1、第 7 讲 函数的奇偶性与周期性1(经典真题)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(C)Af(x)g(x) 是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f( x)g(x)|是奇函数因为 f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，所以 f(x) f(x )，g(x ) g(x)，所以 f(x) g(x)f(x )g(x)，所以 f(x)g(x)为奇函数|f( x)|g(x)|f(x )|g(x)，所以|f( x)|g(x)为偶函数f(x)|g( x )|f(x )|g(x)|，所以 f(x)|g(x)
2、|为奇函数|f( x)g(x )|f(x )g(x)|，所以|f( x)g(x)|为偶函数2. (2018佛山一模)已知 f(x)2 x 为奇函数，g(x) bxlog 2(4x1) 为偶函数，则a2xf(ab)(D)A. B.174 52C D154 32根据题意，f(x)为奇函数，则有 f(x)f(x)0，特别 f(0)0，可得 a1，又 g(x)为偶函数，则 g(x)g(x)，即 bxlog 2(4x1)b( x)log 2(4x 1)，解得 b1，则 ab1，f(ab)f( 1)2 1 .12 1 323(2017天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g( x)xf( x)若
3、 ag(log 25.1)，bg(2 0.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为(C)Aabc Bc baCbac Dbc a依题意 ag(log 25.1) (log 25.1)f(log 25.1)log 25.1f(log25.1)g(log 25.1)因为 f(x)在 R 上是增函数，可设 0x 1x 2，则 f(x1)f(x 2)从而 x1f(x1)x 2f(x2)，即 g(x1)g(x 2)所以 g(x)在(0，)上亦为增函数又 log25.10,2 0.80,30，且 log25.1log 283,2 0.82 13，而 20.82 1log 24log 25.1，所以
4、3log 25.12 0.80，所以 cab.4(2018山东青鸟月考)已知函数 yf(x2)的图象关于直线 x2 对称，且当x(0， ) 时，f(x)|log 2x|，若 af(3) ，bf ( )，cf (2)，则 a，b，c 的大小关系是(B)14Aa bc Bb acCcab Da cb由函数 yf(x 2)的图象关于直线 x2 对称，知函数 f(x)是一个偶函数，其图象关于 y 轴对称，所以 af(3)f(3)log 23，bf ( )|log 2 |log 24，clog 22，14 14因为 log220，则实数 m的取值范围为 ， ) .92 23由 f(m1)f(2 m1)0
5、f(m1)f (2m1) ，因为 f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以 f(m1)f(12m) ，又 f(x)在10,10上是减函数，所以Error!解得 m|x|x0，所以 g(x)的定义域为 R，1 x2因为 g(x) ln( x)ln g(x)，1 x211 x2 x所以 g(x)为奇函数，所以 f(a)g(a)14，所以 g(a)3，所以 f(a) g (a)1g(a) 1312.(方法 2)因为 f(x)f( x )ln( x )1ln( x) 1ln(1x 2x 2)1 x2 1 x222，所以 f(a)f(a)2，所以 f(a) 2.7(2018陕西汉中第二次月考) 设
6、f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒有f(x 2)f(x) ，当 x0，2时，f (x)2x x 2.(1)求证：f(x) 是周期函数；(2)当 x2，4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2) f(2019)的值(1)证明：因为 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x 2)f(x)所以 f(x)是周期为 4 的周期函数(2)因为 x2，4，所以x 4，2，所以 4x0，2 ，所以 f(4x) 2(4x)(4x) 2x 26x8，又 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 f(4x) f(x )f(x) ，所以 f(x)f(4x)，所以 f(x)x 2
7、6x 8，x 2 ，4(3)因为 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f (3)1，又 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(0)f(1)f(2) f(3)f(4)f (5)f (6)f(7)f(2016)f(2017)f(2018)f(2019)0，所以 f(0)f(1)f(2) f(2019)0.8(2018马鞍山质检)已知函数 f(x)Error! 则关于 m 的不等式 f( )0 时，x 0 时，由 f( )2，解得 00，又因为 f(x)为奇函数，且 a2，所以当 x0，在(0，)上 f(x)0 时，f( x)在(0， )上单调递增，在( ，) 上单调递减，不合题意a2 a2所以函数 f(x)为单调减函数时，a 的取值范围为 a0.因为 f(m1)f( m2t)t m 2 恒成立，所以 tm 2m1(m )2 对任意实数 m 恒成立，12 54所以 t .54即 t 的取值范围为( ，)54