1、第 39 讲 由递推公式求通项1在数列a n中，已知 a11，a n1 2a n1，则其通项公式为 an(A)A2 n1 B2 n1 1C2n1 D2(n1)由题意知 an1 12(a n1) ，所以数列a n1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an12 n，所以 an2 n1.2若数列a n的前 n 项和为 Sn an3，则这个数列的通项公式为 (D)32Aa n2(n 2n1) Ba n32 nCa n3n1 Da n23 n(方法) 当 n1 时，a 1 a13，所以 a16，排除 C.32当 n2 时，a 1a 2 a23，得 a218，排除 A、B.32(方法) 当 n1
2、 时，a 16.当 n2 时，a nS nS n1 an3( an1 3) ，32 32故 an3a n1 ，所以a n是首项为 6，公比为 3 的等比数列所以 an23 n.3(2018四川模拟)已知数列 an 满足 a1 0，a n1 (n N * )，则 a56 等an 33an 1于(A)A B 03C. D.332因为 a10，a n1 ，an 33an 1所以 a2 ，a 3 ，a 40，.3 3从而 3 为最小正周期，从而 a56a 3182 a 2 .34已知数列a n满足 an1 a n2n3，若 a12，则 a8 a4(D)A7 B6C5 D4依题意得：( an1 a n)
3、( ana n1 )(2n 3) 2(n1)3 2，所以an2 a n2，所以 a8a 4(a 8a 6)( a6a 4)224.5已知在数列a n中，a 1 ，a n1 a n ，则a n的通项公式为 a n .12 14n2 1 4n 34n 2因为 an1 a n ( )，14n2 1 12 12n 1 12n 1令 n1,2,3，n1 代入上式，累加得：ana 1(a 2a 1)( a3a 2)(a na n1 ) (1 )( )( )12 13 13 15 12n 3 12n 1即 ana 1 (1 )，所以 an .12 12n 1 4n 34n 26(2016浙江卷)设数列a n
4、的前 n 项和为 Sn.若 S24，a n1 2S n1，nN *，则 a1 1 ，S 5 121 .因为 an1 2S n1，所以 Sn1 S n2S n1，所以 Sn1 3S n1，所以 Sn1 3(S n )，12 12所以数列S n 是公比为 3 的等比数列，12所以 3.又 S24，所以 S11，所以 a11，S2 12S1 12所以 S5 (S 1 )34 34 ，12 12 32 2432所以 S5121.7(2018全国卷改编)记 Sn 为数列a n的前 n 项和若 Sn2a n1.(1)证明a n是等比数列，并求 S6 的值；(2)证明S n1是等比数列，并求 Sn 的表达式
5、(1)因为 Sn2a n1，当 n2 时，S n1 2a n1 1，所以 anS nS n1 2a n2a n1 ，即 an2a n1 .当 n1 时，a 1S 12a 11，得 a11.所以数列a n是首项 a1为1，公比 q 为 2 的等比数列，所以 Sn 12 n，a1（1 qn）1 q 1（1 2n）1 2所以 S612 663.(2)由 Sn2a n1，得 S12S 11，所以 S11.n2 时，S n2a n1，得 Sn2(S nS n1 )1，即 Sn2S n1 1，所以 Sn1 2(S n1 1)，又 S112.所以S n1 是首项为2，公比为 2 的等比数列，所以 Sn122
6、 n1 2 n，所以 Sn12 n.8(2018河南名校联考)设数列 an满足：a 11，a 23，且 2nan( n1)a n1 (n1)an1 ，则 a20 的值是(D)A4 B415 25C4 D435 45(方法) 由题意知，当 n2 时，(n1)(a n1 a n)(n1)( an an1 )，即 ，an 1 anan an 1 n 1n 1则 ， ， (n3) ，a3 a2a2 a1 13 a4 a3a3 a2 24 an an 1an 1 an 2 n 2n以上各式左右两边相乘得， 2( )(n3)，an an 1a2 a1 13 24 n 2n 2nn 1 1n 1 1n因为
7、a2a 12，所以 ana n1 4( )，且当 n2 时，a 2a 14( )2 成立，1n 1 1n 12 1 12所以 a2a 14(1 )，a 3a 24( )，a na n1 4( )，12 12 13 1n 1 1n以上各式左右两边分别相加得 an14(1 ) ，1n 4n 4n所以 an 1 (n2) 所以 a20 4 .4n 4n 5n 4n 9620 45(方法) 由条件 nan成等差数列，且首项 1a11，公差 d2a 2a 15.所以 nan1(n1)54n4.所以 an ，所以 a20 4 .5n 4n 9629 459已知数列a n满足 a12， nN *，a n0，
8、且(n1) a a nan1 na 0，则数2n 2n 1列a n的通项公式是 an 2n .由题意，得(n1)a nna n1 (ana n1 )0，因为 an0，所以(n1)a nna n1 0，所以 ，an 1an n 1n(方法) 利用累乘法得 an2n.(方法) 由 ，得 .an 1an n 1n an 1n 1 ann所以 是常数列，所以 2.所以 an2n.ann ann a1110根据下面各式的首项和递推关系，求出数列的通项公式(1)a11，a n1 ，nN *；2anan 4(2)设 a12，a n1 ，b n| |，nN *，求数列b n的通项公式2an 1 an 2an 1(1)由 an1 ，得 ，2anan 4 1an 1 an 42an 12 2an设 2( )，则 ，1an 1 1an 12所以数列 是以 为首项，公比为 2 的等比数列，1an 12 1a1 12 32所以 2n1 32 n2 ，所以 an .1an 12 32 232n 1 1(2)因为 bn1 | | |2| |2b n，且 b14，所以数列 bn是首项an 1 2an 1 12an 1 22an 1 1 an 2an 1为 4，公比为 2 的等比数列所以 bn42 n1 2 n1 .