1、第 18 讲 导数的综合应用导数与不等式1定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f(x) ，则满足 2f(x)1 D x|x1令 g(x)2f(x)x 1，则 g( x)2f ( x)10，所以 g(x)在 R上为增函数，又 g(1)2f(1)110，所以 g(x)x(x0) Bsin x0)C. xsin x D以上各式都不对2令 g(x)sin xx ，则 g(x)cos x10，所以 g(x)在(0，)上单调递减，所以 g(x)1，使得 f(x0)0，则实数a 的取值范围为(B)A0，) B(，0C1，) D(，1由 f(x)0，得 axx ex，令 h(
2、x)xxe x(x1)，h(x)1(1 x)e x，h(x)(x 2)ex1 时，f(x )0，f(x )单调递增；当 x0 恒成立，2则实数 m 的取值范围是 (，1) .因为 f(x )3x 210，所以 f(x)在 R上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以条件即为 f(msin )f(m1) ，所以 msin m1 对 0， 恒成立，2即 m(1sin )1 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时，g(x)g(1) 0.因此，当 a 时，f(x )0.1e(证法 2)f(x) (x0)，axex 1x令 g(x)axe x1，g(x)a(x1)e x0，所以 g
3、(x)在(0，)单调递增，因为 g(1)ae10，g(0)1，所以x 0(0，1使 g(x0)0，即 ax0ex010，当 x(0 ，x 0)， f(x)0，所以 f(x)minf(x 0)ae x0ln x 01 ln x01，x 0(0，1，1x0令 (x) ln x1，x(0， 1，(x ) ln x2ln x 1 Be x2e x1x1ex2 Dx 2ex1x1ex2.由此可知选 C.ex2x2 ex1x1如何说明 A 和 B 不成立？下面进行探讨：设 g(x)e xln x(00，则2 2不等式 f(x)cos x 的解集为_(0 ， )_2因为 x( ， )，f(x )f (x)t
4、an x02 2cos xf(x)f(x)sin x 0，令 g(x) ，则 g(x) 0，f（x）cos x cos xf（x） f（x）sin xcos2x所以 g(x)在( ， )上单调递增，2 2又 yf(x) 1 为奇函数，所以 f(0)10，f (0)1，所以 g(0) 1.f（0）cos 0所以不等式 f(x)cos x 1g(x)g(0)，f（x）cos x所以 所以其解集为(0， )x0， 2x2，) 210(2017全国卷)已知函数 f(x)x1aln x.(1)若 f(x)0，求 a 的值；(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n，(1 )(1 )(1 )m ，求 m
5、的最小12 122 12n值(1)f(x)的定义域为 (0，)，若 a0，因为 f( ) aln 20，所以不满足题意12 12若 a0，由 f(x )1 知，ax x ax当 x(0，a)时，f(x)0；当 x(a，)时，f(x)0.所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，) 单调递增故 xa 是 f(x)在(0 ，)的唯一最小值点因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f (x)0，故 a1.(2)由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0.令 x1 ，得 ln(1 ) ，12n 12n 12n从而 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )12 122 12n 1 1.12 122 12n 12n故(1 )(1 )(1 ) e.12 122 12n而(1 )(1 )(1 )2，所以 m 的最小值为 3.12 122 123