1、江苏省常州市高级中学 2018-2019 学年高一下学期期中考试数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1.数列 中， ，则 = na)2(1,1nan3a2.在ABC 中，已知 ，则 A 为 bc223.在函数 ， ， ， 中，1yx1sinyx0 2（ ， ）23xy42xye最小值为 2 的函数的序号是 4.设 是等差数列a n的前 项的和若 ， ，则 的值为 nS 27aS7a5.在 中，若 ，则 ABC3,6aCBAcbsinsin6.已知数列 满足 ，则 的值为 na*112,()nnN2018a7.设正项等比数列a n满足 若存在两项 an、a m
2、，使得 ，则435a mna41nm的值为 8.在ABC 中，若 ， ， ，则 ABC 的面积是 1a3b6A9.已知数列 的通项公式 则 = n ,12n1132nnaa10.在 中， ，若该三角形有两解，则 的取值范围为 ABC,260axbB x11.在ABC 中，已知 ，则 的最小值为 3,4AAC12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图） 现将 99 根相同的圆钢捆扎为 1 个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 13.已知数列 为公比不为 1 的等比数列，满足 对任意正整数 都成立，na 12()nnakn且对任意相邻三项 按某顺序排列后成等差数列，则 的值为
3、 12,ma14.已知 则 的最大值是 4,bR12b二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15(本小题满分 14 分)在等比数列 中， ，公比 ， ， 且 是na0n)1,(q2528535aa与 的等比中项35(1)求数列 的通项公式；n(2)设 ，数列 的前 项和为 ，当 最大时，求 的nnab2lognbnSnS21n值16(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， cBCossin3(1)求角 B；(2)若 ，求 的值2bac1tnta17(本小题满分 14 分)某 厂 花 费 2 万 元 设 计
4、 了 某 款 式 的 服 装 根 据 经 验 ， 每 生 产 1 百 套 该 款 式 服 装 的 成 本 为 1 万 元 ，每生产 （百套）的销售额（单位：万元）x20.4.085()97.3xxP， ，（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润（注：利润 销售额 成本，其中成本 设计费 生产成本）=+18(本小题满分 16 分)已知 ， ， .0xy24xya(1)当 时，求 的最小值；16a(2)当 时，求 的最小值.012xy19(本小题满分 16 分)设数列 的前 n 项和为 ，已知 ， （ ） nanS1a12nS*
5、nN(1)求证：数列 为等比数列；na(2)若数列 满足： ， ，求数列 的通项公式及数列 的前 n 项b1112nbanbb和20(本小题满分 16 分)已知数列 的首项 （ ） ，其前 项和为 ，设 （ ） na1a0nnS1nbaN(1)若 ， ，且数列 是公差为 3 的等差数列，求 ；232b2S(2)设数列 的前 项和为 ，满足 nbnT2n 求数列 的通项公式；a 若对 且 ，不等式 恒成立，求 a 的取值范N， 21()2()nan围【参考答案】一、填空题1. 2. 3. 4. 13 5.2532326.-3 7.6 8. 9. 96n10.342或 )4,(11. 12.8 1
6、3. 14. 38545二、解答题15.解： 由 得 .2 分2285351aa235()a，得0na3，因为 得 ， 求得 ， .5 分545,112q所以 .7 分2n .9 分lognnba因为对任意 ， ，*N1nb所以 是以 4 为首项， 为公差的等差数列n所以 12 分29nS9,0,90,90,2nnnnSSSS时 ， 时 ， 时 ，所以 最大为 .14 分n18或 者16.解：（1）由正弦定理得 ，3sincosisnBCC中， ，所以 ，3 分ABCsin0i1所以 ， ，1()6256，所以 ；6 分3（2）因为 ，由正弦定理得 ，8 分2bac2sinisnBAC1osc
7、ocotantiniiAC12 分si()()ssnB所以 14 分21i123tantsiAC17.解：(1) 时，利润05x.3 分 2 2()2.4.0.820.438yPxxx令 得， ，从而 ，即 .6 分 0.438x 17 15 min1（2）当 时，由（1）知 ，5 220.4380.43.6yxx所以当 时， （万 元 ） .8 分 4xmax3.6y当 时，利润 .10 分 599()214.729.733Pxxx因为 （当且仅当 即 时，取“=” ） ，99336x 6所以 （万 元 ） 13 分 max.7y综上，当 时， （万 元 ） 6max3.7y答：（1）该厂至
8、少生产 1 百套此款式服装才可以不亏本；该厂生产 6 百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为 万 元 .14 分3.718.解：（1）当 时， ，.3 分a2416xyxy即 ， ，2()80xy(2)(4)0xy， ，.6 分416当且仅当 时，等号成立， 的最小值为 16 8 分8xyxy（2）当 时，可得 ，0a24x两边都除以 ，得 ，.10 分xy1，212()xyx.14 分77()2xy当且仅当 ，即 ， 时取等号，12yx3y的最值为 16 分x219 （本小题满分 16 分）（1）证明：由 ，得 （ ） ，1nS1nS2n两式相减，得 ， 3 分20a因为 ，由 ，得 ，所
9、以 ，.5 分111()2a21a所以 对任意 都成立，2na*nN所以数列 为等比数列，首项为 1，公比为 2 6 分n（2）解： 由（1）知， ，2na由 ，得 ， 8 分11nba1nnb即 ，即 ， 2nn12因为 ，所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 10 分1b1nb所以 ，所以 11 分2()n12n 设 ，则 ，1niTb0121()2()3()()nnT 所以 ，2()32 nn两式相减，得，01211()()()()2 2nnnT 1()()2nn1(2)n所以 16 分4()(nn20(本小题满分 16 分)解：（1）由条件知 ，即 ， 2 分13nb23na
10、所以数列 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为 3 na由 ， ，所以 ，即 ， 1323123a1a所以 ， a2所以 5 分22(1)()323n nS n（2） 由 ，得 （ ） ，2T1nnbT由于 符合上式，所以 （ ） ， 7 分1b2N所以 21na所以 ，即 ，1()()na1()na所以数列 为等比数列，且公比为 ，n因为 ，所以 （ ） 10 分10a1()()nnanN 不等式 即为 ，1()2n 11()2()nnaan由于 ，所以不等式即为 12a0当 是奇数时， ， ，n(1)na1na所以 ，21 (1)0na 即 对 且 恒成立， 2() nN， 所以 ，解得 13 分26a 23a 当 为偶数时， ， ，n(1)n1n由 ，得 对 且 恒成立，10na 2a N， 2n所以 ，解得 ，2 1 因为 ，所以 a 的取值范围是 16 分0a