1、2018-2019 学年度北师大版数学九年级上册同步练习1.3 正方形的性质与判定学校:_姓名：_ 班级：_一选择题（共 12 小题）1下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（ ）A矩形 B菱形 C平行四边形 D正方形2平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）A对角线相等 B对角线互相平分C对角线互相垂直 D对角形互相垂直平分3如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连结 AC、BD，CE 平分ACD 交 BD 于点 E，则 DE 长（ ）A B C1 D14如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 为边 BC 上的点，以 DE 为边向外作矩形 DEFG，使 EF
2、 过点 A，若 DE=9，那么 DG 的长为（ ）A3 B3 C4 D45已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形B当 ACBD 时，四边形 ABCD 是菱形C当 ABC=90时，四边形 ABCD 是矩形D当 AC=BD 时，四边形 ABCD 是正方形6如图所示，两个含有 30角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 l 滑动，下列说法错误的是（ ）A四边形 ACDF 是平行四边形B当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形C当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形D四边形 ACDF 不可能是正方
3、形7从中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（ ）A B C D8如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（ ）ABD=AB BAC=AD CABC=90 DOD=AC9下列说法错误的是（ ）A对角线互相平分的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D邻边相等的矩形是正方形10如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结 AC，作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD、AC、BC 于 M、O 、N，连结 AN，CM ，则四边形ANCM 是（ ）A矩形 B菱形
4、 C正方形 D无法判断11如图，AD 是ABC 的角平分线， DE，DF 分别是ABD 和ACD 的高，得到下面四个结论：OA=OD；ADEF；当BAC=90时，四边形 AEDF 是正方形；AE 2+DF2=AF2+DE2其中正确的是（ ）A B C D12在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 作 EF 垂直于 BD 交 AB，CD 分别于点 F，E，连接 DF，BE请根据上述条件，写出一个正确结论”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF ；小何：四边形 DFBE 是正方形；小夏：S 四边形 AFED=S 四边形 FBCE；小雨：ACE=
5、 CAF 这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）A小青 B小何 C小夏 D小雨二填空题（共 6 小题）13如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 E 的坐标为（2，3），则点 F 的坐标为 14如图，正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一点，且 AE=AB，则BEA 的度数是 度15如图，正方形 ABCD 中，扇形 BAC 与扇形 CBD 的弧交于点 E，AB=2cm则图中阴影部分面积为 16如图，以ABC 的三边为边分别作等边 ACD、ABE 、BCF，则下列结论：EBFDFC；四边形 AEFD 为平行四边形； 当AB=AC，BAC=120 时，四边
6、形 AEFD 是正方形其中正确的结论是 （请写出正确结论的序号）17如图，在四边形 ABCD 中，ADC=ABC=90，AD=CD ，DPAB 于 P若四边形 ABCD 的面积是 18，则 DP 的长是 18如图，在正方形 ABCD 中，过 B 作一直线与 CD 相交于点 E，过 A 作 AF 垂直 BE 于点 F，过 C 作 CG 垂直 BE 于点 G，在 FA 上截取 FH=FB，再过 H 作 HP 垂直 AF 交 AB 于 P若 CG=3则CGE 与四边形 BFHP 的面积之和为 三解答题（共 5 小题）19如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且 BE=CF
7、，求证：ABEBCF20已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是BC， BE，CE 的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积21如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A、B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接DG，过点 E 作 EHDE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明22如图，已知：在四边形 ABFC 中，AC
8、B=90，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF=AE；（1）试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由（2）当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论23四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作EF DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG（1）如图 1，求证：矩形 DEFG 是正方形；（2）若 AB=2，CE= ，求 CG 的长度；（3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 30时，直接写出EFC 的度数参考答案一选择题
9、（共 12 小题）1D2B 3A 4C5D6B 7C8C9B 10B11C12B二填空题（共 6 小题）13（1 ，5）1467.515 16173 189三解答题（共 5 小题）19证明：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，在ABE 和BCF 中，ABEBCF20解：（1）点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，FH BE，FH= BE，FH=BG，CFH= CBG，BF=CF，BGFFHC，（2）当四边形 EGFH 是正方形时，可得：EFGH 且 EF=GH，在BEC 中，点，H 分别是 BE，CE 的中点，GH= ，且 GHBC，EF BC，ADBC，
10、ABBC，AB=EF=GH= a，矩形 ABCD 的面积= 21证明：（1）如图 1，连接 DF，四边形 ABCD 是正方形，DA=DC，A=C=90 ，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，ADE FDE，DA=DF=DC，DFE=A=90，DFG=90 ，在 RtDFG 和 RtDCG 中， ，RtDFGRtDCG（HL），GF=GC；（2）BH= AE，理由是：证法一：如图 2，在线段 AD 上截取 AM，使 AM=AE，AD=AB，DM=BE，由（1）知：1=2， 3=4，ADC=90，1+2+3+4=90，22+2 3=90 ，2+3=45，即EDG=45 ，EHDE，DEH=90
11、 ，DEH 是等腰直角三角形，AED+BEH=AED +1=90，DE=EH，1=BEH，在DME 和EBH 中， ，DMEEBH，EM=BH，RtAEM 中，A=90，AM=AE，EM= AE，BH= AE；证法二：如图 3，过点 H 作 HNAB 于 N，ENH=90，由方法一可知：DE=EH，1=NEH，在DAE 和 ENH 中， ，DAE ENH，AE=HN，AD=EN，AD=AB，AB=EN=AE+BE=BE+BN，AE=BN=HN，BNH 是等腰直角三角形，BH= HN= AE22解：（1）四边形 BECF 是菱形EF 垂直平分 BC，BF=FC，BE=EC，3=1，ACB=90
12、，3+4=90，1+2=90，2=4，EC=AE ，BE=AE，CF=AE，BE=EC=CF=BF，四边形 BECF 是菱形（2）当A=45时，菱形 BECF 是正方形证明：A=45，ACB=90，1=45，EBF=2A=90，菱形 BECF 是正方形23（1 ）证明：作 EPCD 于 P，EQ BC 于 Q，DCA=BCA，EQ=EP，QEF+FEC=45 ，PED+FEC=45 ，QEF=PED，在 RtEQF 和 RtEPD 中，RtEQF RtEPD，EF=ED，矩形 DEFG 是正方形；（2）如图 2 中，在 RtABC 中AC= AB=2 ，EC= ，AE=CE ，点 F 与 C 重合，此时DCG 是等腰直角三角形，易知 CG= （3）当 DE 与 AD 的夹角为 30时，EFC=120 ，当 DE 与 DC 的夹角为 30时，EFC=30综上所述，EFC=120 或 30