1、3 简谐运动的回复力和能量学 习 目 标 知 识 脉 络1.理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律(重、难点 )2掌握简谐运动回复力的特征(重点)3对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程.简谐运动的回复力先 填 空 1回复力(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力(2)方向：指向平衡位置(3)表达式：Fkx.2简谐运动的动力学特征如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动再 判 断 1回复力的方向总是与位移的方向相反()2回复力的方向总是与速度的方向相反()3回复力的方向总
2、是与加速度的方向相反()后 思 考 1公式 Fkx 中的 k 是否就是指弹簧的劲度系数？【提示】 不一定做简谐运动的物体，其回复力特点为 Fkx ，这是判断物体是否做简谐运动的依据，但 k 不一定是弹簧的劲度系数2弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力如何变化？从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢？【提示】 由回复力 Fkx 可知：从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力逐渐增大，方向一直指向平衡位置从最大位移处向平衡位置运动的过程中，回复力逐渐减小，方向一直指向平衡位置核 心 点 击 1回复力的性质回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分
3、力提供如图 1131 甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图1131 乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图 1131 丙所示，m 随 M 一起振动，m 的回复力是静摩擦力图 11312简谐运动的回复力的特点(1)由 F kx 知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置(2)公式 Fkx 中的 k 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数 k 由振动系统自身决定(3)根据牛顿第二定律得，a x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大Fm km小也与位移大小成正比，加速度方向与位
4、移方向相反1弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( ) A振子所受的回复力逐渐增大B振子的位移逐渐减小C振子的速度逐渐减小D振子的加速度逐渐减小E弹簧的形变量逐渐减小【解析】 该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小由牛顿第二定律 a 得加速度也减小物体向着平衡位置运动时，回复力与Fm速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，故正确答案为B、D、E.【答案】 BDE2.如图 1132 所示，分析做简谐运动的弹簧振子 m 的受力情况图 1132
5、【解析】 弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，回复力为效果力，受力分析时不分析此力，故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力【答案】 受重力、支持力及弹簧给它的弹力3.一质量为 m 的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图 1133 所示图 1133(1)小球在振动过程中的回复力实际上是_；(2)该小球的振动是否为简谐运动？【解析】 (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力(2)设振子的平衡位置为 O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量 h，设弹簧的劲度系数为 k，由平衡条件得 khmg 当振子向下偏离平衡位置的距离为 x 时，回复力即合外力为 F 回 mgk (xh)
6、将代入式得：F 回 kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动【答案】 (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动判断是否为简谐运动的方法(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系(2)在振动过程中任选一个位置( 平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力(4)判定振动方向上合外力(或加速度 )与位移关系是否符合 Fkx (或 a x)，若符km合，则为简谐运动，否则不是简谐运动简谐运动的能量先 填 空 1振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程(1)
7、在最大位移处，势能最大，动能为零(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小2简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型再 判 断 1简谐运动是一种理想化的振动()2水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零()3弹簧振子位移最大时，势能也最大()后 思 考 1振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能各物理量的关系如何？【提示】 振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同，但速度不一定相同，方向可能相反2振子经过关于平衡位置 O 对称的两点 P、P时各物理量的关系如何？【提示】
8、 位移、回复力、加速度大小相等，方向相反，动能、势能相等，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，且振子往复通过一段路程( 如 OP)所用时间相等，即tOP tPO.核 心 点 击 简谐运动的特点如图 1134 所示的弹簧振子图 1134振子的运动 位移 加速度 速度 动能 势能OB 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大B 最大 最大 0 0 最大BO 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小O 0 0 最大 最大 0OC 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大C 最大 最大 0 0 最大CO 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向
9、向右 增大 减小(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点(3)最大位移处是速度方向变化的转折点(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量4.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 O 在 A、B 间振动，如图 1135 所示，下列结论正确的是( )图 1135A小球在 O 位置时，动能最大，加速度最小B小球在 A、B 位置时，动能最小，加速度最大C小球
10、从 A 经 O 到 B 的过程中，回复力一直做正功D小球从 B 到 O 的过程中，振子振动的能量不断增加E小球从 B 到 O 的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变【解析】 小球在平衡位置 O 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A 项正确；在最大位移 A、B 处，动能为零，加速度最大，B 项正确；由 AO ，回复力做正功，由 OB，回复力做负功，C 项错误；由 BO ，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D 项错误E 项正确【答案】 ABE5.弹簧振子做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系如图 1136 所示，则( )图 1136A在 t1 s 时，速度的值
11、最大，方向为负，加速度为零B在 t2 s 时，速度的值最大，方向为负，加速度为零C在 t3 s 时，速度的值最大，方向为正，加速度最大D在 t4 s 时，速度的值最大，方向为正，加速度为零E当 t5 s 时，速度为零，加速度最大，方向为负【解析】 当 t1 s 和 t5 s 时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项 A 错误，E 正确；当 t2 s 时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t2 s 时，速度为负值，选项 B 正确；当 t3 s 时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项 C 错误；当 t4 s 时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D 正
12、确【答案】 BDE6如图 1137 所示为一弹簧振子的振动图象，在 A，B， C，D，E，F 各时刻中：图 1137(1)哪些时刻振子有最大动能？(2)哪些时刻振子有相同速度？(3)哪些时刻振子有最大势能？(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？【解析】 由题图知，B，D ，F 时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A ，C，E 时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为 0.B，F 时刻振子向负方向运动，D 时刻振子向正方向运动，可知 D 时刻与 B，F 时刻虽然速率相同，但方向相反A，E 两时刻振子的位移相同，C 时刻振子的位移虽然大小与 A，E 两时刻相同，但方向
13、相反由回复力知识可知 C 时刻与 A，E 时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反【答案】 (1)B，D，F 时刻振子有最大动能 (2)A，C，E 时刻振子速度相同，B，F 时刻振子速度相同(3)A，C，E 时刻振子有最大势能 (4)A，E 时刻振子有相同的最大加速度对简谐运动能量的三点认识(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒学业分层测评(三)(建议用时
14、：45 分钟)学业达标1简谐运动的特点是( )A回复力跟位移成正比且反向B速度跟位移成反比且反向C加速度跟位移成正比且反向D振幅跟位移成正比E振幅跟位移无关【解析】 由 Fkx，a ，可知 A，C 选项正确当位移增大时，速度减Fm kxm小，但位移的方向与速度方向可能相同，也可能相反，故 B 选项不正确振幅与位移无关，D 不正确，E 选项正确【答案】 ACE2关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是( ) A是回复力为零的位置B是回复力产生的加速度改变方向的位置C是速度为零的位置D是回复力产生的加速度为零的位置E是势能最大的位置【解析】 平衡位置处，x0，则回复力 F0，回复力产生的加速
15、度为零，且此处速度最大势能最小，A，D 正确，C、E 错误在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B 正确【答案】 ABD3关于简谐运动，以下说法正确的是( )A回复力可能是物体受到的合外力B回复力是根据力的作用效果命名的C振动中位移的方向是不变的D物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零E振动中振幅是不变的【解析】 回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B 正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是不同的，做简谐运动的物体振幅是不变的C 错误， E
16、正确；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D 错误【答案】 ABE4如图 1138,所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是 ( )图 1138A在第 1 s 内，质点速度逐渐增大B在第 2 s 内，质点速度逐渐增大C在第 3 s 内，动能转化为势能D在第 4 s 内，动能转化为势能E在第 4 s 内，加速度逐渐减小【解析】 质点在第 1 s 内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项 A 错误；在第 2 s 内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项 B 正确；在第 3 s 内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，
17、所以选项 C 正确；在第 4 s 内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动加速度减小，速度增大，势能转化为动能，所以选项 D 错误，E 正确【答案】 BCE5.如图 1139 所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离 x，释放后振子在 A、B 间振动，且 AB 20 cm，振子由 A 到 B 的时间为 0.1 s若使振子在 AB10 cm 间振动，则振子由 A 到 B 的时间为_图 1139【解析】 由于周期不变，仍为 0.2 s，A 到 B 仍用时 0.1 s.【答案】 0.1 s6.如图 11310 所示，一弹簧振子在光滑水平面 A，B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振子的质量为 M. 图
18、 11310(1)简谐运动的能量取决于_，本题中物体振动时 _能和_能相互转化，总_能守恒(2)若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到振子的上面，且它们无相对运动而一起运动，下列说法正确的是( )A振幅不变B振幅减小C最大动能不变D最大动能减少E振动系统的总能量不变【解析】 (1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒(2)振子运动到 B 点时速度恰为零，此时放上质量为 m 的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此 A 正确，B错误由于机械能守恒，最大动能不变，所以 C、E 正确， D 错
19、误【答案】 (1)振幅 动 弹性势 机械 (2)ACE7如图 11311 所示，在一倾角为 的光滑斜板上，固定着一根原长为 l0 的轻质弹簧，其劲度系数为 k，弹簧另一端连接着质量为 m 的滑块，此时弹簧被拉长为 l1.现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动图 11311【解析】 松手释放，滑块沿斜板往复运动振动而振动的平衡位置是小球开始时静止( 合外力为零)的位置mgsin k(l 1l 0)滑块离开平衡位置的距离为 x，受力如图所示，滑块受三个力作用，其合力 F 合k( l1 l0x) mgsin ，F 合 kx.由此可证小球的振动为简谐运动【答案
20、】 见解析能力提升8.公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为 T.竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图 11312 所示，则( ) 图 11312At T 时，货物对车厢底板的压力最小14Bt T 时，货物对车厢底板的压力最小12Ct T 时，货物对车厢底板的压力最大34Dt T 时，货物对车厢底板的压力最小34EtT 时，货物所受合力为零【解析】 要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在 T 时，货物向上的加速度最大，则 C 选项34
21、正确；若货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在 时，货物向下的加速度最大，所以选项 A 正确，B、DT4错误T 时刻物体所受压力与重力等大反向，选项 E 正确【答案】 ACE9.如图 11313 所示，弹簧上面固定一质量为 m 的小球，小球在竖直方向上做振幅为A 的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( )图 11313A小球最大动能应小于 mgAB弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变C弹簧最大弹性势能等于 2mgAD小球在最低点时的弹力大于 2mgE小球在最低点时的弹力等于 2mg【解析】 小球的平衡位
22、置 kx0mg ，x 0A ，当到达平衡位置时，有mgkmgA mv2 kA2，A 对；机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B12 12错；从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，E p2mgA，最低点加速度等于最高点加速度 g，据牛顿第二定律 Fmg mg ，F2mg，A、C、E 正确【答案】 ACE10.如图 11314 所示，一个质量为 m 的木块放在质量为 M 的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力是 fm，在劲度系数为 k 的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动为使小车能和木块一起振动，不发生相对滑动，简谐运动的振幅不能大于_. 图 11314【解析】 小车做简
23、谐运动的回复力是木块对它的静摩擦力当它们的位移最大时，加速度最大，受到的静摩擦力最大为了不发生相对滑动，达到最大位移时，小车的最大加速度 a ，即系统振动的最大加速度对整体：达到最大位移时的加速度最大，回复fmM力 kA( Mm )a，则振幅 A .M mfmkM【答案】 M mfmkM11.如图 11315 所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由 a、b 两个小物块粘在一起组成的物块在光滑水平面上左右振动，振幅为 A0，周期为 T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b 之间的粘胶脱开；以后小物块 a 振动的振幅和周期分别为 A 和 T，则 A_A0(选填“”、 “”、
24、 “”“”)图 11315【解析】 (1)弹簧振子振动过程中，机械能守恒，振子经过平衡位置时，弹性势能为零，动能最大，从平衡位置运动到最大位移处时，动能转化为弹性势能本题中，当粘胶脱开后，物块 a 与弹簧连接所构成的新的弹簧振子的机械能减小，新振子到达最大位移处时的弹性势能减小，即振子振动的振幅减小；新的弹簧振子的振幅减小，振子从最大位移处加速运动到平衡位置的距离减小，运动中的加速度比原振子振动时的大，所以运动时间减小，振子振动的周期减小(T 2 ，由于振子质量减小导致周期减小 )mk【答案】 12一质量为 m，侧面积为 S 的正方体木块，放在水面上静止( 平衡)，如图 11316 所示现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没) 撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动图 11316【解析】 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中 x 深，当木块被压入水中(x x)后如图所示，则F 回 mgF 浮 ，又 F 浮 gS (xx )由以上两式，得F 回 mggS(xx) mggSxgSx.mggSx，所以 F 回 gSx.即 F 回 kx( kgS)所以木块的振动为简谐运动【答案】 木块的振动是简谐运动