1、单元训练金卷高三数学卷（A）第 18 单 元 综 合 测 试注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题
2、卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1已知集合 ， ，则 （ ）4|xM06|2xNNMA B C D34|x| 2| 3|x2设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ）z1iz(,)xyA B C D2(1)xy2()
3、1xy22122(1)xy3已知 ， ， ，则（ ）2log0.a0.b0.3cA B C Dbcacabbca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （215称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至618.025咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为215，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是（ ）cm105cm6A B C Dcm165cm175cm185cm1905函数 在 的图像大致为（ ）2sin()oxf,A BC D6我国古代典籍周易用 “卦”描述万物的变化每一 “重卦”
4、由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，下图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 个阳爻的概率是（ ）3A B C D516132213167已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）,ab()ababA B C D6323568右图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）12+A B C D1212A12A12A9记 为等差数列 的前 项和已知 ， ，则（ ）nSna40S5aA B C D5a3128n21nS10已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点若C)0,(1F),(22FAB， ，则 的方程为（ ）|2|F|AA B C
5、D1yx123yx1342yx1452yx11关于函数 有下述四个结论：()sinif 是偶函数； 在区间 单调递增；()fx()fx(,)2 在 有 4 个零点； 的最大值为 ，,fx2其中所有正确结论的编号是（ ）A B C D12已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为 的PACOPABCA 2正三角形， 分别是 ， 的中点， ，则球 的体积为（ ）,EF90EFOA B C D8646266第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13曲线 在点 处的切线方程为 23()xye(0,)14记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 nS
6、na13a246a5S15甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 ，0.6客场取胜的概率为 ，且各场比赛相互独立，则甲队以 获胜的概率是0.54:116已知双曲线 C: 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与 的两条21(0,)xyab12,F1C渐近线分别交于 两点若 ，则 的离心率为 ,AB112,0FABurruC三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17
7、 （ 12 分） 的内角 的对边分别为 设C ,abc2sinsinisnBAB（1 ）求 ；（2 ）若 ，求 abcsiC18 （ 12 分）如图，直四棱柱 的底面是菱形，1ABCD，14,2,60AB分别是 的中点,EMN1,（1 ）证明： 平面 ；/CDE（2 ）求二面角 的正弦值1AN19 （ 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与xyC3:2F23lCAB轴的交点为 xP（1 ）若 ，求 的方程；4|BFAl（2 ）若 ，求 3|20 （ 12 分）已知函数 ， 为 的导函数证明：()sinl(1)fxx(f)fx（1 ） 在区间 存在唯一极大值点；
8、()fx1,2（2 ） 有且仅有 个零点21 （ 12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治1 愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两
9、种药的治愈率分别记为 和 ，一轮实验中甲药的得分记为 X（1 ）求 的分布列；（2 ）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，(0,18)ip i最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ，0811iiiiapbc，其中 ， ， 假设 ，(1,7)i (1)aPX()bPX()c0.50.8证明： 为等比数列；1(0,2,7)iip求 ，并根据 的值解释这种实验方案的合理性44请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （ 10 分） 【 选修 4-4：坐标系与参数方程】在
10、直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 以坐标原点 为极点， 轴xOyC221()4txyt为 参 数 Ox的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 lcos3in10（1 ）求 和 的直角坐标方程；Cl（2 ）求 上的点到 距离的最小值23 （ 10 分） 【 选修 4-5：不等式选讲】已知 为正数，且满足 ，证明：,abc1abc（1 ） ；221abcc（2 ） 333()()()4单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ A）第 18 单 元 综 合 测 试 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出
11、的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】C【解析】由题意可知， ，32|xN又因为 ，则 ，故选 C4|xM2|xM2 【 答案】C【解析】复数 在复平面内对应的点为 ， ，z(,)yzyi ， 故选 C1xyi22(1)xy3 【 答案】B【解析】由对数函数的图像可知 ；再有指数函数的图像可知 ，2log0.a0.21b，于是可得到 故选 B0.321ccb4 【 答案】B【解析】方法一：设头顶处为点 ，咽喉处为点 ，脖子下端处为点 ，肚脐处为点 ，ABCD腿根处为点 ，足底处为 ， ， ，EFtBD215根据题意可知 ，故 ，At又 ， ，故
12、 ，tBD)1(AtF1所以身高 ，将 ，代入可得 FAh268.025th24.根据腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 可得 ， ，cm105cmACBEFD即 ， ，将 ，代入可得 ，26tt 618.025420t所以 ，故选 B08.17.9h方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度，cm26根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 （ 称为黄金分割215618.0比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 ，cm42将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 ，cm头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
13、的长度之比是 可计算出肚脐至足底的长度约为 ，21510将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为 ，c78与答案 更为接近，故选 Bcm1755 【 答案】D【解析】 ， 为奇函数，排除 A，2sin()coxfx2sincox()fx()f又 ，排除 C，2si4() 02cof，排除 B，故选 D22sin()1f6 【 答案】A【解析】每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有 种，在 个位置上恰有 个是阳爻的情况有623种，所以 36C3620541P7 【 答案】B【解析】设 与 的夹角为 ，ab ， ， ， ()2()cosab=01cos2=38 【 答案】A【解析】把
14、选项代入模拟运行很容易得出结论，选项 A 代入运算，可得 ，满足条件，1=2+A选项 B 代入运算，可得 ，不符合条件，12选项 C 代入运算，可得 ，不符合条件，A选项 D 代入运算，可得 ，不符合条件1+49 【 答案】A【解析】依题意有 ，可得 ， ， 41560Sad132ad5n24nS10 【 答案 】B【解析】由椭圆 的焦点为 ， ，可知 ，C)0,1(F),(21c又 ， ，|2|AF|BA可设 ，则 ， ，mB|2 mA3|1根据椭圆的定义可知 ，得 ，所以 ， ，aF2|211aBF21|A|2可知 ，根据相似可得 代入椭圆的标准方程 ，得 ，),0(bA)21,3(bB1
15、2byax32a， 椭圆 的方程为 22caC32yx11 【 答案 】C【解析】因为 ，所以 是偶函数，正确；()sini()sini()fxxxf()fx因为 ，而 ，所以错误；52,(,)6352()()63ff画出函数 在 上的图像，很容易知道 有 零点，所以错误；fx,()fx3结合函数图像，可知 的最大值为 ，正确，()f2故答案选 C12 【 答案 】D【解析】设 ，则 ，PAx2222-4cos=PACxx ，22sCEE2224x ， ，90F1,3xPBCF ，即 ，解得 ， ，22CE242x2PABC又 ，易知 两两相互垂直，AB,PABC故三棱锥 的外接球的半径为 ，
16、P62三棱锥 的外接球的体积为 ，故选 DABC346第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】 3yx【解析】 ，2(21)()xxee23(1)xe结合导数的几何意义曲线可知在点 处的切线方程的斜率为 ，0, 3k切线方程为 3yx14 【 答案 】 5S12【解析】 ， ，13a246a设等比数列公比为 ， ， ， q32511()q35S1215 【 答案 】 0.8【解析】甲队要以 ，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，4:由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况：12120.6.506
17、.0.5.6018CC16 【 答案 】【解析】由 知 是 的中点， ，112,FABurruA1BF12FBur又 是 的中点，所以 为中位线且 ，所以 ，O2,O1O因此 ，1又根据两渐近线对称， ，所以 ，12FAB260F221()tan60be三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 （1） ；（2 ） =3A24【解析】 （1）由 ，2sinsinisnBCABC得 ，222sin结合正弦定理得 ， ，22bcab221cos=bca又 ， (0,)A
18、=3（2 ）由 ，得 ，2abcsin2sinABC ， ，siniC6i()si3 ， ，312icos22sin()又 ， ，0C6C又 ， ， ，sin()022cos6C ii()6Csinsin6 62418 【 答案 】 （1）见解析；（2 ） 105【解析】 （1）连接 和 ，,ME1,BC 分别是 和 的中点， 且 ，,ME1BC1/MEBC12又 是 ， ，且 ，四边形 是平行四边形，N1AD/NDNDE ，/又 平面 ， 平面 ， 平面 E1C1CE/1C（2 ）以 为原点建立如图坐标系，由题 ， ， ， ，(0,)D(2,0)A1(,4)(1,32)M， ， ，14Aur
19、1,32ur 0,4ADur设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，1M1()nxyz122(,)nxyzur由 ，得 ，令 ，得 ，10nAru11032zz13x1(3,0)r由 ，得 ，令 ，得 ，210Dnr2240xy22(,)nur ，二面角 的正弦值为 12125cos,nurr 1AMN10519 【 答案 】 （1） ；（2 ） 078xy34【解析】设直线 的方程为 ，设 ， ，lb),(1yxA),(2B（1 ）联立直线 与抛物线的方程 消去 化简整理得 ，lxy32y0)3(4922bxx， ， ，229(3)40bb1)3(2b依题意 ，可知 ，即 ，|BFA421
20、x251x故 ，得 ，满足 ，259)3(4b870故直线 的方程为 ，即 lxy712xy（2 ）联立方程组 消去 化简整理得 ，xyb32022by， ， ， ，480b12y21，可知 ，则 ，得 ， ，3APB1y31故可知 ，满足 ，20314|91|1| 22 ykAB20 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析【解析】 （1）对 进行求导可得 ， ，()fx1()cosfxx()2取 ，则 ，1()cosgxx21()sin()gx在 内， 为单调递减函数，(,)22()i()且 ， ，01g210()所以在 内存在一个 ，使得 ，所以在 内， ， 为(,)x0x()gx0(
21、1,)x()0gx()fx增函数；在 内 ， 为减函数，0,2()()f所以 在区间 存在唯一极大值点()fx(1,（2 ）由（1 ）可知，当 时， 单调增，且 ，可得 ，,0)x()fx(0)f0fx则 在此区间单调减；()fx当 时， 单调增，且 ， ，则 在此区间单调增；0,()fx()f()fx()fx又 ，则在 上 有唯一零点 ()f01,x0当 时， 单调减，且 ，则存在唯一的 ，0,2x()fx0(),()2ff10(,)2x使得 ，在 时， ， 单调增；1()f01,fxf当 时， 单调减，且 ，1,2x()fx()1ln()1ln022f e所以在 上 无零点；0(,()f当
22、 时， 单调减， 单调减，则 在 上单调减，(,)2xsinyxln(1)yx()fx(,)2，所以在 上 存在一个零点()0l(1)0f,2f当 时， 恒成立，,xsil()l()0fxx则 在 上无零点()f(,)综上可得， 有且仅有 个零点()fx221 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析，见解析【解析】 （1）一轮实验中甲药的得分有三种情况： 、 、 10得 分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则 ；(1)()PX得 分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则 ；得 分时是都治愈或都未治愈，则 0(0)(1)PX则 的分布列为：X（2 ） 因为 ， ，0.5
23、.8则 ， ， (1)4aPX(0).5bPX(1)0.cPX可得 ，则 ，1.iiiipp4.iiipp则 ，则 ，110.4()0.()iiii1ii所以 为等比数列,2,7iip 的首项为 ，那么可得：1()ii 101p，7874，661p，214以上 7 个式子相加，得到 ，7681(44)p则 ，则 ，86781 11(4)3p p 831再把后面三个式子相加，得 ，241(4)p则 442341 18431() 257pp表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为 4”，因为 ，0.5， ，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累
24、计得分0.8为 4”这种情况的概率是非常小的，而 的确非常小，说明这种实验方案是合理的41257p22 【 答案 】 （1）曲线 ： ，直线 ： ；（2） C2yx()-l2310xy7【解析】 （1）曲线 :由题意得 ，即 ，则 ，221tt2t(1)yx然后代入即可得到 ，24yx而直线 l：将 cos,in代入即可得到 2310xy（2 ）将曲线 C化成参数方程形式为 cosixy为 参 数，则4sin()1cos23in1677d，所以当 62时，最小值为 23 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析【解析】 （1） abc，1bca由基本不等式可得：222,b，于是得到222221bcaaca（2 ）由基本不等式得到332()8(bb，3322()8(bcbc，332()8(cacac于是得到3333322()()()()()ab3322()()4ba