162016 S20152015 a1 a20162 a1 a20152 a201
3、6 a20152 d2所以 d2.(方法) 由 Snna 1 d，得nn 12 (a 1 d)(a 1 d) 1，S20162016 S20152015 20152 20142 d2所以 d2.5(2018北京卷)设a n是等差数列，且 a13，a 2a 536 ，则a n的通项公式为_an6n3_(方法 1)设公差为 d.因为 a2a 536，所以(a 1d)(a 14d) 36，所以2a15d36.因为 a13，所以 d6，所以通项公式 ana 1(n 1)d6n3.(方法 2)设公差为 d，因为 a2a 5a 1a 636，a 13，所以 a633，所以d 6.因为 a13，所以通项公式
4、 an6n3.a6 a156(经典真题)设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a11，a n1 S nSn1 ，则 Sn .1n由已知得 an1 S n1 S nS n1 Sn，两边同除以 Sn1 Sn，得 1，1Sn 1 1Sn故数列 是以1 为首项，1 为公差的等差数列，1Sn所以 1(n1)n，所以 Sn .1Sn 1n7(2018全国卷)记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，已知 a17，S 315.(1)求a n的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值(1)设a n的公差为 d，由题意得 3a13d15.由 a17，得 d2.所以a n的通项公式为 ana 1(n 1)
5、d2n9.(2)由(1)得 Sn nn 28n(n 4) 216.a1 an2所以当 n4 时，S n 取得最小值，最小值为16.8(2016浙江卷)如图，点列 An， Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1 | An 1An2 |，A nA n2 ，nN *，| BnBn1 | Bn1 Bn2 |，B nB n2 ，nN *(PQ 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn| AnBn|，S n为A nBnBn1 的面积，则(A)A Sn是等差数列 BS 是等差数列2nCd n是等差数列 Dd 是等差数列2n(方法)先求出三角形的面积，再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列作 A1C1，A
6、2C2，A 3C3，A nCn垂直于直线 B1Bn，垂足分别为C1，C 2，C 3， ，C n，则 A1C1A2C2AnCn.因为|A nAn1 | An1 An2 |，所以|C nCn1 |C n1 Cn2 |.设|A 1C1|a，|A 2C2|b，| B1B2|c，则|A 3C3|2ba，|A nCn|(n1)b( n2)a( n3)，所以 Sn c(n1)b(n2)a c(ba)n(2ab) ，12 12所以 Sn1 S n c(ba)( n1) (2ab)( ba)n(2 ab) c(ba) ，所以数列S n是12 12等差数列(方法) 利用等差中项的性质进行判断由题意可得，S n h
7、n|BnBn1 |，12因为|B nBn1 | Bn1 Bn2 |，不妨设|B nBn1 |2，则 Snh n.因为 hn是顶点 An到边 Bn1 Bn的距离，h n1 是顶点 An1 到边 BnBn1 的距离由梯形的中位线性质可知：2h nh n1 h n1 ，故h n是等差数列，所以S n是等差数列9(2018江西南昌市一模)已知 x2y 24，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 .3102设在两个实数 x，y 之间插入三个实数后，这五个数为 x，a 1，a 2，a 3，y.因为这五个数构成等差数列，所以这个等差数列后三项和为
8、a2a 3y y (x3y )x y2 x y2 y2 34(方法) 由 x2y 24，可设 x2cos ，y2sin ，则 x3y2(cos 3sin )2 2 .12 32 10所以 a2a 3y (x3y ) 2 .34 34 10 3102(方法) 令 zx 3y ，则当直线 zx3y，即 x3yz0 与圆相切时，z 取得取大值与最小值又 x2y 24 表示圆心为(0,0)，半径为 2 的圆，由圆心到直线的距离等于半径，得 2，|z|12 32得 z2 ，所以 z 的最大值为 2 .10 10所以(a 2a 3y) max 2 .34 10 310210已知数列a n中，a 15 且
9、an2a n1 2 n1(n2 且 nN *)(1)求证数列 为等差数列；an 12n (2)求数列a n的通项公式(1)证明：(方法：构造法 )因为 a15 且 an2a n1 2 n1，所以当 n2 时，a n12(a n1 1) 2 n，所以 1，所以 1，an 12n an 1 12n 1 an 12n an 1 12n 1所以 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列an 12n a1 12(方法：代入法)因为 a15，n2 时，所以 1，an 12n an 1 12n 1 2an 1 2n 1 12n an 1 12n 1所以 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列an 12n a1 12(2)由(1)知 2(n1) 1n1，an 12n所以 an(n1)2 n1.