1、上海市徐汇区上海中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 4 小题）1.已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；所以共有 9 个，选 A.2.已知实数 x，y ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 表示的区域是以 为顶点的正方形及内部，表示的区域是以 为圆心，1 为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形， 推不出 ，“ ”是“ ”的充分而不必要条件故选： B3.设 ， ，且
2、 ，则（ ）A. B. C. D. 以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法：只需证明 ，假设 ，则： ，所以： ，但是 ，故： ， ， 所以： 与 矛盾所以：假设错误，故： ，所以： ，故选：A 4.对二次函数 （ 为非零常数） ，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A. 是 的零点 B. 1 是 的极值点C. 3 是 的极值 D. 点 在曲线 上【答案】A【解析】若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确，因为 是 的极值点， 是 的极值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线 上，所以 ，即 ，解得： ，所以 ， ，所以 ，因为 ，所以 不是
3、的零点，所以选项 A 错误，选项 B、C、D 正确，故选 A二、填空题（本大题共 12 小题）5.已知集合 ，用列举法表示集合 _【答案】 0，1，【解析】因为 ， ，即 ，又 ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： 0，1， .6.设集合 ，集合 ，则 _【答案】【解析】 ， ，故答案为： 7.能说明“若 ab，则 ”为假命题的一组 a，b 的值依次为 _.【答案】 （答案不唯一）【解析】当 时， 不成立，即可填 8.集合 ， ，若 ，则 a 的取值范围是_【答案】【解析】， ，若 ，则 ，故答案为： 9.命题“若 ，则 且 ”的逆否命题是_ 【答案】若 或 ,则【解析】原命题：若 则 .
4、 逆否命题为：若 则 . 注意“且”否之后变“ 或”.10.设 ， 是方程 的两个实根，则“ 且 ”是“ ， 均大于 1”的_条件【答案】必要但不充分【解析】根据韦达定理得： ， ，判定条件是 p： ，结论是 q： ；还要注意条件 p 中，a，b 需满足的大前提由 ，得 ， ；为了证明 ，可以举出反例：取 ， ，它满足 ， ，但 q 不成立，上述讨论可知： ， 是 ， 的必要但不充分条件，故答案为：必要但不充分11.某班有 50 名学生报名参加 A、B 两项比赛，参加 A 项的有 30 人，参加 B 项的有 33 人，且 A、B 都不参加的同学比 A、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加
5、 A 项，没有参加 B 项的学生有_人【答案】9【解析】设 A、B 都参加的同学为 x 人，则只参加 A，不参加 B 的为 ，只参加 B，不参加 A 的为 ，则 AB 都不参加的人数为 因为 A、B 都不参加的同学比 A、B 都参加的同学的三分之一多一人，所以 ，解得 所以只参加 A 项，没有参加 B 项的学生有 故答案为：9.12.已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为_【答案】x|x 或 x .【解析】依题意，令 ，代入方程 ，解得 ，故 ，即 ，解得 .13.已知正数 x、y 、z 满足 ，则 的最小值为_【答案】36【解析】 正数 x、y 、z 满足 ，当且仅当 ， ， ，取等号故
6、答案为 3614.如关于 x 的不等式 对任意 恒成立，则 a 的取值范围为_【答案】【解析】因为 ，所以原不等式可化为： ， 对任意 恒成立， ，故答案为： 15.已知函数 ， 若方程 恰有 4 个互异的实数根，则实数 的取值范围为_【答案】 【解析】 （方法一）在同一坐标系中画 和 的图象（如图） ，问题转化为 与 图象恰有四个交点当 与 （或 与）相切时， 与 图象恰有三个交点把 代入 ，得 ，即 ，由 ，得 ，解得 或 又当 时， 与 仅两个交点， 或 （方法二）显然 ， 令 ，则 ， 结合图象可得 或 16.定义 表示 ， ， ， 中的最小值， 表示 ， ， ，中的最大值 则对任意的
7、 ， ， 的值为_【答案】【解析】设 ，、 ， ， ， ，即 ， ，可得 ， ，即有 m 的最小值为 ，故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题）17.已知集合 ， 7， ， ，且 ，求集合 B解： 集合 ， 7， ， ，且 ，或 舍 ，解得 ，当 时， 5， ，不成立；当 时， 5， ， 7，1， ，成立集合 1，4， 18.解下列不等式：；解： ， 或 ，解得： 或 ，原不等式的解集为 .由 ，得 ，解得 ，原不等式的解集为 19.设函数 ， ，记 的解集为 M， 的解集为 N求集合 M 和 N；当 时，求 的取值范围解： 由 ，得 或 ，解得： 或 ，故 ；由 得 ，故 .时， ，原式
8、 ，20.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为轮船的最大速度为 15 海里 小时 当船速为 10 海里 小时，它的燃料费是每小时 96 元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时 150 元 假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行求 k 的值；求该轮船航行 100 海里的总费用 燃料费 航行运作费用 的最小值解： 由题意，设燃料费为 ，当船速为 10 海里 小时，它的燃料费是每小时 96 元，当 时， ，可得 ，解之得 其余航行运作费用 不论速度如何 总计是每小时 150 元航行 100 海里的时间为 小时，可得其余航行运作费用为 元，因此，航行
9、100 海里的总费用为，当且仅当 时，即 时，航行 100 海里的总费用最小，且这个最小值为 2400 元答： 值为 ， 该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为 元 21.已知二次项系数是 1 的二次函数 当 ， 时，求方程 的实根；设 b 和 c 都是整数，若 有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数 的解析式，使得其所有项的系数和最小解： 当 ， 时， ，设 ，则 ， ，解得 或 ，当 时， ，解得 或 ；当 时， ，解得： 或 ，综上所述： 的实根有： ， ， ， ；，即为 ，即有 ，可得 ，或 ，不妨设四个根分别为 ， ， ， ，可得四个根的和为 ，即 ；又设 ，消去 d，可得 ，可得 ，由 b，c 为整数，可得 也为正整数的平方，设 ，k 为正整数，即有 ，即为 ，由 为正整数的平方，且 ，由 取得最小值，可得 b 的最小值为 22， ， ，则 ，其所有项的系数和最小