1、2019 年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A0，1，Bx|（x +2） （x 1）0，xZ ，则 AB（ ）A 2，1，0，1 B 1，0，1 C0，1 D02 （5 分） （ ）A B C i D3 （5 分）某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是（ &n
2、bsp;）A12 B15 C20 D214 （5 分） 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3 升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升5 （5 分）已知 p：a1，q：函数 f（x ）ln （x+ ）为奇函数，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第 2 页（共 26 页）6
3、（5 分）已知变量 x、t 满足约束条件 ，则目标函数 z3xy 的最大值是（ ）A4 B C1 D67 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D8 （5 分）设函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| | ）与直线 y3 的交点的横坐标构成以 为公差的等差数列，且 x 是 f（x ）图象的一条对称轴，则下列区间中是函数 f（x）的单调递减区间的是（ ）A B C D 9 （5 分）如图， “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的
4、概率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）A B C D第 3 页（共 26 页）10 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S20180，S 20190，那么此数列中绝对值最小的项为（ ）Aa 1008 Ba 1009 Ca 1010 Da 101111 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面 ，使得 平分该几何体的体积，则可以作此种平面 （ ）A恰好 1 个 B恰好 2 个 C至多 3 个 D至少 4 个12 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，
5、直线 PF 与曲线相交于 M，N 两点，若 3 ，则|MN| （ ）A B C10 D11二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 （1，1） ， （t，1） ，若（ + ）（ ） ，则实数 t 14 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两成 90，且 PA1，PBPC2，则该三棱锥外接球的表面积为 15 （5 分）已知双曲线 1（ba0） ，焦距为 2c，直线 l 经过点（a，0）和（0，b） ，若（a，0）到直线 l 的距离为 c，则离心率为 16 （5
6、 分）若函数 f（x ）mx +（m +sinx）cosx 在（ ，+ ）单调递减，则 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（ bsin C）cosAsin AcosC，a2第 4 页（共 26 页）（）求 A；（）求ABC 的面积的最大值18 （12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热” 北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校
7、一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额（1）完成 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计男 55女合计（2）已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这5 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率附表：P（K 2k 0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
8、是矩形，PA平面ABCD， PAAD，BM PD 交 PD 于点 M（）求证：PD平面 ABM；（）若 PAAD 2AB2，求 B 到平面 ACM 的距离第 5 页（共 26 页）20 （12 分）已知椭圆 + 1（ab0）的左、右两个焦点 F1，F 2，离心率 ，短轴长为 2（）求椭圆的方程；（）如图，点 A 为椭圆上一动点（非长轴端点） ，AF 2 的延长线与椭圆交于 B 点，AO的延长线与椭圆交于 C 点，求 ABC 面积的最大值21 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（2）若函数 yg（x ）对任意 x 满足 g（x）f（4x ） ，求证：当 x2，f（x
9、）g（x） ；（3）若 x1x 2，且 f（x 1）f （x 2） ，求证：x 1+x24请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线 C1：x 2y 22，曲线 C2 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）在极坐标系中，射线 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点（异于极点 O） ，定点 M（3，0） ，求MAB 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +2|5（）解不等式
10、：f（x ）|x1| ；（）当时 x1 时，函数 g（x）f （x）+|x m|恒为正值，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 26 页）第 7 页（共 26 页）2019 年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A0，1，Bx|（x +2） （x 1）0，xZ ，则 AB（ ）A 2，1，0，1 B 1，0，1 C0，1 D0【分析】先求出集合 B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值【解答】解：集合 A0， 1，B x|（x+2）
11、（ x1）0，xZ 1，0 ，AB1，0，1故选：B【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用2 （5 分） （ ）A B C i D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）第 8 页（共 26 页）A12 B15 C20
12、D21【分析】利用扇形图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数【解答】解：由扇形图得：中学有高中生 3000 人，其中男生 300030%900，女生 300070%2100，初中生 2000 人，其中男生 200060%1200，女生 200040%800，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21人，则 ，解得 n50，从初中生中抽取的男生人数是：50 12故选：A【点评】本题考查从初中生中抽取的男生人数的求法，考查扇形图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （5 分） 九章算术是我国古代第一部数学专
13、著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3 升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升【分析】自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、a 9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、a 9，第 9 页（共 26 页）由题意得， ，即 ，得 ，所以 a2+a3+a8 （升） ，故选：A【点评】本题考查了等差数列的性质的灵活应
14、用，以及方程思想，属于基础题5 （5 分）已知 p：a1，q：函数 f（x ）ln （x+ ）为奇函数，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】函数 f（x ）ln（x+ ）为奇函数，则 f（ x）+f（x）lna0，解得a即可判断出结论【解答】解：函数 f（x ）ln（x+ ）为奇函数，则 f（x）+f（x ）ln（x+ ）+ln（x+ ）lna0，解得 a1p 是 q 成立的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）已知变量 x、
15、t 满足约束条件 ，则目标函数 z3xy 的最大值是（ ）A4 B C1 D6【分析】先画出满足条件的平面区域，由 z3xy 得 y 3xz，结合图象得到直线过（2，0）时 z 最大，求出 z 的最大值即可第 10 页（共 26 页）【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由 z3xy 得 y3xz，显然直线过（2，0）时 z 最大，z 的最大值是 6，故选：D【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题7 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数
16、值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除 C，D 两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在 X 轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在 x 轴上方，故可排除 B，A 选项符合，故选：A【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶第 11 页（共 26 页）性，再研究某些特殊值8 （5 分）设函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| | ）与直线 y3 的交点的横坐标构成以 为公差的等差数列，且 x 是 f（x ）图象的一条对称轴，则下列区间中是函数 f（x）的单调递减区间的是（ &n
17、bsp; ）A B C D 【分析】由周期求得 的值，根据图象的对称性求出 的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数 f（x ）的单调递增区间，从而得出结论【解答】解：由题意可得，A3，函数 f（x）的周期为 ，解得 2，且 A3，再由 2 +k + ，k Z，解得 k + ，结合| ，可得 ，f（x）3sin（2x + ） 令 2k 2x+ 2k+ ，解得 k xk + ，故函数的增区间为k ，k + ，k Z故区间 ， 是函数的减区间故选：D【点评】本题主要考查由条件求函数 yAsin （ x+）的解析式，正弦函数的图象特征、正弦函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题9 （
18、5 分）如图， “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）第 12 页（共 26 页）A B C D【分析】求出四个全等的直角三角形的三边的关系，从而求出 sin的值即可【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为 ，不妨设大正方形面积为 5，小正方形面积为 1，大正方形边长为 ，小正方形的边长为 1四个全等的直角三角形的斜边的长是 ，较短的直角边的长是 1，较长的直角边的长是 2，故 sin ，故选：B【点评】本
19、题考查了几何概型问题，考查三角函数问题，是一道基础题10 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S20180，S 20190，那么此数列中绝对值最小的项为（ ）Aa 1008 Ba 1009 Ca 1010 Da 1011【分析】S 20180，S 20190，可得0， 2019a 10100，即a1009+a10100，a 10100，进而得出【解答】解：S 20180，S 20190， 0， 2019a 10100，a 1009+a10100，a 10100，可得：a 10090，a 10100，|a 1009|a 1010|，第 13 页（共 26 页）由等
20、差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为 a1010，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与其求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面 ，使得 平分该几何体的体积，则可以作此种平面 （ ）A恰好 1 个 B恰好 2 个 C至多 3 个 D至少 4 个【分析】画出几何体的直观图，确定几何体最短两条棱，并列举出满足条件的平面 ，逐一分析四个答案，可得结论【解答】解：几何体的直观图如图所示，该几何体最短两条棱为 PA 和 BC，设 PA 和 BC 的中点分别为 E，F
21、，则过 E，F 且平分几何体体积的平面 ，可能为： 平面 PAF，如下图：第 14 页（共 26 页）平面 BCE，如下图：平面 EGFH（其中 G，H 为 AC 和 PB 的中点） ，如下图：平面 EMFN（其中 M，N 为 PC 和 AB 的中点） ，如下图：第 15 页（共 26 页）故满足条件的 至少有 4 个，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，本题易忽略满足条件的后两种情况，而错选 B12 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与曲线相交于 M，N 两点，若 3 ，则|MN| （ ）A B C1
22、0 D11【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线 y28x 的方程组成方程组，消去 y 得到关于 x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段 MN 的长【解答】解：抛物线 C：y 28x 的焦点为 F（2，0） ，准线为 l：x2，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2） ，M，N 到准线的距离分别为 dM，d N，由抛物线的定义可知|MF |d Mx 1+2，|NF|d Nx 2+2，于是|MN|MF|+|NF|x 1+x2+4 3 ，直线 PF 的斜率为 ，F（2，0） ，直线 PF 的方程为 y （x 2） ，将 y （x 2） ，代入方程
23、 y28x，得 3（x2） 28x，化简得 3x220x+120，x 1+x2 ，于是 |MN|MF|+|NF| x 1+x2+4 +4 故选：B【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 （1，1） ， （t，1） ，若（ + ）（ ） ，则实数 t 1 【分析】根据题意，由向量坐标的计算公式计算可得 + 、 的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得 0（1t）（1+t ）（2） ，解可得 t 的值，即可得答案【解答】解：根据题意， （1，1） ， （t，1） ，第 16 页（共 26
24、页）则 + （1+t，0） ， （1t ，2） ，若（ + ）（ ） ，则有 0（1t）（1+t ）（ 2） ，解可得 t1；故答案为：1【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，关键是求出关于 k 的关系式14 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两成 90，且 PA1，PBPC2，则该三棱锥外接球的表面积为 9 【分析】三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积【解答】解：三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外
25、接球，求出长方体的对角线的长： 3，所以球的直径，2R3，半径 R ，球的表面积：S4R 29故答案为：9【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力15 （5 分）已知双曲线 1（ba0） ，焦距为 2c，直线 l 经过点（a，0）和（0，b） ，若（a，0）到直线 l 的距离为 c，则离心率为 【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，化简整理即可得到 2e49e 2+90，解方程即可得到离心率，注意条件0ab，则有 e22，注意取舍【解答】解：直线 l 的方程为 ，即为 bx+aya
26、b0，c2a 2+b2， （a，0）到直线 l 的距离为 c，可得： c，即有 3ab c2，即 9a2b22c 4，即 9a2（c 2a 2）2c 4，9a2c29a 42c 40，第 17 页（共 26 页）由于 e ，则 2e49e 2+9 0，解得，e 23 或 e2 由于 0ab，即 a2b 2，即有 c22a 2，即有 e22，则 e 或 e 舍去故答案为： 【点评】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题16 （5 分）若函数 f（x ）mx +（m +sinx）cosx 在（ ，+ ）单调递减，则 m 的
27、取值范围是 （， 【分析】求出原函数的导函数，把函数 f（x ）mx +（m+sinx）cosx 在（，+ ）单调递减，转化为 mmsinx +cos2x0，分离参数 m，换元后利用函数单调性求最值，则答案可求【解答】解：f（x ）mx +（m +sinx）cosxmx+mcosx+ ，f（x）mm sinx+cos2x，f（x）在（ ，+）单调递减，mm sinx+cos2x0，即 m（1sinx）cos2 x 在（，+）上恒成立，若 1sinx0，则 cos2x 1，对于任意 mR，上式恒成立；若 1sinx0，则 m 在（，+）上恒成立，令 sinx t（1t1） ，则 g（
28、t） ，1t1，2t10，则当 t1 ，即 t1 时，g（t）有最小值为 m 综上，m 的取值范围是（ ， 故答案为：（， 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题第 18 页（共 26 页）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（ bsin C）cosAsin AcosC，a2（）求 A；（）求ABC 的面积的最大值【分析】 （）利用两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 1，由正弦定理进而可求 sinAcosA，即可解得
29、 A （）由余弦定理，基本不等式可求 bc2（2+ ） ，进而根据三角形的面积公式即可计算得解ABC 的面积的最大值【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）因为（ bsinC）cos Asin AcosC，所以 bcosA sinAcosC+sinCcosAsin （A+C）sin B，所以 1，由正弦定理得 ，所以 1，sinAcosA，解得A （6 分）（）由余弦定理 a2b 2+c22bccosA，得：b 2+c2 bc+4，因为 b2+c22ac 所以 bc+42bc ，解得：bc2（2+ ） ，所以 SABC bcsinA bc 2（2+ ） 所以ABC 的面积的最大值为+1（12
30、 分）【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题第 19 页（共 26 页）18 （12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热” 北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额（1）完成 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计
31、男 55女合计（2）已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这5 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率附表：P（K 2k 0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】 （1）利用已知条件求出 22 列联表的数据，完成表格，计算 K2，即可回答能否有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关 ”（2）记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C ，对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n，列出所有选派的情况，求出至少 2 人对冰球有兴趣的情况数
32、目，然后求解概率【解答】解：（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣 没有兴趣 合计男 45 10 55女 30 15 45合计 75 25 100根据列联表中的数据，得到 K2 3.0303.0302.706 所以有 90%的把握认为 “对冰球是否有兴趣与性别有关” 第 20 页（共 26 页）（2）记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C ，对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n，则从这 5 人中随机抽取 3 人，共有（A，m ，n） （B，m ，n） （ C，m ，n） （A、B、m）（A、B、n） （B 、C 、m） （B、C 、n） （A、C、m） （A、C、n） （A、B、C ）
33、10 种情况，其中 3 人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C ）1 种，2 人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m） （ A、B、n） （B、C、m ） （B、C、n） （A、C、m） （A、C、n）6 种，所以至少 2 人对冰球有兴趣的情况有 7 种，因此，所求事件的概率 【点评】本题考查独立检验以及古典概型的概率的求法，是基本知识的考查19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面ABCD， PAAD，BM PD 交 PD 于点 M（）求证：PD平面 ABM；（）若 PAAD 2AB2，求 B 到平面 ACM 的距离【分析】 （）证明 PAABAB AD ，
34、推出 AB平面 PAD，ABPD然后证明PD平面 ABM（）设 B 到平面 ACM 的距离为 d，通过 VMABC V B ACM，解得 d 即可【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）证明：PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAABABAD ，ADPAA，AD平面 PAD，PA平面 PAD，AB平面PAD（3 分）PD平面 PAD，第 21 页（共 26 页）ABPD BMPD ，ABBM B，AB 平面 ABM，BM 平面 ABM，PD平面ABM （6 分）（）由（）可得AMPD又 PAADM 是 PD 中点，（8 分）AM ，CM ，AC ，设 B 到平面 ACM 的距离为 d，
35、V MABC V BACM ， 解得d （12 分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力20 （12 分）已知椭圆 + 1（ab0）的左、右两个焦点 F1，F 2，离心率 ，短轴长为 2（）求椭圆的方程；（）如图，点 A 为椭圆上一动点（非长轴端点） ，AF 2 的延长线与椭圆交于 B 点，AO的延长线与椭圆交于 C 点，求 ABC 面积的最大值第 22 页（共 26 页）【分析】 （）由题意解得 b，利用离心率以及 a，b，c 的关系求解 a，b，即可得到椭圆的方程（） 当直线 AB 的斜率不存在时，求解三角形的面积；当直线 AB
36、的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk （x1） ，联立方程组 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，利用韦达定理弦长公式求出 |AB|，通过点 O 到直线 kxy k0 的距离求出 d，表示出三角形的面积利用基本不等式求解最值【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由题意得 2b2，解得 b1，（1 分） ，a 2b 2+c2， ，c1，故椭圆的标准方程为 （3 分）（） 当直线 AB 的斜率不存在时，不妨取 ， ，C（1，） ，故 ：（4 分）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk （x1） ，联立方程组 ，化简得（2k 2+1）x 24k 2x+2
37、k220，（5 分）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ， ，（6 分）第 23 页（共 26 页） ，（8 分）点 O 到直线 kxy k0 的距离 因为 O 是线段 AC 的中点，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d ，（9 分）2 （11 分）综上，ABC 面积的最大值为 （12 分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（2）若函数 yg（x ）对任意 x 满足 g（x）f（4x ） ，求证：当 x2，f（x）g（x） ；（3）若 x1
38、x 2，且 f（x 1）f （x 2） ，求证：x 1+x24【分析】 （1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；（2） ，求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，+）上的单调性，进而证得结论（3）先由（1）得 f（x ）在（，2）内是增函数，在（2，+）内是减函数，故x1、x 2 不可能在同一单调区间内；设 x12x 2，由（2）可知 f（x 2）g（x 2） ，即f（x 1）f（4x 2） 再结合单调性即可证明结论【解答】解：（1）f（x ） ，f'（x） （ 2 分）令 f'（x）0，解得 x2第 24 页（共 26 页）x
39、 （，2） 2 （2，+）f'（x） + 0 f（ x） 极大值 f（x）在（ ，2）内是增函数，在（2，+）内是减函数 （3 分）当 x2 时，f（x）取得极大值 f（2） （4 分）（2）证明： ， ，F'（x） （6 分）当 x2 时，2x 0，2x 4 ，从而 e4e 2x0，F'（x）0，F （x ）在（2 ，+ ）是增函数 （8 分）（3）证明：f（x ）在（，2）内是增函数，在（2，+）内是减函数当 x1x 2，且 f（x 1）f（x 2） ，x 1、x 2 不可能在同一单调区间内不妨设 x12x 2，由（2）可知 f（x 2）g（x 2） ，又 g（x
40、2）f（ 4x 2） ，f（ x2）f（4x 2） f（x 1）f（x 2） ，f（x 1）f （4x 2） x 22，4x 22，x 12，且 f（x）在区间（，2）内为增函数，x 14x 2，即 x1+x24 （12 分）【点评】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系中，
41、曲线 C1：x 2y 22，曲线 C2 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系第 25 页（共 26 页）（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）在极坐标系中，射线 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点（异于极点 O） ，定点 M（3，0） ，求MAB 的面积【分析】 （）由曲线 C1 的普通方程能求出曲线 C1 的极坐标方程；由曲线 C2 的参数方程能求出曲线 C2 的普通方程，由此能求出曲线 C2 的极坐标方程（）点 A 的极坐标为（2， ） ，点 B 的极坐标为（2 ， ） ，从而|AB|22 |2 2，M（3，0）点到射线 （0
42、）的距离为 d3sin ，由此能求出MAB 的面积【解答】解：（）曲线 C1：x 2y 22，曲线 C1 的极坐标方程为： 2cos2 2sin22，（2 分）曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） 曲线 C2 的普通方程为：（ x2） 2+y24，（3 分）x 2+y24x0，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos （4 分）（）由（）得：点 A 的极坐标为（2， ） ，（5 分）点 B 的极坐标为（2 ， ） ，（6 分）|AB| |22 |2 2，（7 分）M（3，0）点到射线 （ 0）的距离为d3sin ，（8 分）MAB 的面积为：SMAB |AB|d （10 分）【点评】本题考查曲线
43、的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +2|5第 26 页（共 26 页）（）解不等式：f（x ）|x1| ；（）当时 x1 时，函数 g（x）f （x）+|x m|恒为正值，求实数 m 的取值范围【分析】 （）由分类讨论，解不等式可得所求解集；（）求得 g（x）的最小值，解不等式可得所求范围【解答】解：（）|2x +2| 5|x1| 等价于或 或 ，解得 x8 或 x或 x2，综上所述，不等式 f（x ）|x1| 的解集为（，8 2，+） ；（）当 m1 时，则 g（ x）|2x+2|5+| x1|3|x +1|53x 20，只需 g（1）320，不可能！当 m1 时，g（x）|2 x+2|+|xm |5| xm|+2x 3 ，要使函数 g（x）f（x）+|x m|恒为正值，则 g（x） ming（1）1+m 30，可得 m4，当 m1 时，g（x）|2 x+2|+|xm |53xm 30 恒成立，只需要 g（x） min3m 30，可得 m6，综上所述，实数 m 的取值范围是（ ，6）（4，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题