1、2019 年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上.1 （3 分）在3，1，0，1 四个数中，比2 小的数是（ ）A3 B1 C0 D12 （3 分）2018 年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二.82.7 万亿用科学记数法表示为（）A0.82710 14 B82.710 12 C8.2710 13 D8.2710 143 （3 分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A认 B真 C复 D习4 （3
2、 分）在“经典诵读”比赛活动中，某校 10 名学生参赛成绩如图所示，对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）A众数是 90 分 B中位数是 95 分C平均数是 95 分 D方差是 155 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x +m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am Bm Cm Dm 6 （3 分）为迎接 2019 年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取生物小组的概率是（ ）A B C D第 2 页（共 29
3、页）7 （3 分）如图，在ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN 分别交 BC，AC 于点 D， E若 AE3cm，ABD 的周长为 13cm，则ABC 的周长为（ ）A16cm B19cm C22cm D25cm8 （3 分）如图，点 A，B 在双曲线 y （x 0）上，点 C 在双曲线 y （x0）上，若 ACy 轴， BCx 轴，且 ACBC，则 AB 等于（ ）A B2 C4 D39 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB6， BC8，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有ADC
4、E 中，DE 的最小值是（ ）A4 B6 C8 D1010 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB3，AD4，BC3，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）第 3 页（共 29 页）A BC D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：|2|+（3） 0 12 （3 分）如图，mn， 1110，2100，则3 13 （3 分）已知抛物线 yax 2
5、+bx+c（a0）的顶点为（2，4） ，若点（2，m ） ， （3，n）在抛物线上，则 m n（填 “” 、 “”或“” ） 14 （3 分）如图，直角ABC 中，A90，B30，AC4，以 A 为圆心，AC 长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 15 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB45，AB4，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 交 AD 于点 E，沿 PE 将A 折叠，点 A 的对称点为点 F，连接EF、 DF、CF，当CDF 为等腰三角形时，AP 的长为 &nb
6、sp; 三、解答题（本大题 8 个小题，满分 75 分）第 4 页（共 29 页）16 （8 分）化简代数式： ，再从不等式组 的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值17 （9 分） “长跑“是中考体育必考项目之一，邓州市某中学为了了解九年级学生“长跑”的情况，随机抽取部分九年级学生测试成绩（男子 100 米，女子 800 米） ，按长跑时间长短依次分为 A，B，C，D 四个等级进行统计，制作出如下两个不完整的统计图，根据所给信息，解答以下问题（1）在扇形统计图中，C 对应的扇形圆心角是 度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的“长跑”测试成
7、绩的中位数会落在 等级；（4）该校九年级有 675 名学生，请估计“长跑”测试成绩达到 A 级的学生有多少人？18 （9 分）如图，AB 是O 的直径，且 AB4，C 是 O 上一点，D 是 的中点，过点D 作 O 的切线与 AB、AC 的延长线分别交于点 E、F ，连接 AD（1）求证：AFEF ；（2）填空：当 BE 时，点 C 是 AF 的中点；当 E 时，四边形 OBDC 是菱形19 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y12x1 与双曲线 y2 交于 A，C 两点，AB OA 交 x 轴于点 B
8、，且 OAAB第 5 页（共 29 页）（1）求双曲线的解析式；（2）求点 C 的坐标，并直接写出关于 x 的不等式 2x1 的解集20 （9 分）知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到我市“四馆一中心”开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏东 60方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B，C 两地的距离 （参考数据：sin53 ，cos53 ，tan53 ， 1.732，精确到 0.1千米）21 （10 分）我市某乡镇实施产
9、业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克 10 元，草莓成熟后投人市场销售经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间函数关系如图所示（1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限 30 天，预计产量 6000 千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由第 6 页（共 29 页）22 （10 分）如图（1） ，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADA
10、E，连接 BE，CD ，点 M，N，P 分别是 BE，CD，BC 的中点，连接 DE，PM，PN，MN（1）观察猜想，图（1）中PMN 是 （填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2） ，ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，则PMN 的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由（3）拓展延伸，若ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，AD2，AB 6，请直接写出PMN 的周长的最大值23 （11 分）如图，抛物线 yax 2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C已知点A（2 ，0） ，B（8，0） ，连接 AC，BC （1）求抛物线的解析式和点
11、C 的坐标；（2）点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 D 作 DEBC ，垂足为 E，求线段 DE的长度最大时，点 D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P（异于点 A，B，C ） ，使 SPAC S PBC ？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 页（共 29 页）第 8 页（共 29 页）2019 年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上.1 （3 分）在3，1，0，1 四个数中，比2 小的数是（ ）A3 B1 C0 D1【分析】利用两个负数，绝对值大
12、的其值反而小，进而得出答案【解答】解：|3| 3，|2|2，比2 小的数是：3故选：A【点评】此题主要考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键2 （3 分）2018 年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二.82.7 万亿用科学记数法表示为（ ）A0.82710 14 B82.710 12 C8.2710 13 D8.2710 14【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值
13、与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：82.7 万亿8.2710 13，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A认 B真 C复 D习【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形第 9 页（共 29 页）【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真” 故选：B【点评】本题考查了
14、正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题4 （3 分）在“经典诵读”比赛活动中，某校 10 名学生参赛成绩如图所示，对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）A众数是 90 分 B中位数是 95 分C平均数是 95 分 D方差是 15【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案【解答】解：A、众数是 90 分，人数最多，正确；B、中位数是 90 分，错误；C、平均数是 分，错误；D、方差是 19，错误；故选：A【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中
15、获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差5 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x +m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am Bm Cm Dm 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x23x +m0 有两个不相等的实数根，第 10 页（共 29 页）b 24ac（3） 241m 0，m 故选：A【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6 （3 分）为迎
16、接 2019 年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取生物小组的概率是（ ）A B C D【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案【解答】解：如图所示：，一共有 9 种可能，符合题意的有 1 种，故小华和小强都抽到生物小组的概率 ，故选：D【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键7 （3 分）如图，在ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN 分别交 BC，AC 于点
17、D， E若 AE3cm，ABD 的周长为 13cm，则ABC 的周长为（ ）A16cm B19cm C22cm D25cm【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题【解答】解：DE 垂直平分线段 AC，第 11 页（共 29 页）DADC，AE+EC6cm，AB+AD+ BD13cm，AB+BD+ DC 13cm，ABC 的周长AB +BD+BC+AC13+619cm ，故选：B【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型8 （3 分）如图，点 A，B 在双曲线 y （x 0）上，点 C 在双曲线 y
18、（x0）上，若 ACy 轴， BCx 轴，且 ACBC，则 AB 等于（ ）A B2 C4 D3【分析】依据点 C 在双曲线 y 上，AC y 轴，BC x 轴，可设 C（a， ） ，则B（3a， ） ，A（a， ） ，依据 ACBC ，即可得到 3aa，进而得出 a1，依据 C（1，1） ，B（3，1） ，A（1，3） ，即可得到 ACBC2，进而得到 RtABC 中，AB2 【解答】解：点 C 在双曲线 y 上，AC y 轴，BC x 轴，设 C（a， ） ，则 B（3a， ） ，A （a， ） ，ACBC， 3aa，解得 a1， （负值已舍去）C（1，1） ，B（3，1） ，
19、A（1，3） ，ACBC2，RtABC 中，AB2 ，故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点第 12 页（共 29 页）（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk9 （3 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB6， BC8，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A4 B6 C8 D10【分析】平行四边形 ADCE 的对角线的交点是 AC 的中点 O，当 ODBC 时，OD 最小，即 DE 最小，根据三角形中位线定理即可求解【解答】解：平行四边形 ADCE 的对角线的交点是 AC 的中点
20、 O，当 ODBC 时，OD最小，即 DE 最小ODBC，BCAB，ODAB，又OCOA，OD 是ABC 的中位线，OD AB3，DE2OD 6故选：B【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解 DE 最小的条件是关键10 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB3，AD4，BC3，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）第 13 页（共 29 页）A BC D【分析】分两种情况：（1）
21、当点 P 在 AB 上移动时，点 D 到直线 PA 的距离不变，恒为 4；（2）当点 P 在 BC 上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出PABADE，即可判断出 y （3x 6） ，据此判断出 y 关于 x 的函数大致图象是哪个即可【解答】解：根据题意，分两种情况：（1）当点 P 在 AB 上移动时，点 D 到直线 PA 的距离为：yDA 4（0x3） ，即点 D 到 PA 的距离为 AD 的长度，是定值 4；（2）当点 P 在 BC 上移动时，AB3，BC 3 ，AC 6，ADBC，APB DAE，ABP AED90，PAB ADE， ， ，y （3x 6） ，综上，纵观各选项，只有
22、D 选项图形符合故选：D【点评】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点 P 的位置分两种情况讨论第 14 页（共 29 页）二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：|2|+（3） 0 3 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：|2|+（3） 02+13故答案为：3【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12 （3 分）如图，mn， 1110，2100，则3 150 【分析】两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为 180即可解答【解答】解：如图，mn，1110，470，21
23、00，580，61804530，31806150，故答案为：150【点评】本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的13 （3 分）已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）的顶点为（2，4） ，若点（2，m ） ， （3，n）在抛物线上，则 m n（填 “” 、 “”或“” ） 第 15 页（共 29 页）【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象具有对称性可以判断 m、n 的大小，从而可以解答本题【解答】解：抛物线 yax 2+bx+c（a0）的顶点为（2，4） ，该抛物线的开口向上，当 x2 时，y 随 x 的
24、增大而减小，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，点（2，m） ， （3，n）在抛物线上， 2（2）4，34，mn，故答案为：【点评】本题考查二次函数的额性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答14 （3 分）如图，直角ABC 中，A90，B30，AC4，以 A 为圆心，AC 长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 4 （结果保留 ） 【分析】连结 AD根据图中阴影部分的面积三角形 ABC 的面积三角形 ACD 的面积扇形 ADE 的面积，列出算式即可求解【解答】解：连结 AD直角ABC 中，A90，B30，AC 4，C60，AB4 ，ADAC
25、，三角形 ACD 是等边三角形，CAD60，DAE30，图中阴影部分的面积44 242 2 4 故答案为：4 第 16 页（共 29 页）【点评】考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算15 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB45，AB4，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 交 AD 于点 E，沿 PE 将A 折叠，点 A 的对称点为点 F，连接EF、 DF、CF，当CDF 为等腰三角形时，AP 的长为 2 或 +1 或 2 【分析】如图 1，当 DFCD 时，有两个解，如图 2，当 CFCD4 时，有两个解，
26、如图 3 中，当 FDFC 时有一个解，分别求出即可【解答】解：如图 1，当 DFCD 时，点 F 与 A 重合或在点 F处在菱形 ABCD 中，AB 4，CDAD4，作 DNAB 于 N，在 RTADN 中，AD4，DAN45DNAN NF2 ，AP2 ，如图 2，当 CFCD4 时，点 F 与 B 重合或在 F处，点 F 与 B 重合，PE 是 AB 的垂直平分线，AP AB2，如图 3 中，当 FDFC 时，AF2 +2，AP AF +1综上所述：当CDF 为等腰三角形时，AP 的长为 2 或 +1 或 2 故答案为：2 或 +1 或 2 第 17 页（共 29 页）【点评】本题考查了菱
27、形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键三、解答题（本大题 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）化简代数式： ，再从不等式组 的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值【分析】直接将去括号利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出 x 的值，即可计算得出答案【解答】解：原式 3（x+1）（x 1）2x+4，解得： x1，解得： x3，故不等式组的解集为：3x1，第 18 页（共 29 页）把 x2 代入得：原式0【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键17 （9 分） “长跑“是中考体育必考项
28、目之一，邓州市某中学为了了解九年级学生“长跑”的情况，随机抽取部分九年级学生测试成绩（男子 100 米，女子 800 米） ，按长跑时间长短依次分为 A，B，C，D 四个等级进行统计，制作出如下两个不完整的统计图，根据所给信息，解答以下问题（1）在扇形统计图中，C 对应的扇形圆心角是 144 度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的“长跑”测试成绩的中位数会落在 C 等级；（4）该校九年级有 675 名学生，请估计“长跑”测试成绩达到 A 级的学生有多少人？【分析】 （1）先根据 B 等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C 等级人数，继而用 360乘以 C
29、等级人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例可得【解答】解：（1）总人数为 1840%45 人，C 等级人数为 45（4+18+5）18 人，C 对应的扇形的圆心角是 360 144，故答案为：144；（2）如图所示：第 19 页（共 29 页）（3）因为共有 45 个数据，其中位数是第 23 个数据，而第 23 个数据均落在 C 等级，所以所抽取学生的“长跑”测试成绩的中位数会落在 C 等级，故答案为：C（4）估计“长跑”测试成绩达到 A 级的学生有：675 60 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇
30、形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18 （9 分）如图，AB 是O 的直径，且 AB4，C 是 O 上一点，D 是 的中点，过点D 作 O 的切线与 AB、AC 的延长线分别交于点 E、F ，连接 AD（1）求证：AFEF ；（2）填空：当 BE 4 时，点 C 是 AF 的中点；当 E 30 时，四边形 OBDC 是菱形【分析】 （1）连接 OD，由 ED 为O 的切线，根据切线的性质得到 ODED，由 D 是的中点，由垂径定理得到 ODBC ，又由 EFBC，由 AB
31、 为O 的直径，得到ACB90，由平行线的性质得到结论；（2） 根据平行线平分线段定理，当 B 为 AE 的中点时，点 C 是 AF 的中点；当 E30 时，证明ODB，AOC，COD 为等边三角形，所以OBBDODCDOC，即四边形 OBDC 是菱形【解答】解：（1）连接 OD，BD，BC ，第 20 页（共 29 页）ED 为 O 的切线，ODEF，D 是 的中点，ODBC，EFBC，AB 是O 的直径，ACB90，AFE 90，AFEF；（2） 当 BE4 时，由（1）知，BCEF，当 ABBE 时，ACCF ，当 BE4 时，点 C 是 AF 的中点，故答案为：4；当 E30 时，四边
32、形 OBDC 是菱形如图，EF 是O 的切线，ODE F90，DOE COA 60，ODOB OCOA，ODB ，AOC 为等边三角形，COADOB60，COD60，COD 为等边三角形，OBBD ODCDOC，四边形 OBDC 是菱形；第 21 页（共 29 页）故答案为：4； 30【点评】本题是圆的综合问题，主要考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定解题的关键是掌握圆的切线的性质19 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y12x1 与双曲线 y2 交于 A，C 两点，AB OA 交 x 轴于点 B，且 OAAB（1）求双曲线的解析式；（2）求点 C 的坐标，并直接写出
33、关于 x 的不等式 2x1 的解集【分析】 （1）过点 A 作 AD OB 于点 D，根据等腰直角三角形的性质和点 A 的坐标的特点得：x2x2，可得点 A 的坐标，从而得双曲线的解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点 C 的坐标，根据图象可得结论【解答】解：（1）点 A 在直线 y12x 1 上，设点 A（x， 2x1） ，如图，过点 A 作 ADOB 于点 D，OAAB，ODBD ，又 ABOA ，AD ，x2x1，解得 x1，点 A（1，1） ，又点 A（1，1）在双曲线 ，k111，第 22 页（共 29 页）双曲线的解析式为 ；（2）联立直线和双曲线的解析式，得
34、 ，解得 ，点 C 的坐标为（ ，2 ） ，由图可得当 2x1 时，x 的取值范是 x 或 0x1【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大20 （9 分）知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到我市“四馆一中心”开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏东 60方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B，C 两地的距离 （参考数据：
35、sin53 ，cos53 ，tan53 ， 1.732，精确到 0.1千米）第 23 页（共 29 页）【分析】作 BDAC，设 ADx，在 RtABD 中求得 BD，在 RtBCD 中求得 CD，由ACAD+ CD 建立关于 x 的方程，解之求得 x 的值，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：如图，作 BD AC 于点 D，则BAD60 、DBC53，设 ADx，在 Rt ABD 中，BDAD tanBAD x，在 Rt BCD 中， CDBD tanDBC x x，由 ACAD+ CD 可得 x+ x13，解得：x4 3，则 BC x （4 3）205 11.3，即 BC 两地的距离
36、约为 11.3 千米【点评】此题考查了方向角问题此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解21 （10 分）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克 10 元，草莓成熟后投人市场销售经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间函数关系如图所示（1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限 30 天，预计产量 6000 千克，则按照（2）中的方
37、式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由第 24 页（共 29 页）【分析】 （1）依据题意利用待定系数法可得出每天的销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系：y25x+700，（2）根据销售利润销售量（售价进价） ，列出平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系式（3）将（2）中的数据代入计算即可【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+ b（k0） 把 A（12，400） ，B（14，350）分别代入得 ，解得y 与 x 的函数关系式为 y 25x+700由题意知 10x28（2）设每天的销售利润为 w 元，由题意知 w（x 10）
38、（25x+700）25x 2+950x700025（x19） 2+2025a250，当 x19 时，w 取最大值，为 2025当该品种草莓定价为 19 元/千克时，每天销售获得的利润最大，为 2025 元（3）能销售完这批草莓当 x19 时，y2519+700225，2253067506000按照（2）中的方式进行销售，能销售完【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函第 25 页（共 29 页）数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）22 （10 分）如图（1）
39、 ，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 BE，CD ，点 M，N，P 分别是 BE，CD，BC 的中点，连接 DE，PM，PN，MN（1）观察猜想，图（1）中PMN 是 等边三角形 （填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2） ，ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，则PMN 的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由（3）拓展延伸，若ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，AD2，AB 6，请直接写出PMN 的周长的最大值【分析】 （1）利用三角形的中位线定理证明 PMPN，再证明MPN60即可解决问题（2）PMN 的形状不发生改变，仍为等边三角形如图
40、 2 中，连接 BD，CE证明ABDACE （SAS） ，即可解决问题（3）利用三角形的三边关系即可解决问题【解答】解：（1）结论：PMN 是等边三角形理由：如图 1 中，ABC 是等边三角形，ABAC， ABCACB60，第 26 页（共 29 页）ADAE，BDEC，PBPC，CNND，BMEM，PNBD，PM EC，PN BD，PM EC，PMPN， NPCABC60，MPBACB60，MPN60，PMN 是等边三角形，故答案为等边三角形（2）PMN 的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图 2 中，连接 BD，CE由旋转可得BADCAE ，ABC 是等边三角形，ABAC， AC
41、BABC60又ADAE，ABDACE（SAS） ，BDCE，ABD ACE，M 是 BE 的中点，P 是 BC 的中点，PM 是BCE 的中位线，PM ，且 PMCE同理可证 PN BD 且 PNBD ，PMPN， MPBECB，NPCDBC，MPB +NPCECB+DBC（ACB +ACE）+（ABCABD）第 27 页（共 29 页）ACB+ ABC120，MPN60，PMN 是等边三角形（3）PM EC，当 EC 最大时，等边PMN 的周长最大，ECAE+AC，EC8，PM4，PM 的最大值为 4，PMN 的周长的最大值为 12【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质
42、，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题23 （11 分）如图，抛物线 yax 2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C已知点A（2 ，0） ，B（8，0） ，连接 AC，BC （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 D 作 DEBC ，垂足为 E，求线段 DE的长度最大时，点 D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P（异于点 A，B，C ） ，使 SPAC S PBC ？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在
43、，请说明理由【分析】 （1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，令 x0，则可求得 C 的坐标；（2）过点 D 作 DFy 轴，交 BC 于点 F，则DFE BCO在 RtOBC 中，根据勾第 28 页（共 29 页）股定理求得 BC，然后解直角三角形求得 DEDF sinDFE DF sinBCO ，根据待定系数法求得直线 BC 的解析式，设D（m， ，则 F（m， ） ，表示出 DF，然后根据表示出 DE得出 DE （m4） 2+ ，根据二次函数的性质即可求得；（3）分两种情况：过点 C 与 AB 平行的直线交抛物线于 P1，把 C 的纵坐标代入抛物线解析式求得即可；过点 A 与 BC
44、平行的直线交抛物线于 P2，先求得直线 AP2 的解析式，然后联立方程，求得即可【解答】解：（1）把 A（2，0） ，B（8，.0）分别代入 yax 2+bx+4 中得抛物线的解析式为 y ，令 x0，得 y4点 C 的坐标为（0，4） ；（2）如图 1，过点 D 作 DFy 轴，交 BC 于点 F，则 DFEBCOC（0，4） ，B（8，0） ，OC4，OB8，在 Rt OBC 中， BC ，sinBCO ，在 RtDEF 中，DEDF sinDFEDFsinBCO ，设直线 BC 的解析式为 ykx +t，把 B（8，0） ，C（0，4）分别代入，得 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y
45、，设 D（m， ，则 F（m， ）DF ，第 29 页（共 29 页）DE ， ，当 m4 时，DE 的值最大，最大值为 ，此时点 D 的坐标为（4，.6） ；（3）存在点 P，使 SPAC SPBC ，过点 C 与 AB 平行的直线交抛物线于 P，CPAB，点 A、B 到 CP 的距离相等，PAC、PBC 的面积相等，C（0，4） ，把 y4 代入 y ，解得 x0 或 x6，P（6，4） ，使 SPAC S PBC 的点 P 的坐标为（6，4） 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与 x 轴的交点问题，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式和求二次函数的解析式，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离相等的性质考虑利用 CPAB 求解是解题的关键