1、第 40 讲 数列求和1已知数列a n的前 n 项和 Snn 3，则 a6a 7a 8a 9 等于 (C)A729 B387C604 D854a6a 7a 8a 9S 9S 59 35 3604.2(2018全国模拟)设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，a 4 4，S 515，若 的1anan 1前 m 项和为 ，则 m 的值为( C)1011A8 B9C10 D11设数列a n的首项为 a1，公差为 d.则有 解得 所以 ann，a1 3d 4，5a1 542 d 15，) a1 1，d 1，)所以 ，1anan 1 1n（n 1） 1n 1n 1所以 Sm1 12 12 13 1m
2、1m 11 ，1m 1 mm 1令 ，解得 m10.mm 1 10113(2018甘肃会宁月考)已知数列 an的通项公式 anlog 2 (nN *)，设其前 n 项和n 1n 2为 Sn，则使 Sn2 6，n62 ，所以 n63.2n 24已知数列a n的前 n 项和 Sn1357(1) n1 (2n1)(nN *)，则S17S 23S 50 等于(A)A90 B10C10 D22S17135733283317，S231357452114523，S5013579922550，所以 S17S 23S 5017235090.5数列a n的通项公式是 an ，若 Sn10，则 n 120 .1n
3、n 1an ，1n n 1 n 1 n所以 Sn 110，所以 n120.n 16(2015江苏卷)设数列a n满足 a11，且 an1 a nn1( nN *)，则数列 的前1an10 项和为 .2011由题意有 a2a 12，a 3a 23，a na n1 n(n2) 以上各式相加，得ana 123n .n 12 n2 n2 n 22又因为 a11，所以 an (n2) n2 n2因为当 n1 时也满足此式，所以 an (nN*)n2 n2所以 2( )1an 2n2 n 1n 1n 1所以 S102( )11 12 12 13 110 1112(1 ) .111 20117(2018广州
4、二模)已知各项均为正数的数列 an满足 a 3a 2a nan1 ，且2n 1 2na2a 43(a 3 3)，其中 nN *.(1)证明数列a n是等比数列，并求其通项公式； (2)令 bnna n, 求数列b n的前 n 项和 Sn.(1)由 a 3a 2a nan1 ，得 a 2a nan1 3a 0，2n 1 2n 2n 1 2n得(a n1 a n)(an1 3a n)0，由已知 an0，得 an1 a n0，所以 an1 3a n.所以数列a n是公比为 3 的等比数列由 a2a 43(a 33)，得 3a127a 13(9a 13) ，解得 a13，所以 an3 n.(2)由 b
5、nna nn3 n，则 Sn323 233 3(n1)3 n1 n3 n, 3Sn3 223 333 4(n1)3 nn3 n1, 得2S n33 23 33 nn3 n1 n3 n13（1 3n）1 3( n)3 n1 .12 32所以 Sn( )3n1 .n2 14 348设 f(x) ，则 f( )f( )f( )的值为(B)9x9x 3 12000 22000 19992000A999 B.19992C1000 D.20012因为 f(x) ，所以 f(1x ) ，9x9x 3 91 x91 x 3 39x 3所以 f(x)f(1x )1.设 Sf( ) f( ) f( )，12000
6、 22000 19992000Sf( )f( )f( )，19992000 19982000 12000上述两式相加得 2S119991999，所以 S .199929(2017江西八所重点中学联考) 在数列a n中，已知 a11，a n1 ( 1)nancos(n1)，记 Sn 为数列 an的前 n 项和，则 S2017 1007 .因为 an1 (1) nancos(n1)(1) n1 ，所以当 n2k 时，a 2k1 a 2k1，kN *.所以 S2017a 1(a 2a 3)(a 2016a 2017)1(1) 10081007.10(2018天津卷)设a n是等比数列 ，公比大于 0
7、，其前 n 项和为 Sn(nN *)，b n是等差数列已知 a11，a 3a 22，a 4b 3b 5，a 5b 42b 6.(1)求a n和 bn的通项公式(2)设数列S n的前 n 项和为 Tn(nN *)，求 Tn；证明 2(nN *)k1（Tk bk 2）bk（k 1）（k 2） 2n 2n 2(1)设等比数列 an的公比为 q.由 a11，a 3a 22，可得 q2q20.由 q0，可得 q2，故 an2 n1 .设等差数列b n的公差为 d.由 a4b 3b 5，可得 b13d 4.由 a5b 42b 6，可得3b113d16，从而 b11，d1，故 bnn.所以，数列a n的通项公式为 an2 n1 ，数列b n的通项公式为 bnn.(2)由(1)，有 Sn 2 n1，故1 2n1 2Tn （2 k1）= 2kn nk112（1 2n）1 22 n1 n2.证明：因为 （Tk bk 2）bk（k 1）（k 2） （2k 1 k 2 k 2）k（k 1）（k 2） ，k2k 1（k 1）（k 2） 2k 2k 2 2k 1k 1所以， ( )( )( ) 2.nk1（Tk bk 2）bk（k 1）（k 2） 233 222 244 233 2n 2n 2 2n 1n 1 2n 2n 2