1、2019 年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxN *|x2x 20 ，B2，3 ，则 AB（ ）A 1，0，1，2，3 B1 ，2，3 C1，2D 1，32 （5 分）若复数 z 为纯虚数且（1+i）zai （其中 i 是虚数单位，aR） ，则|a+z| （ ）A B C2 D3 （5 分）为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 400 名授课教师中抽取 20 名，调查了他们上学期使用多媒体进
2、行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示据此可估计该校上学期 400 名教师中使用多媒体进行教学次数在16，30）内的人数为（ ）A100 B160 C200 D2804 （5 分）已知椭圆 ，长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于（ ）A5 B6 C9 D105 （5 分）已知 f（x ） 是（，+）上的增函数，那么实数 a 的取值范围是（ ）A （0，3） B （1，3） C （1，+） D6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F若 ， ，则 （
3、）A B C D第 2 页（共 22 页）7 （5 分）函数 f（x ） sin2x2sin 2x， （0x ）则函数 f（x）的最小值为（ ）A1 B2 C D8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）A4 B C D9 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P，Q，R 分别是棱 A1A，A 1B1，A 1D1的中点，以PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ）A B C D10 （5 分）我国古代数
4、学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 d 人们还用过一些类似的近似公式根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）Ad Bd Cd Dd11 （5 分）在ABC 中，已知 2acosBc ，sinAsinB （2cosC）sin 2 + ，则ABC 为（ ）A等边三角形 B等腰直角三角形第 3 页（共 22 页）C锐角非等边三角形 D钝角三角形12 （5 分）已知函数 f（x ） ，函数 g（x）bf（3x） ，其中bR
5、，若函数 yf（x ）g（x）恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（ ）A B C D （3，0）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知向量 ， ，若 ，则实数 t 14 （5 分）已知 ，则 15 （5 分）已知 F 是双曲线 的左焦点，A（1，4） ，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA|的最小值为 16 （5 分）已知函数 f（x ）x+sinx（x R） ，且 f（y 2 2y+3）+f （x 24x +1）0，则当y1 时， 的取
6、值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1， 2a2+2，5a 3 成等比数列（1）求 d，a n； （2）若 d0，求此数列前 n 项的和 Sn 的最大值18通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 22 列联表：男生 女生 合计挑同桌 30 40 70不挑同桌 20 10 30总计 50 50 100（）从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本
7、，现从这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率；（）根据以上 22 列联表，是否有 95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：第 4 页（共 22 页）P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式： ，其中 na+b+c+d）19在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB CD，PAD 是等边三角形，已知 AD2，BD ， AB2CD4（1）设 M 是 PC 上一点，
8、求证：平面 MBD平面 PAD（2）求四棱锥 PABCD 的体积20已知圆 M：（xa） 2+（ yb） 29，M 在抛物线 C：x 22py（p0）上，圆 M 过原点且与 C 的准线相切（） 求 C 的方程；（） 点 Q（ 0，t） （t0） ，点 P（与 Q 不重合）在直线 l：yt 上运动，过点 P作 C 的两条切线，切点分别为 A，B 求证：AQO BQO（其中 O 为坐标原点） 21已知函数 f（x ）e xax 21（xR） （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为 e，求 a 的值；（2）若 ，求证：当 x0 时，f （x）的图象恒在 x 轴上方选修 4-4：坐标系与参
9、数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos ，曲线 C1、C 2 的公共点为 A、 B（）求直线 AB 的斜率；（）若点 C、D 分别为曲线 C1、C 2 上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形 ACBD的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| xm |（mR） （1）当 m1 时，解不等式 f（x）2；（2）若关于 x 的不等式 f（x）|x 3|的解集包含3 ，4，求 m 的取值范围第 5 页（共 22 页）2019 年河南省洛阳市高
10、考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 AxN *|x2x 20 ，B2，3 ，则 AB（ ）A 1，0，1，2，3 B1 ，2，3 C1，2D 1，3【分析】可求出集合 A，然后进行并集的运算即可【解答】解：AxN *|1x21，2 ，B2，3；AB1，2，3故选：B【点评】考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算2 （5 分）若复数 z 为纯虚数且（1+i）zai （其中 i 是虚数单位，aR） ，则|a+z| （ ）A B C
11、2 D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值，则|a+ z|可求【解答】解：由（1+i）z ai ，得 ，复数 z 为纯虚数， ，解得 a1zi，则|a +z| |1i| 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 400 名授课教师中抽取 20 名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示据此可估计该校上学期 400 名教师中使用多媒体进行教学次数在16，30）内的人数为（
12、）第 6 页（共 22 页）A100 B160 C200 D280【分析】先由茎叶图确定样本中教学次数在16，30）的人数，进而通过样本进行估计总体【解答】解：由茎叶图可知，样本中教学次数在16，30）的人数为 8 人，则教学次数在16，30）的频率为 ，所以可估计该校上学期 400 名教师中使用多媒体进行教学次数在16，30）内的人数为人故选：B【点评】本题考查了茎叶图的应用，以及利用样本进行总体估计的方法比较基础4 （5 分）已知椭圆 ，长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于（ ）A5 B6 C9 D10【分析】利用已知条件列出方程，然后求解 m 即可【解答】解：椭圆 ，
13、长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 ，解得 m9故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查5 （5 分）已知 f（x ） 是（，+）上的增函数，那么实数 a 的取值范围是（ ）A （0，3） B （1，3） C （1，+） D【分析】根据一次函数以及指数函数的性质，结合函数的单调性得到不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：第 7 页（共 22 页），解得： a3，故选：D【点评】本题考查了一次函数，指数函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 C
14、D 交于点 F若 ， ，则 （ ）A B C D【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到 DF 与 FC 之比，做 FG 平行 BD 交AC 于点 G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果【解答】解：由题意可得DEFBEA， ，再由 ABCD 可得 ， 作 FG 平行 BD 交 AC 于点 G， ， + + + ， + + ，故选：B【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题第 8 页（共 22 页）
15、7 （5 分）函数 f（x ） sin2x2sin 2x， （0x ）则函数 f（x）的最小值为（ ）A1 B2 C D【分析】先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值【解答】解：f（x ） sin2x2sin 2x，2sin（2x+ ）10x2f（x） 1则函数 f（x）的最小值为 2故选：B【点评】本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于基础试题8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）A4 B C D【分析】作出几
16、何体的直观图，得出外接球的半径，代入体积公式计算得出答案【解答】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：其中 PA底面 ABCD，是正方体的一部分，棱长为：2，第 9 页（共 22 页）棱锥的外接球就是正方体的外接球，球的直径为： ，外接球半径 R 外接球的体积 V R3 故选：B【点评】本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题9 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P，Q，R 分别是棱 A1A，A 1B1，A 1D1的中点，以PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ）
17、A B C D【分析】分别取过 C 点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半【解答】解：连结 A1C，AC，B 1C，D 1C，分别取 AC，B 1C，D 1C 的中点 E，F，G，连结 EF，EG ，FG由中位线定理可得 PE A1C，QF A1C，RG A1C又 A1C平面 PQR，三棱柱 PQREFG 是正三棱柱三棱柱的高 hPE A1C 第 10 页（共 22 页）故选：D【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题10 （5 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：
18、置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 d 人们还用过一些类似的近似公式根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）Ad Bd Cd Dd【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为 ，表示出 ，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可【解答】解：由 V ，解得 d 设选项中的常数为 ，则 选项 A 代入得 3.375；选项 B 代入得 3；选项 C 代入得 3.14；选项 D 代入得 3.142857由于 D 的值最接近 的真实值故选：D【点评】本
19、题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题11 （5 分）在ABC 中，已知 2acosBc ，sinAsinB （2cosC）sin 2 + ，则ABC 为（ ）A等边三角形 B等腰直角三角形C锐角非等边三角形 D钝角三角形【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到 AB，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将 A+BC，AB0 代入计算求第 11 页（共 22 页）出 cosC 的值为 0，进而确定出 C 为直角，即可确定出三角形形状【解答】解：
20、将已知等式 2acosBc，利用正弦定理化简得： 2sinAcosBsin C，sinCsin （A+ B）sinAcosB+cosAsin B，2sinAcosB sinAcos B+cosAsinB，即 sinAcosBcosAsinBsin（AB）0，A 与 B 都为ABC 的内角，AB0，即 AB，已知第二个等式变形得：sinA sinB（2cosC） （1 cosC）+ 1 cosC， cos（A+ B）cos（A B） （2cosC）1 cosC， （cosC1） （2cosC）1 cosC，即（cosC+1） （2cosC）2cos C，整理得：cos 2C2cosC0，即 co
21、sC（cosC2）0，cosC0 或 cosC2（舍去） ，C90，则ABC 为等腰直角三角形故选：B【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键12 （5 分）已知函数 f（x ） ，函数 g（x）bf（3x） ，其中bR，若函数 yf（x ）g（x）恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（ ）A B C D （3，0）【分析】化简 f（3x ） ，作函数 bbf（x）+f （3x）的图象如下，结合函数的图象可得 b 的范围【解答】解：f（x ） ，f（3x） ，由 yf（x）g（x）f（x）+f（3
22、x）b0，第 12 页（共 22 页）得 bf（x）+f（3x ） ，令 h（x）f（ x）+f（3x ） ，函数 yf（x）g（x）恰有 4 个零点，即 yb 与 h（x ） f（x）+f（3x）的图象有4 个不同交点，作出函数图形如图：结合函数的图象可得，当3b 时，函数 yf （x）g（x）恰有 4 个零点，实数 b 的取值范围是（3， ） 故选：B【点评】本题考查了绝对值函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想方法，是中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知向量 ， ，若 ，则实数 t 2 【分析】可求出 ，根据 即可得出3（1+t）
23、（1t）0，解出 t 即可【解答】解： ； ；第 13 页（共 22 页）3（1+t） （1t）0；解得 t2故答案为：2【点评】考查向量坐标的加法和减法运算，以及平行向量的坐标关系14 （5 分）已知 ，则 【分析】由已知利用两角和的正切函数公式 tan ，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解【解答】解： ，则 2，解得：tan ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题15 （5 分）已知 F 是双曲线 的左焦点，A（1，4） ，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA|
24、的最小值为 9 【分析】根据 A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得 a，进而根据PA|+|PF| |AF|5 两式相加求得答案【解答】解：A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 F（4，0） ，由双曲线性质|PF| PF|2a4而|PA|+|PF|AF|5两式相加得|PF|+|PA|9，当且仅当 A、P、F三点共线时等号成立故答案为 9【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用16 （5 分）已知函数 f（x ）x+sinx（x R） ，且 f（y 2 2y+3）+f （x 24x +1）0，则当第 14 页（共 22 页）y1 时， 的取值
25、范围是 ， 【分析】判断函数 f（x ）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和 的几何意义即可得到结论【解答】解：f（x ）x+sinx（x R） ，f（x） xsinx （x+sinx）f （x） ，即 f（x）x+sinx （x R）是奇函数，f（y 22y+3）+ f（x 24x +1）0，f（y 22y+3）f（x 24x+1）f（x 24x+1），由 f'（x）1+cosx0，函数单调递增（y 22y+3） （x 24x+1） ，即（y 22y+3） +（x 24x +1）0，（y1） 2+（x 2） 21，y1，不等式对应的平面区域为圆心
26、为（2，1） ，半径为 1 的圆的上半部分的几何意义为动点 P（x，y ）到定点 A（1，0）的斜率的取值范围设 k ， （k 0）则 ykx+k，即 kxy +k0当直线和圆相切时，圆心到直线的距离 d 1，即 8k26k0，解得 k 此时直线斜率最大当直线 kxy+k0经过点 B（3，1）时，直线斜率最小，此时 3k1+k 0，即 4k1，解得 k ， k ，故答案为 ， 第 15 页（共 22 页）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想三、解答题（本大题共 5 小题，共 70
27、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1， 2a2+2，5a 3 成等比数列（1）求 d，a n； （2）若 d0，求此数列前 n 项的和 Sn 的最大值【分析】 （）由已知得到 ，再由公差为 d 的等差数列a n中，a110，将等式用首项与公差表示出来即可解出公差，再求通项（）数列前 n 项的和 Sn 的最大值即所有正项的和，所以令 an0，解出所有的正项，再求它们的和即可【解答】解：（）由已知得到：；（）由（1）知，当 d0 时，a n11n，a n0n11故（S n） maxS 1
28、155【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，数列前 n 项和的最大值的求法，所有正项的和最大，这是求和最大值的理论依据18通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 22 列联表：男生 女生 合计挑同桌 30 40 70不挑同桌 20 10 30第 16 页（共 22 页）总计 50 50 100（）从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，现从这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率；（）根据以上 22 列联表，是否有 95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面
29、的临界值表供参考：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式： ，其中 na+b+c+d）【分析】 （）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有 3 人，不挑同桌有 2 人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（）根据 22 列联表计算观测值，对照临界值表得出结论【解答】解：（）根据分层抽样方法抽取容量为 5 的样本，挑同桌有 3 人，记为A、B、C ，不挑同桌有 2 人，记为 d、e；从这 5 人中随机选取 3 人，基本事件为ABC，ABd ，ABe，ACd，
30、ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde 共 10 种；这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的事件为概率为ABC，ABd ，ABe，ACd，ACe，BCd ，BCe ，共 7 种；故所求的概率为 P ；（）根据以上 22 列联表，计算观测值K2 4.76193.841，对照临界值表知，有 95%以上的把握认为 “性别与在选择座位时是否挑同桌”有关【点评】本题考查了分层抽样原理与列举法求基本事件的概率和 22 列联表计算观测值的问题，是综合题19在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB CD，PAD 是等边三角形，已知 AD2，BD ， AB2CD4（1）设 M 是 P
31、C 上一点，求证：平面 MBD平面 PAD第 17 页（共 22 页）（2）求四棱锥 PABCD 的体积【分析】 （1）推导出 ADBD，从而 BD平面 PAD，由此能证明平面 MBD平面PAD（2）取 AD 中点为 O，则 PO 是四棱锥的高，底面 ABCD 的面积是ABD 面积的 ，由此能求出四棱锥 PABCD 的体积【解答】证明：（1）在ABD 中，AD2，BD ，AB 2CD4，AD 2+BD2AB 2，AD BD ，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 PAD，又 BD平面 BDM，平面 MBD平面 PAD解：（2）取 AD 中点为 O，则 PO 是四
32、棱锥的高，PO ，S ABD 2 ，底面 ABCD 的面积是ABD 面积的 ，即 3 ，四棱锥 PABCD 的体积为 V 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题20已知圆 M：（xa） 2+（ yb） 29，M 在抛物线 C：x 22py（p0）上，圆 M 过原点且与 C 的准线相切（） 求 C 的方程；（） 点 Q（ 0，t） （t0） ，点 P（与 Q 不重合）在直线 l：yt 上运动，过点 P作 C 的两条切线，切点分别为 A，B 求证：AQO BQO（其中 O 为坐标原点） 【分
33、析】 （I）解法一：可得 ，a 2+b29，即 ，又 a22pb，所以，解得 p4，即可第 18 页（共 22 页）解法二：可得圆 M 必过抛物线的焦点 ，又圆 M 过原点，得 ，又圆的半径为 3，得 ，又 a22pb，得 p4即可；解法三：由圆 M 与抛物线准线相切，得 ，且圆过 又圆过原点，故 ，可得 ，解得 p4，即可（）：设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） ，P（m，t） ，切线 PA 方程为：yy 1可得t ，即 x1，x 2 为方程 x22mx8t0 的两根，所以x1+x22m，x 1x28t，因为 Q（0，t） ，所以 kAQ+kBQ 即可得AQO BQO【解答】解
34、：（I）解法一：因为圆 M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为 3，故 ， （1 分）因为圆过原点，所以 a2+b29，所以 ， （2 分）又 a22pb，所以 ， （3 分）因为 p0，所以 p4，所以抛物线 C 方程 x28y （4 分）解法二：因为圆 M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆 M 必过抛物线的焦点 ， （1 分）又圆 M 过原点，所以 ， （ 2 分）又圆的半径为 3，所以 ，又 a22pb， （3 分）又 ，得 p216（p0） ，所以 p4所以抛物线 C 方程 x28y （4 分）解法三：因为圆 M 与抛物线准线相切，所以 ， （1
35、分）第 19 页（共 22 页）且圆过 又圆过原点，故 ，可得 ， （3 分）解得 p4，所以抛物线 C 方程 x28y （4 分）（） 解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，P（m，t） ，C 方程为 ，所以 y ， （5 分）抛物线在点 A 处的切线的斜率 k ，所以切线 PA 方程为：yy 1即 ，化简得 y （6 分）又因过点 P（m，t） ，故可得t （7 分）即 x122mx 18t，同理可得 x222mx 28t （8 分）所以 x1，x 2 为方程 x22mx 8t0 的两根，所以 x1+x2 2m，x 1x28t， （9 分）因为 Q（0，t）
36、 ，所以 kAQ+kBQ 所以AQO BQO （12 分）【点评】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题21已知函数 f（x ）e xax 21（xR） （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为 e，求 a 的值；（2）若 ，求证：当 x0 时，f （x）的图象恒在 x 轴上方【分析】 （1）求出函数的导数，利用导函数的值，求解 a 即可（2）f'（x ）e x2ax，令 h（x）f'（x ） ，h'（x）e x2a，通过（）当时（）当 时，判断函数的单调性求解函数的最值推出结果即可【解答】解：（1）
37、函数 f（x）e xax 21（xR） 可得 f'（x）e x2ax，曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为 e，f'（1）e 2ae，a0第 20 页（共 22 页）（2）f'（x ）e x2ax，令 h（x）f' （x） ，h' （x）e x2a，（）当 时，h'（x）0，f '（x）单调递增，f' （x）f '（0）1，f（x）单调递增，f（x） f（0）0，满足题意（）当 时，h'（x）e x2a0，解得 xln2a当 x（0，ln2a） ，h'（x ） 0，f '（x）单调递减；当 x
38、（ln2a，+） ，h'（x）0，f '（x）单调递增，此时 ， ，1ln2a0，即 f'（x） min0，f（x）单调递增， f（x ） f（0）0，满足题意综上可得：当 且 x0 时，f （x）的图象恒在 x 轴上方【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，分类讨论思想的应用选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos ，曲线 C1、C 2 的公共点为 A、 B（）求直线 AB 的斜率；（）若点 C、D 分别
39、为曲线 C1、C 2 上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形 ACBD的面积【分析】 （I）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，利用平方关系消去参数化为普通方程，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos，即 24cos ，利用互化公式可得普通方程上述两个方程相减可得直线 AB 的方程及其斜率（）当且仅当直线 CD 经过两个圆的圆心时，线段 CD 取得最大值，此时|CD| 3+ +3直线 C1C2 的方程为：y x+1，可得 C1C2AB利用弦长公式可得|AB|，当| CD|取最大值时，四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD|【解答】解：（I）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，消
40、去参数化为：第 21 页（共 22 页）x2+（y1） 2 1曲线 C2 的极坐标方程为 4cos，即 24cos ，化为普通方程：x 2+y24x上述两个方程相减可得：2xy0则直线 AB 的斜率为 2（）当且仅当直线 CD 经过两个圆的圆心时，线段 CD 取得最大值，此时|CD| 3+ +3|AB|2 直线 C1C2 的方程为：y x+1，可得 C1C2AB当|CD|取最大值时，四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD| （3+ ）2+【点评】本题考查了直线与圆的参数方程极坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已
41、知函数 f（x ）|2x +1| xm |（mR） （1）当 m1 时，解不等式 f（x）2；（2）若关于 x 的不等式 f（x）|x 3|的解集包含3 ，4，求 m 的取值范围【分析】 （1）通过 x 讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可（2）题目转化为当 x3，4时，|2x +1|xm|x 3|恒成立，即|xm|x+4，转化求解即可【解答】解：（1）当 时，f（x ）2x1+（x1）x2，由 f（x）2 解得 x4，综合得 x4；当 时，f（x ）（2x+1）+（x1）3x，由 f（x）2 解得 ，综合得 ；当 x1 时，f（ x）（2x+1）（x1）x+2，由 f（x）2 解得 x0，综合得 x1所以 f（x）2 的解集是 （2）f（x） |2x+1|xm |x3| 的解集包含3 ，4，第 22 页（共 22 页）当 x3，4时，|2x +1|xm|x 3|恒成立原式可变为 2x+1|x m|x3，即|xm|x+4，x4xmx+4 即4m2x+4 在 x3，4上恒成立，显然当 x3 时，2x +4 取得最小值 10，即 m 的取值范围是4，10【点评】本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力