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上海市杨浦区2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)

1、1.若实数 a 满足:a 21,4, a,则实数 a 的取值集合为 _【答案】 1, 2,2,0【解析】实数 满足: 1,4, , =1 或 =4,或 =a,解得 =2 或 =2 或 =1 或 =1 或 =0,当 =1 时,集合为1,4,1,不合题意;当 =1,或 =2,或 =0 时,满足题意实数 的取值集合为1, 2,2,0故答案为: 1,2,2,0 2.函数 的定义域为_【答案】 2,3)【解析】由题意得 ,解得 函数的定义域为:2,3) 故答案为:2,3) 3.命题“若 ab0,则 b0” 的逆否命题是_【答案】 “若 b0,则 ab0”【解析】因为一个命题的逆否命题,是将原命题逆命题的

2、条件与结论同时否定得到,所以命题“若 ab0,则 b0”的逆否命题是“ 若 b0,则 ab0”.故答案为:“若 b0,则 ab0”.4.函数 y= +2 的单调区间是_【答案】 (, 0)和(0,+)【解析】由题意得函数 的定义域为 ,又函数 在 和 上单调递减,所以函数 的单调减区间是 和 故答案为:( ,0)和(0,+) 5.已知 为定义在 上的奇函数,当 时, ,则当 时,_【答案】【解析】设 ,则 ,由已知当 时, ,当 时,可得 , 6.已知符号函数 sgn(x) ,则函数 f(x)=sgn(x)2x 的所有零点构成的集合为_【答案】  【解析】当 x0 时,函数 f(x)

3、=sgn(x)2x =1 2x,令 12x=0,得 x= ,即当 x0 时,函数 f(x)的零点是 ;当 x=0 时,函数 f(x)=0 ,故函数 f(x)的零点是 0;当 x0 时,函数 f(x)= 12x,令12x =0,得 x= ,即当 x0 时,函数 f(x)的零点是 综上可得函数 f(x )=sgn(x)x 的零点的集合为: 7.函数 的值域为_.【答案】【解析】由指数函数的性质可知: ,据此可知: ,函数的值域为 .8.已知 a0,b0,则 的最小值为_【答案】4【解析】由题意得 , , , ,当且仅当 ,即 时等号成立 的最小值为 4故答案为:49.设集合 A=1,2,6,B=2

4、 ,4 ,C =xR |1x5,则(AB)C=_【答案】1,2,4【解析】A=1,2,6,B=2,4 ,AB=1,2,4 ,6,又 C=x|1x5,x R ,(AB) C=1,2,4 故答案为:1,2,410.若 y=f(x)是定义在( ,+)上的单调减函数,且 f(x)f(2x2) ,则 x 的取值范围_【答案】 (, 2)【解析】f(x )f(2x 2) ,且 y=f(x )是定义在(,+ )上的单调减函数,x2x2,解得 x2x 的取值范围为( ,2) 故答案为:(,2) 11.若函数 ,则 _【答案】1【解析】由题意得 故答案为:112.定义:若平面点集 A 中的任一个点(x 0,y

5、0) ,总存在正实数 r,使得集合,则称 A 为一个开集给出下列集合:(x,y)|x 2+y2=1;(x,y )|x+y+20;(x,y)|x+ y|6;  其中不是开集的是_ (请写出所有符合条件的序号)【答案】【解析】对于,集合 A=(x,y)| x2+y2=1表示以原点为圆心,1 为半径的圆,则在该圆上任意取点(x 0,y 0) ,以任意正实数 r 为半径的圆面,均不满足 ,故不是开集对于,集合 A=(x,y )|x+y+20 ,对于 A 中的任一点( x0,y 0) ,设该点到直线x+y+2=0 的距离为 d,取 r=d,则满足 ,故是开集对于,集合 A=(x,y )|x+y

6、|6,在曲线| x+y|=6 任意取点(x 0,y 0) ,以任意正实数 r 为半径的圆面,均不满足 ,故该集合不是开集对于,集合 A= 表示以点 为圆心,以 1 为半径除去圆心和圆周的圆面,在该平面点集 A 中的任一点(x 0,y 0) ,则该点到圆周上的点的最短距离为d,取 r=d,则满足 ,故该集合是开集综上可得中的集合不是开集故答案为:二选择题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分)13.设 xR,则“|x 2|1” 是“ x2x60”的(  )A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件    D.

7、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x 2|1 得1x 21,解得 1x3,由 x2x60,得2x 3因为 , ,所以“1x3” 是“2x 3”的充分不必要条件,即“| x2|1”是“x 2x60” 的充分不必要条件故选 A14.已知函数 f(x )=3 x+x,g(x)=log 3x+x,h(x)=sinx +x 的零点依次为 x1,x 2,x 3,则以下排列正确的是(  )A. x1 x2 x3    B. x1 x3 x2    C. x3 x1 x2    D. x2 x3 x1【答案】B【解析】函数 f(x

8、)=3 x+x,g(x)=log 3x+x,h(x)=sinx+x 的零点依次为 x1,x 2,x 3,在坐标系中画出 y=3x,y=log 3x,y =sinx 与 y=x 的图象,如下图所示:由图形可知 x10,x 20,x 3=0,所以 x1x 3x 2故选 B15.已知非空集合 M 满足:若 xM ,则 M ,则当 4M 时,集合 M 的所有元素之积等于( )A. 0    B. 1    C. 1     D. 不确定【答案】C【解析】依题意,得当 4M 时,有 ,从而 , ,于是集合 M 的元素只有 4, , 所有元素之积

9、等于 4( ) =-116.已知函数 f(x )是定义在 R 上的奇函数,对任意的 xR,均有 f(x+2)=f(x) ,当x0, 1)时,f(x )=2 x1,则下列结论正确的是(   )A. f(x)的图象关于 x=1 对称B. f(x)的最大值与最小值之和为 2C. 方程 f(x )lg|x |=0 有 10 个实数根D. 当 x2 ,3时,f(x )=2 x+21【答案】C【解析】由函数 f(x )是定义在 R 上的奇函数,可得 又当 x0 ,1)时,f(x )=2 x1,所以,当 x1,0)时,x 0 ,1) ,则 f(x)=2 x1=f(x) , 又 f(x+2)=f(x

10、) ,函数 f(x)是周期为 2 的周期函数画出函数 y=f(x)与 y=lg|x|的图象,如图所示,对于 A,结合图象可得函数 f(x)的图象无对称轴,所以 A 不正确对于 B,由图象可得,函数 f(x)没有最大值和最小值,所以 B 不正确对于 C,结合图象可得当 x0 时,函数 y=f(x)与 y=lg|x|的图象有 4 个交点,当 x0 时,函数 y=f(x)与 y=lg|x|的图象有 6 个交点,故方程 f(x)lg|x|=0 有 10 个实数根所以 C正确对于 D,当 x2,3)时,x20 ,1),所以 故 D 不正确故选 C三解答题(共 5 小题,满分 76 分)17.设 p:实数

11、 x 满足 x24ax3a 20,其中 a0;q:实数 x 满足 x2x60.(1)若 a1,p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围;(2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围解:(1)由 x24ax3a 20 得(x3a)(xa)0,又 a0,所以 ax3a,当 a1 时,1x3,即 p 为真时,实数 x 的范围是 1x3;由 q 为真时,实数 x 的范围是2x 3,若 p 且 q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是(1,3)(2)p:xa 或 x3a,q:x2 或 x3,由q 是p 的充分不必要条件,有 得 0a1,显然此时p q,即 a 的取值范围为

12、(0,1 18.已知函数 y=f(x)为定义在(,0)(0,+)上的奇函数,且当 x0 时,(1)试求 f(2)的值;(2)指出 f(x )的单调递增区间(直接写出结论即可) ;(3)求出 f(x )的零点解:(1)函数 为奇函数, (2)当 x0 时,函数  在(3,+ )上单调递增,又函数 y=f(x)为定义在( ,0)(0,+)上的奇函数,函数 y=f(x)在( ,3)上也单调递增,函数的单调递增区间为(, 3)和(3,+).(3)当 时,由 ,得 ,解得 , 是函数 的零点又函数 为奇函数, 也为函数 的零点综上可得函数 的零点为  和 19.已知函数 .(1)求不

13、等式 的解集;(2)若 对 恒成立,求 的取值范围.解:(1)因为 , ,所以当 时,由 得 ;当 时,由 得 ;当 时,由 得 .综上, 的解集为 .(2)法一:由 得 ,因为 ,当且仅当 取等号,所以当 时, 取得最小值 .所以当 时, 取得最小值 ,故 ,即 的取值范围为 .法二:设 ,则 ,当 时, 取得最小值 ,所以当 时, 取得最小值 ,故 时,即 的取值范围为 .20.函数 f(x)的定义域为 Dx| x0,且满足对任意 x1,x 2D,有 f(x1x2)f(x 1)f(x 2)(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果 f(4)1,f(x 1

14、)<2,且 f(x)在(0,) 上是增函数,求 x 的取值范围解:(1)对于任意 x1,x 2D,有 f(x1x2)f(x 1)f (x2),令 x1x 21,得 f(1)2f(1),f(1)0.(2)令 x1x 21,有 f(1)f(1) f (1),f(1) f(1)0.令 x11,x 2x 有 f(x)f(1) f (x),f (x )f (x),f (x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2,由(2)知,f(x) 是偶函数, f( x1)<2f (|x1|)<f (16)又 f(x)在(0,)上是增函数0<|x 1|<16,解之得15<

15、;x<17 且 x1.x 的取值范围是 x|15<x <17 且 x121.已知函数 , (1)若函数 是奇函数,求实数 的值;(2)在(1)的条件下,判断函数 与函数 的图象公共点个数,并说明理由;(3)当 时,函数 的图象始终在函数 的图象上方,求实数 的取值范围解:(1)因为 为奇函数,所以对于定义域内任意 ,都有 ,即 , , 显然 ,由于奇函数定义域关于原点对称,所以必有 .上面等式左右两边同时乘以 得 ,化简得 ,.上式对定义域内任意 恒成立,所以必有 ,解得 .(2)由(1)知 ,所以 ,即 ,由 得 或 ,所以函数 定义域 . 由题意,要求方程 解的个数,即求

16、方程 在定义域 上的解的个数.令 ,显然 在区间 和 均单调递增,又 ,且 , . 所以函数 在区间 和 上各有一个零点,即方程 在定义域 上有 2 个解,所以函数 与函数 的图象有 2 个公共点.(附注:函数 与 在定义域 上的大致图象如图所示)(3)要使 时,函数 的图象始终在函数 的图象的上方,必须使 在 上恒成立,令 ,则 ,上式整理得 在 恒成立.方法一:令 , . 当 ,即 时, 在 上单调递增,所以 ,恒成立; 当 ,即 时, 在 上单调递减,只需 ,解得 与 矛盾.  当 ,即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,所以由 ,解得 ,又 ,所以综合得 的取值范围是 .  方法二:因为 在 恒成立. 即 ,又 ,所以得 在 恒成立令 ,则 ,且 ,所以 , 由基本不等式可知 (当且仅当 时,等号成立.)即,所以 ,所以 的取值范围是 .