1、第 17 讲 导数在函数中的应用极值与最值1(2016四川卷文)已知 a 为函数 f(x)x 312x 的极小值点，则 a(D)A4 B2C4 D2由题意得 f(x )3x 212，令 f(x) 0 得 x2 ，所以当 x2 或 x2 时，f(x)0；当2x2 时，f ( x)0，所以 f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2) 上为减函数，在 (2，)上为增函数所以 f(x)在 x2 处取得极小值，所以 a2.2函数 f(x) 在0,1 上的最大值为 (B)xexA0 B.1eCe D.2e因为 f(x) 0 在0,1上恒成立，所以 f(x)在0,1 上为增函数，所ex xexex2 1 x
2、ex以当 x1 时， f(x)有最大值 .1e3. (2018广州一模)已知函数 f(x)x 3ax 2bxa 2 在 x1 处的极值为 10，则数对(a，b)为(C)A(3，3) B(11，4)C(4，11) D(3，3)或(4，11)f(x)3x 22axb，由条件 即f（1） 0，f（1） 10，) 3 2a b 0，a b a2 9，)解之得 或a 3，b 3，) a 4，b 11.)检验 a3，b3 时，f(x)3x 26x33(x 1) 20，此时 f(x)在(，)上单调递增，无极值故 a 4，b 11.)4(2017安徽二模)设函数 f(x)ax 2bxc(a，b，cR)，若 x
3、1 为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为 yf (x)的图象的是(D)令 g(x)f(x)e x，则 g(x) f(x)e xf(x )ex，因为 x1 为函数 g(x)的一个极值点，所以 g(1) f( 1)e 1 f (1)e 1 0，所以 f(1) f(1)，D 选项中，f(1)0，所以 f(1) f (1)0，即 36a236(a2)0，即 a2a20，解得 a2 或 a0)，f(x)ln x1 2ax.令 g(x)ln x12ax，因为 f(x)x(ln xax)有极值，则 g(x) 0 在(0 ，)有实根，g(x) 2a ，1x 1 2axx当 a0 时，g(x)0
4、，函数 g(x)在(0，) 内单调递增，当 x0 时，g(x)，当 x时，g(x) ，故存在 x0(0，)，使得 f(x)在(0，x 0)内单调递减，在(x 0，) 内单调递增，故 f(x)存极小值 f(x0)，符合题意当 a0 时，令 g(x )0，得 x .12a当 00，函数 g(x)单调递增，12a当 x 时，g(x)0，解得 00)当 a0 时，f(x )0，f(x)在 (0，)上递增，又 f(0)1，所以 f(x)在(0 ，) 上无零点当 a0 时，由 f(x)0 解得 x ，a3由 f(x)1)21 x 2 ax a1 x因为 00，令 f(x) 0，得 x .a2 a(1)当 0 3，即 0a 时，f(x)在0， )上为减函数，在( ，3 上为增函数，a2 a 32 a2 a a2 a所以 f(x)minf( )a2ln .a2 a 22 a(2)当 3，即 a2 时， f(x)在区间0,3 上为减函数，所以 f(x)minf(3)a2 a 3263a2ln 4.综上，当 0a 时，f(x) mina2ln ；32 22 a当 a2 时，f(x) min63a2ln 4.32