1、第 30 讲 正弦定理、余弦定理的综合应用1(2017淮北一中月考)在 ABC 中，两边的差为 2，两边夹角的余弦值为 ，且三角35形面积为 14，则这两边的长分别是(D)A3,5 B4,6C6,8 D5,7不妨设两边为 b，c (bc)，则 bc2，cos A ，则 sin A ，所以 S35 45ABC bcsin A bc14.12 25所以 bc35.所以 b7，c 5.2(2019岳阳一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cacos B(2ab)cos A，则ABC 的形状是(D)A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形由正弦定理得：
2、sin Csin Acos B(2sin Asin B )cos A，即 sin(AB )sin Acos B(2sin Asin B )cos A，得 sin Bcos Asin Acos A.当 cos A0 时， A ，此时为直角三角形；2当 cos A0 时， sin Bsin A，即 AB 或 AB(舍)，此时为等腰三角形所以ABC 为等腰三角形或直角三角形3在ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C，则 A 的取值范围是(C)A(0， B ，)6 6C(0， D ，)3 3由正弦定理及题设条件知a2b 2c 2bcb 2c 2a 2bc 1 cos A
3、，所以 0A .b2 c2 a2bc 12 34如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于(C)A240( 1)m B180( 1)m3 2C120( 1)m D30( 1)m3 3如图，ACD30，ABD75，AD60m，在 RtACD 中，CD 60 m，ADtan ACD 60tan 30 3在 RtABD 中，BD ADtan ABD 60tan 75 602 360(2 )m，3所以 BCCDBD60 60(2 )3 3120( 1)m.35一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰
4、好在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这只船的速度是每小时 10 海里如图，可知BMA756015 ，又MAP30 ，所以MBA15，所以 AMAB10.所以 MPAMcos 605，其速度为 10(海里/ 小时) 50.56(2018石家庄一模)如图所示，平面四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB1, BC ， ACCD, ACCD，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为_3_2设ABC ，ACB，则由余弦定理可得 AC232 cos ，2由正弦定理可得 sin ，sin 3 22cos 所以 BD2232 cos 2
5、 cos(90) 2 2 3 22cos 52 cos 2 sin 2 254sin(45)，所以 135 时， BD2 有最大值 9 , BD 取得最大值为 3.7(2018石家庄二模)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且tan A tan B.3cacosB(1)求角 A 的大小；(2)设 AD 为 BC 边上的高，a ，求 AD 的取值范围3(1)在ABC 中，因为 tan A tan B.3cacos B所以 ，3sin Csin Acos B sin Acos A sin Bcos B即 ，3sin Csin Acos B sin Acos B sin Bc
6、os Acos Acos B所以 ，则 tan A ，所以 A .3sin A 1cos A 3 3(2)因为 SABC ADBC bcsin A，所以 AD bc.12 12 12由余弦定理得 cos A ，12 b2 c2 a22bc 2bc 32bc所以 0bc3( 当且仅当 bc 时等号成立)所以 0AD .328(2018郑州一中周测)在 ABC 中，AB12，C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3 2 两部分，则 cos A(C)A. B.13 12C. D034因为 C 的平分线 CD 把三角形面积分成 32 两部分，所以 ACBC32， ，BCsin A ACsin B AC
7、sin 2A所以 ，所以 cos A .2sin A 32sin Acos A 349(2018华南师大附中模拟) 在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，a ，b，c 成等比数列，a c3，cos B ，则 _ _34 AB BC 32因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2ac，又 ac3，cos B ，34由余弦定理，得：aca 2c 22ac ，34即 ac(a c) 2 2ac ac，所以 ac (ac) 22.32 29所以 cacos( B) ac 2 .AB BC 34 34 3210(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin
8、(AC )8sin 2 .B2(1)求 cos B；(2)若 ac6，ABC 的面积为 2，求 b.(1)由题设及 ABC 得 sin B8sin 2 ，B2故 sin B4(1cos B )上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)，或 cos B .1517故 cos B .1517(2)由 cos B 得 sin B ，1517 817故 SABC acsin B ac.12 417又 SABC2，则 ac .172由余弦定理及 ac6 得 b2a 2c 22ac cos B(ac )22ac(1cos B)362 (1 )4.172 1517所以 b2.