1、第 33 讲 平面向量的数量积1(2018全国卷)已知向量 a，b 满足| a|1，ab1，则 a(2ab)(B)A4 B3C2 D0a(2ab)2a 2ab2|a| 2a b.因为|a| 1，ab1，所以原式 21213.2(2018汕头模拟)若两个非零向量 a， b 满足|b|2|a|2 ， |a2b|3 ， 则 a， b 的夹角是(D)A. B.6 3C. D2因为|b|2|a|2 ， |a2b|3 ，所以(a2b) 2a 24ab4b 29 ， 得 ab2.所以 cos 1，ab|a|b| 221因为 0，所以 .3(2016山东卷)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cos
2、 m，n ，若13n( tm n)，则实数 t 的值为(B)A4 B4C. D94 94因为 n(tmn)，所以 n(tmn)0，即 tmn| n|20，所以 t|m|n|cos m，n|n| 20.又 4|m| 3|n|，所以 t |n|2 | n|20，34 13解得 t4.故选 B.4(2018北京卷)设 a，b 均为单位向量，则 “|a3b|3ab| ”是“ab”的(C)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件由|a3b|3ab|，得(a3b) 2(3 ab) 2，即 a29b 26ab9a 2b 2 6ab.又 a，b 均为单位向量，所以 a2b
3、21，所以 ab0，能推出 ab.由 ab 得|a 3b| ，|3ab| ，10 10能推出|a3b| |3ab|，所以“|a3b| |3ab|”是“ ab”的充分必要条件5(2016全国卷 )设向量 a( m,1)，b(1,2) ，且| ab| 2|a| 2|b| 2，则 m 2 .因为|ab |2|a| 2| b|22ab|a| 2| b|2，所以 ab0.又 a(m,1) ，b(1,2)，所以 m20，所以 m26(2017天津卷)在ABC 中，A60，AB 3，AC 2，若 2 ， BD DC AE AC (R )，且 4，则 的值为 .AB AD AE 311由题意，知| |3，|
4、|2，AB AC 32 cos 603，AB AC ( )AD AB BD AB 23BC AB 23AC AB ，13AB 23AC 所以 ( )( )AD AE 13AB 23AC AC AB 2 2 23 AB AC 13AB 23AC 3 32 22 23 13 23 54 ，解得 .113 3117已知|a|1，ab ，(a b)(ab) .12 12(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求 ab 与 ab 的夹角的余弦值(1)因为(a b)(ab) ，所以|a| 2|b| 2 ，12 12又因为|a|1，所以|b| .|a|2 12 22设 a，b 的夹角为 ，则 cos ，ab|a
5、|b|12122 22所以 45.(2)因为(ab) 2a 22abb 212 ，12 12 12所以|ab| .22(ab) 2a 22abb 212 ，12 12 52所以|ab| .102设 ab 与 ab 的夹角为 ，则 cos .a ba b|a b|a b|1222 102 558(2018天津卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，AD CD，BAD120，ABAD 1.若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为(A)AE BE A. B.2116 32C. D32516如图，以 D 为坐标原点建立直角坐标系连接 AC，由题意知CADCAB60，ACD ACB30，则
6、 D(0，0)，A(1，0)，B( ， )，C(0， )设 E(0，y)(0 y )，则 (1，y) ， ( ，y32 32 3 3 AE BE 32)，32所以 y 2 y(y )2 ，AE BE 32 32 34 2116所以当 y 时， 有最小值 .34 AE BE 21169(2018深圳一模)在ABC 中，ABAC，|AC| ， ，则 _2 BC 3BD AD AC _233因为 AD AB BD AB 13BC ( )，AB 13AC AB 所以 ( 2 )，AD AC AB AC 13AC AB AC 2 .13AC 23 23310(2017江苏卷)已知向量 a(cos x，s
7、in x)，b(3 ， )，x0 ，3(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab ，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3， )，ab，3所以 cos x 3sin x.3若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos 2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x .又 x0，所以 x .33 56(2)f(x)ab(cos x ，sin x)(3， )3cos x sin x2 cos(x )3 3 36因为 x0，所以 x ， ，6 6 76从而1cos(x ) .6 32于是，当 x ，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；6 6当 x ，即 x 时，f(x) 取到最小值2 .6 56 3