1、第 29 讲 正弦定理与余弦定理1在ABC 中，a3 ，b2 ，cos C ，则ABC 的面积为(D)2 313A. B23 3C3 D43 3因为 C 为三角形的内角，所以 sin C ，1 cos2C223所以 S absin C 3 2 4 .12 12 2 3 223 32(2016天津卷)在ABC 中，若 AB ，BC 3， C120，则 AC(A)13A1 B2C3 D4由余弦定理得 AB2AC 2BC 22AC BCcos C，即 13AC 292AC3cos 120，化简得 AC23AC4 0，解得 AC1 或 AC4( 舍去) 故选 A.3(2016全国卷)在ABC 中，B
2、，BC 边上的高等于 BC，则 cos A(C)4 13A. B.31010 1010C D1010 31010(方法 1)设 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则由题意得 SABC a12a acsin B，所以 c a.13 12 23由余弦定理得 b2a 2c 22accos Ba 2 a22a a a2，所以 b a.29 23 22 59 53所以 cos A .故选 C.b2 c2 a22bc59a2 29a2 a2253a23a 1010(方法 2)同方法一得 c a.23由正弦定理得 sin C sin A，又 B ，所以 sin Csin( A) sin
3、A，即 cos 23 4 34 23 22A sin A sin A，所以 tan A3，所以 A 为钝角22 23又因为 1tan 2A ，所以 cos2A ，1cos2A 110所以 cos A .故选 C.10104如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC、ED，则 sin CED(B)A. B.31010 1010C. D.510 515EBEAAB2，EC ，EB2 BC2 4 1 5EDCEDA ADC .4 2 34由正弦定理，得 ，sin CEDsin EDC DCCE 15 55所以 sin CED sin EDC sin .55
4、55 34 10105(2017全国卷文)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos C ccos A，则 B .3(方法一) 由 2bcos Bacos Cccos A 及正弦定理，得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.所以 2sin Bcos Bsin(A C )又 ABC ，所以 AC B.所以 2sin Bcos Bsin( B) sin B.又 sin B0，所以 cos B .所以 B .12 3(方法二) 因为在 ABC 中，由射影定理有 acos Cccos Ab，所以条件等式变为 2bcos B b，所以 cos B .12又 00，所以 sin Bcos A，2即 cos( B)cos A，2因为 A(0， )， B(0， )，2 2所以 BA，即 AB ，所以 C .2 2 2(2)设 BDm，CB n，因为 B ，C ，3 2所以 A ，且 AC n，AB2n，AD2nm，6 3所以 SACD ACADsinA n(2nm) ，即 n(2nm)3，12 12 3 12 334在BCD 中，由余弦定理CD2BC 2BD 22BCBDcos DBC，可得m2n 2mn3，联立可解得 mn1，即 BD1.