1、1二次函数单元试卷一、 选择题：1. 抛物线 的对称轴是（ ）3)2(xyA. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线3x2x2x2. 二次函数 的图象如右图，则点 在（ cbaxy2 ),(acbM）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知二次函数 ，且 ， ，则一定有（ ）cbxay20a0cbA. B. C. D. 0042cb442aacb424. 把抛物线 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析cbxy2式是 ，则有（ ）53xA. ， B. ，b7c9b15cC. ， D. ，3 25. 已知反比例函数 的图象如右图所示，则二次
2、函数 的图象大致为xky 22kxy（ ）O x y A O x y B O x y C O x y D 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数 与一次函数cxaxy)(2的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）caxyO x y O x y 2O x y A O x y B O x y C O x y D 7. 抛物线 的对称轴是直线（ ）32xyA. B. C. D. x21x1x8. 二次函数 的最小值是（ ）)1(xyA. B. 2 C. D. 12 19. 二次函数 的图象如图所示，若cbxay， ，则（ ）cM24NbaP4A. ， ，00B. ， ，C. ， ，
3、0N0PD. ， ，M二、填空题：10. 将二次函数 配方成32xy的形式，则 y=_.khxy2)(11. 已知抛物线 与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 的根cbax2 02cbxa的情况是_.12. 已知抛物线 与 x 轴交点的横坐标为 ，则 =_.caxy2 1ca13. 请你写出函数 与 具有的一个共同性质：_.)1(12y14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线 ；4x乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；2 1 -1 O x y 3丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二
4、次函数解析式：15. 已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_.16. 如图，抛物线的对称轴是 ，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是 ，则1x )0,3(A 点的坐标是_.O x y A B 1 1 16题 图 三、解答题：1. 已知函数 的图象经过点（3，2）.12bxy（1）求这个函数的解析式；（2）当 时，求使 y2 的 x 的取值范围.0x2. 如右图，抛物线 经过点 ，与 y 轴nx5)0,1(A交于点 B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且 PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求点 P
5、 的坐标.O x y 1 -1 B A 43. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面 1:11000 的比例图上去，跨度 AB=5cm，拱高 OC=0.9cm，线段 D
6、E 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）. 在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）. （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：1.4 ，计算结果精确到 1 米）.0.9cm5cm A B C D E M O （ 1） A B C D E M O （ 2） 55. 已知二次函数 的图象交 x 轴于 、 两点， ，交 y 轴maxy2 )0,(1xA),(2xB21x的负半轴与 C 点，且
7、 AB=3，tanBAC= tanABC=1.（1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点 P，使 SPAB =6？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由.提高题1. 已知抛物线 与 x 轴只有一个交点，且交点为 .cbxy2 )0,2(A（1）求 b、c 的值；（2）若抛物线与 y 轴的交点为 B，坐标原点为 O，求OAB 的面积（答案可带根号）.2. 启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为10 万件. 为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是 x（万元）时，产品的年销售量将是原销
8、售量的 y 倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：1072xy6（1）试写出年利润 S（万元）与广告费 x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出 3 万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6 个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项 目A B C D E F每股（万元）5 2 6 4 6 8收益（万元）0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 1如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于 1.6 万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目.3.
9、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升3m 时，水面 CD 的宽是 10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安7全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？4. 某
10、机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高 10 元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20 元，设每套设备的月租金为 x（元） ，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入支出费用）为 y（元）.（1）用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为 4300 元和 350 元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备
11、？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成 的形式，并据此说abcbxy4)2(2明：当 x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？8参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案 D D A A D D D B D二、填空题：1. 2. 有两个不相等的实数根 3. 12)1(xy4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5. 或 或 或58xy 35812xy 1782xy 1782xy6. 等（只须 ， ）20ac7. )0,3(8. ， ，1，4x5x三、解答题：1. 解：（1）函数 的图象经过点（
12、3，2） ， . 解得 .12bxy 2139b2b函数解析式为 .xy（2）当 时， .3x2根据图象知当 x3 时，y 2.当 时，使 y2 的 x 的取值范围是 x3.0x2. 解：（1）由题意得 . . 抛物线的解析式为 .051n4 452xy9（2）点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为 .)4,0(OA=1，OB=4.在 RtOAB 中， ，且点 P 在 y 轴正半轴上.172OA当 PB=PA 时， . .17PB4BP此时点 P 的坐标为 .)4,0(当 PA=AB 时，OP=OB=4 此时点 P 的坐标为（0，4）.3. 解：（1）设 s 与 t 的函数关系式为 ，
13、cbtas2由题意得 或 解得 .；5.225,4.1cba.0,245.1c.0,21cbats2（2）把 s=30 代入 ，得 解得 ， （舍去）ts1.132t1t62t答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.（3）把 代入，得7t .510721s把 代入，得8.68. 答：第 8 个月获利润 5.5 万元.5.1064. 解：（ 1）由于顶点在 y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为.092axy因为点 或 在抛物线上，所以 ，得 .)0,25(A),(B 109)25(0a1258a因此所求函数解析式为 （ x ）.19258xy（2）因为点 D、E 的纵
14、坐标为 ，所以 ，得 .090258045x所以点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标为 .)2,4( )29,(所以 .5)245因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）.385701.25. 解：（1）AB =3， ， . 21x312x由根与系数的关系有 .12x10 ， .1x2OA =1，OB=2， .221amx ， .tantaABC1OBCAOC =2. , .21此二次函数的解析式为 .2xy（2）在第一象限，抛物线上存在一点 P，使 SPAC =6.解法一：过点 P 作直线 MNAC，交 x 轴于点 M，交 y 轴于 N，连结PA、PC、MC、NA. MNAC，S MAC =SNAC
15、 = SPAC =6.由（1）有 OA=1，OC=2. . AM=6，CN =12.6122CNAMM （ 5，0） ，N（0，10）.直线 MN 的解析式为 .102xy由 得 （舍去）,210xy；431x8,2在 第一象限，抛物线上存在点 ，使 SPAC =6.)4,3(P解法二：设 AP 与 y 轴交于点 （m0）,0D直线 AP 的解析式为 .xO A B M x P N y C 11.,2mxy .0)1(2 ， .xPA2mxP又 SPAC = SADC + SPDC = = .PxCDAO1 )(2PxAO ，6)21)(2m0652 （舍去）或 .61m在 第一象限，抛物线上
16、存在点 ，使 SPAC =6.)4,3(P提高题1. 解：（1）抛物线 与 x 轴只有一个交点，cbxy2方程 有两个相等的实数根，即 . 02 042cb又点 A 的坐标为（2，0） ， . 024cb由得 ， .4ba（2）由（1）得抛物线的解析式为 .42xy当 时， . 点 B 的坐标为（0，4）.0x4y在 RtOAB 中，OA =2，OB=4，得 .522OBAOAB 的周长为 .526412. 解：（1） .76)3(07(0 22 xxS当 时， .3)1(26x 1)(4最 大S当广告费是 3 万元时，公司获得的最大年利润是 16 万元.（2）用于投资的资金是 万元.16经分
17、析，有两种投资方式符合要求，一种是取 A、B、E 各一股，投入资金为 （万元） ，收益为 0.55+0.4+0.9=1.85（万元）1.6（万元） ；1362512另一种是取 B、D、E 各一股，投入资金为 2+4+6=12（万元）1.6（万元）.3. 解：（1）设抛物线的解析式为 ，桥拱最高点到水面 CD 的距离为 h 米，则2axy， .),5(hD)3,10(hB 解得.,2a.1,25a抛物线的解析式为 .xy（2）水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 10.25=4（小时） ，货车按原来速度行驶的路程为 401+404=200280，货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提
18、高到 x 千米/时，当 时， .28014x60要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过 60 千米/时.4. 解：（1）未出租的设备为 套，所有未出租设备的支出为 元.107x )5402(x（2） .5406)542()1074( 2 xxy .（说明：此处不要写出 x 的取值范围）62（3）当月租金为 300 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 37 套；当月租金为 350 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 32 套.因为出租 37 套和 32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租 32 套；如果考虑市场占有率，应选择出租 37 套.（4） .5102)3(10546102 xxy当 时，y 有最大值 11102.5. 但是，当月租金为 325 元时，租出3设备套数为 34.5，而 34.5 不是1整数，故租出设备应为 34 套或 35 套. 即当月租金为为 330 元（租出 34套）或月租金为 320 元（租出 35 套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为 11100 元.