1、湖南省邵阳市邵东一中 2018-2019 学年高一下学期期中考试数学试卷一选择题（本大题包括 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，下列各题四个选项中只有一个是最符合题意的）1某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取 30 名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为 ，则高三级部的全体老师的个13数为( )A10 B30 C60 D90【答案】D 【解析】因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为 ，13所以高三年级中每个老师被抽到的可能性都为 ，13由 30 90( 人 )，可得全体老师人数132如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方
2、形，且体积为 则该几何12体的俯视图可以是（ ）【答案】C3若直线 与直线 互相垂直,则 等于( )A1 B-1 C1 D-2【答案】C【解析】当 时，利用直线的方程分别化为： ， ，此时两条直线相互垂直；如果 ，两条直线的方程分别为 与 ，不垂直，故 ； ，当 时，此两条直线的斜率分别为 ， 两条直线相互垂直， ，化为 ，综上可知： 故选： 4设 ，则 的值为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】由题意可知， 所以5P 为圆 上任一点，则 P 与点 的距离的最小值是（ ）A1 B4 C5 D6【答案】B【解析】因为 在圆 外，且圆心与 的距离等于 ，又 P 为圆 上任一点，所以 P
3、与点 的距离的最小值等于圆心与 的距离减去半径，因此最小值为 ，故选 B. 6函数 的零点所在的大致区间是( )A（1,2） B（e ，3） C（2，e） D（e，+）【答案】C【解析】函数的定义域为：（0，+），又函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点又f(2)=“ln2-1“ =ln2-10，f(e)=lne-2 e =1-2 e 0，f（2）f （e）0，函数 f（x）=“Inx -2“ x 的零点所在的大致区间是（2，e）故选 C.7已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列命题： ； ； ； 其中正确命题的序号是（ ）A B C D【答案】A【解析】中，因为直线 平面 ，
4、，所以直线 平面 ，又直线 平面 ，所以 ；故正确；中，因为直线 平面 ， ，所以 或 ，又直线 平面 ，所以 与可能平行、重合或异面，故错；因为直线 平面 ， ，所以 平面 ，又直线平面 ，所以 ，故正确；中，因为直线 平面 ， ，所以 或 ，又直线 平面 ，所以 与 平行或相交，所以错；故选 A.8在两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率为( )A. B. C. D.12 13 14 15【答案】B 【解析】所求事件构成的区域长度为 2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为 6 m，故灯与两端距离都大于 2 m 的概率为 .26 13
5、9在一次 千米的汽车拉力赛中， 名参赛选手的成绩全部介于 分钟到 分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组 ，第二组 ，第五组 ，其频率分布直方图如图所示，若成绩在 之间的选手可获奖，则这 名选手中获奖的人数为（ ）A B C D【答案】D【解析】由频率分布直方图知，成绩在 内的频率为： ，所以，成绩在 内的人数为： （人），所以该班成绩良好的人数为 11 人故选 D.10甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 ，其中 ，若 ，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】先由
6、甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中 ，所以基本事件总数为 ；因为 ，就称甲乙“心有灵犀”，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀” 包含的基本事件有：共 16 个基本事件，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 .11若圆 ： 上有四个不同的点到直线 ： 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】将圆 ： 化为标准方程为 ，,半径为 ，过 作直线 的垂线，垂足为 交圆于 ，当 即 为 1 时，圆上有三个点到直线的距离为 2，当 即 时，圆上有四个点到直线的距离为 2，圆心 到 的距离小于 1，即 ，解得 ，即 的
7、取值范围是 ,故选 C.12已知函数 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】对任意的 ，存在 ，使得 ，等价于 时 的最小值大于 时 的最小值， 设 ， 在 上递增，.当 时， ， .当 时， ， ，综上可得， ，故选 A.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13某产品的广告费用 x(万元) 与销售额 y(万元)的统计数据如下表：广告费用 x(万元) 3 4 5 6销售额 y(万元) 25 30 40 45根据上表可得线性回归方程 x 中的 为 7.据此模型预测广告费用为 10 万元时销售额y b a b 为_万元.
8、 【答案】73.5 【解析】由题表知， 4.5， 35，代入回归方程得 3.5，x y a 所以回归方程为 7x 3.5，故当 x10 时， 7103.573.5( 万元)y y 14如图，该程序运行后输出的结果为_【答案】4515当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示 1，“关”来表示 0则将十进制下的数 168 转成二进制的数是_【答案】10101000 （2）16已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 1 的正三角形， 为球的直径，且 ，则此棱锥的体积为_.【答案】【解析】根据题意作出
9、图形：设球心为 ，过 ABC 三点的小圆的圆心为 ，则 平面 ABC，延长 交球于点 D，则 平面 ABC. ， ，高 ， 是边长为 1 的正三角形， ， .三、解答题17(本小题满分 8 分)已知点 ， ，动点 P 满足 若点 P 为曲线 C，求此曲线的方程；已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且与 中的曲线 C 只有一个公共点，求直线 l 的方程解： 设 ，点 ， ，动点 P 满足 ，整理得： ，曲线 C 方程为 设直线 l 的横截距为 a，则直线 l 的纵截距也为 a，当 时，直线 l 过 ，设直线方程为 把 代入曲线 C 的方程 ，得：， ，直线 l 与曲线 C 有两个公共点，已知矛
10、盾；当 时，直线方程为 ，把 代入曲线 C 的方程 ，得 ，直线 l 与曲线 C 只有一个公共点， ，解得 ，直线 l 的方程为 或 18(本小题满分 8 分)如图，某中学甲、乙两班共有 25 名学生报名参加了一项 测试这25 位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用 x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同（）求这两个班学生成绩的中位数及 x 的值；（）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在 175 分 以上，包括 175 分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀” 成绩的考生中选出 3 名代表学校参加比赛，求这 3 人中甲班至多有一人入选的概率解
11、：（）甲班学生成绩的中位数为 乙班学生成绩的中位数正好是 150+x=157，故 x=7； （）用 A 表示事件“甲班至多有 1 人入选”设甲班两位优生为 A，B，乙班三位优生为 1，2，3则从 5 人中选出 3 人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），（A，B ，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共 10 种情况， 其中至多 1 名甲班同学的情况共（A ，1，2），（A ，1， 3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7 种 由古典概型概率计算公式可得 P
12、（A ）= 19(本小题满分 8 分)如图，在三棱锥 中, 是边长为 4 的正三角形, 是 中点，平面 平面 , , 分别是 的中点.(1) 求证: ；(2) 求三棱锥 的体积.(1)证明：因为 , ,所以 且 ,所以 平面 .又 平面 ,所以 . (2)解：因为 ,平面 平面 ,平面 平面 ,平面 ,所以 平面 .又 , 是 的中点,所以, 到平面 的距离为 ,又 ，所以 .20(本小题满分 10 分)已知以点 为圆心的圆与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其中为坐标原点.（1）求证： 的面积为定值；（2）设直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的方程.（1）证明： ， 设圆 的方程是 ，令 ，得
13、；令 ，得 ，即 的面积为定值（2）解： 垂直平分线段 ， 直线 的方程是 ，解得： ，当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离圆 与直线 不相交，不符合题意舍去圆 的方程为 .21(本小题满分 10 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知AB3，AD 2，PA2，PD2 ，PAB 60.2(1)求证：AD 平面 PAB；(2)求二面角 PBDA 的正切值(1)证明：在PAD 中，PA2，AD2，PD 2 ，2PA 2AD 2PD 2，ADPA 在矩形 ABCD 中，ADAB PAA
14、BA，AD平面 PAB(2)过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 HEBD 于点 E，连结 PE.AD平面 PAB，PH平面 ABCD，AD PH.又ADAB A，PH平面 ABCD又PH 平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD又平面 PHE平面 ABCDHE ，BDHE，BD平面 PHE.而 PE平面 PHE，BDPE，故PEH 是二面角 PBDA 的平面角由题设可得，PHPA sin60 ，3AHPAcos601，BHABAH 2，BD ，HE BH .AB2 AD2 13ADBD 413在 RtPHE 中，tan PEH .PHHE 394二面角 PBDA 的正切值为 .39
15、422.(本小题满分 12 分)已知函数 .2()xafb(1)当 时，求满足 的 的值；4,2abxf(2)若函数 是定义在 R 上的奇函数，函数 满足 ，若()fx()gx()2xfg对任意 且 0,不等式 恒成立，求实数 m 的最大值.()10gxm解：(1)当 时， .4,2ab24xxf即 ，解得： 或 =1(舍去) ， =2；2()30xx x(2)若函数 是定义在 R 上的奇函数，(f则 ，即 ，)fxf2xxab即 ，( 0xab解得： ，或1,1,a经检验 满足函数的定义域为 R， .2()1xf当 0 时,函数 满足 ，()g()2xfxg ,( 0) ，则 ，()2fx()2x不等式 恒成立，()10mx即 恒成立，2()x x即 恒成立，8xx设 ，则 ，即 ， 恒成立，2xt2t8mt2t由对勾函数的图象和性质可得：当 时, 取最小值 ，t8t4故 m ，即实数 m 的最大值为 .422