1、第 19 讲 导数的综合应用导数与方程1已知函数 yx 33x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c(A)A2 或 2 B9 或 3C1 或 1 D3 或 1由三次函数的图象与 x 轴恰有两个公共点，结合函数的图象，可得极大值或极小值为零即可满足要求而 f(x )3x 233( x1)(x1)，当 x1 时，取得极值，由 f(1)0 或 f(1) 0，可得 c20 或 c20，所以c2.2若曲线 f(x)ax 2ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是(A)A(，0) B(，0C0，) D(0，)该函数的定义域为(0， ) f(x)2ax .1x因为曲线 f(x)ax
2、 2ln x 存在垂直于 y 轴的切线，问题转化为方程 2ax 0 在(0，) 内有解，1x于是可得 a (，0) 12x23已知 x0 是函数 f(x)2sin xln x(x(0 ，) 的零点，设 x1，x 2(0，)，且 x10.其中正确的命题是(A)A BC Df(x) 2cos x .x当 x(0， )时， 2，f(x)f(x2)，即 f(x1)f( x2)0，正确因为 f(1)2sin 1ln 12sin 10，f (e)2sin e2；a0，b2；a1，b2.令 f(x)x 3ax b，则 f(x) 3x 2a.当 a0 时，f(x )0，f(x )单调递增，正确；当 a0 时，
3、若 a3，则 f(x )3x 233( x1)(x1)，所以 f(x)极大 f(1)13bb2，f(x)极小 f(1)13bb2，要使 f(x)0 仅有一个实根，需 f(x)极大 0 或 f(x)极小 0，所以 b2 或 b2，正确，不正确故填.7(2017河西区二模节选)设函数 f(x) x3ax( a0)，g(x)bx 22b1.当 b 时，13 1 a2若函数 h(x)f(x )g(x) 在区间( 2,0)内恰有两个零点，求实数 a 的取值范围当 b 时，h(x) x3 x2axa(a0)，1 a2 13 1 a2所以 h(x) x 2(1 a)xa(x1)(xa)所以 h(x)在(，1
4、)上递增，在 (1，a)上递减，在( a，) 上递增所以当 x(2,0)时，h(x )在(2，1) 上递增，在(1,0) 上递减函数 h(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，则Error!即Error!解得 00 ，所以方程有两个实根 t1，t 2，不妨设 t10，f(x)为增函数，若函数 f(x)在区间(0,2) 上恰有一个零点，则 f(1)0 或 f(2)0，即 f(2)42ln 2a0，所以 a2ln 24；由 f(1) a0，得 a .32 32综上，a2ln 24 或 a .3210(2018黑龙江省大庆市高三月考) 已知函数 f(x)(x 2)exa(x1) 2 有两个零点(1)求
5、 a 的取值范围；(2)设 x1，x 2 是 f(x)的两个零点，证明：x 1x 22.(1)f(x) (x1)e x2a(x1) (x1)(e x2a)设 a0，则 f(x)(x2)e x，f (x)只有一个零点设 a0，则当 x(，1) 时，f (x) 0；当 x(1，)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)内单调递减，在(1，) 内单调递增又 f(1)e，f(2) a，取 b 满足 b0 且 bln ，a2则 f(b) (b2)a(b1) 2a(b 2 b)0，a2 32故 f(x)存在两个零点设 a0，由 f(x )0 得 x1 或 xln( 2a) 若 a ，则 ln(2a)1，故
6、当 x(1，) 时，e2f(x)0，因此 f(x)在(1，)内单调递增又当 x1 时，f( x)0，所以 f(x)不存在两个零点若 a ，则 ln(2a)1，故当 x(1，ln(2a) 时，f (x) 0；e2当 x(ln(2a)，)时，f(x)0.因此 f(x)在(1，ln(2a) 内单调递减，在(ln( 2a) ，)内单调递增又当 x1 时，f( x)0，所以 f(x)不存在两个零点综上，a 的取值范围为(0， ) (2)不妨设 x1x 2，由(1)知，x 1(，1) ，x 2(1，)，2x 2(，1)，f(x) 在(，1) 内单调递减，所以 x1x 22 等价于 f(x1) f(2x 2)，即 f(2x 2)0.由于 f(2x 2)x 2e2x 2a( x21) 2，而 f(x2)(x 22)ex 2a(x 21) 20，所以 f(2x 2)x 2e2x 2(x 22)e x2.设 g(x)xe 2x (x 2)e x，则 g(x) (x 1)(e2x e x)所以当 x1 时，g( x)0，而 g(1)0，故当 x1 时，g( x)0.从而 g(x2)f(2x 2)0，故 x1x 22.