1、2018-2019 学年广东省广州市番禺区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大題共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分，在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出来，填入下表中相对应的表格.）1 （2 分）直线 y2x 6 与 x 轴的交点坐标是（ ）A （0，3） B （3，0） C （0，6） D （3，0）2 （2 分）下列各式计算正确的是（ ）A 2 B （ ） （ ）3C 2 D 3 （2 分）如图，ACAD，BCBD ，则正确的结论是（ ）AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 ABCAB 与 CD 互相垂直平分 D
2、四边形 ABCD 是菱形4 （2 分）一组数据 5，2，3，5，4，5 的众数是（ ）A3 B4 C5 D85 （2 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简|a|+ 的结果为（ ）A1 B1 C12a D2a16 （2 分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C 、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（ ）第 2 页（共 25 页）A13 B26 C34 D477 （2 分）下列 4 个命题：对角线相等且互相平分的四边形是正方形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线
3、互相垂直的平行四边形是菱形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的是（ ）A B C D8 （2 分）点 P（x ，y ）在第一象限，且 x+y8，点 A 的坐标为（6，0） ，设OPA 的面积为 S当 S12 时，则点 P 的坐标为（ ）A （6，2） B （4，4） C （2，6） D （12，4）9 （2 分）如图，直线 yx +1 与直线 ymx +n 相交于点 P（a，2） ，则关于不等式x+1 mx+n 的解集是（ ）Ax1 B0x1 Cx1 Dx 110 （2 分）如图，E，F 分别是ABCD 的边 AD、BC 上的点，EF
4、6，DEF60，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到 EFCD，ED交 BC 于点 G，则GEF 的周长为（ ）A9 B12 C9 D18二、填空题（共 6 题，每题 2 分，共 12 分，直接把最简答案填写在题中的横线上.）11 （2 分）计算： 12 （2 分）如图，在ABCD 中，若A63，则D 第 3 页（共 25 页）13 （2 分）将一次函数 y2x3 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度，所得直线的解析式为 14 （2 分）如图，等腰ABC 中，ABAC ，AD 是底边上的高，
5、若AB 5cm，BC6cm ，则 AD cm15 （2 分）等式 成立的条件是 16 （2 分）正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A 2，A 3，和点 C1，C 2，C 3，分别在直线 ykx+b（k0）和 x 轴上，已知点B1（1， 1） ，B 2（3，2） ，则 Bn 的坐标是 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （6 分）计算：（1）2 + ；（2） （3+ ）（ 5）18 （6 分）如图
6、，在ABC 中，D、E、F 分别为边 AB、BC、CA 的中点（1）求证：四边形 DECF 是平行四边形（2）当 AC、BC 满足何条件时，四边形 DECF 为菱形？19 （7 分）如图，在四边形 ABCD 中，第 4 页（共 25 页）AB4，AD 3，BC12，CDx，x 0，ABAD （1）求 BD 的长；（2）当 x 为何值时BDC 为直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形 ABCD 的面积20 （7 分）甲乙两人参加某项体育训练，近期五次测试成绩得分情况如图所示：（1）分别求出两人得分的平均数；（2）谁的方差较大？（3）根据图表和（1）的计算，请你对甲、乙两人的训练成绩作出评价
7、21 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BFDE，AE BD，CFBD，垂足分别为 E、 F（1）求证：ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AOCO22 （8 分）如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，D 为AB 边上一点，求证：第 5 页（共 25 页）（1）ACEBCD；（2）AD 2+DB2DE 223 （8 分）一次函数 ykx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D ，P 为 OB 上一动点，求 PC+PD的最小
8、值，并求取得最小值时直线 PC 与直线 AB 的交点坐标24 （9 分）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格 40 元/张，另一类为团体门票（一次性购买门票 10 张及以上） ，每张门票价格在散客价格基础上打 8 折某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游 x 人，购买门票需要 y 元（1）如果每人分别买票，求 y 与 x 之间的函数解析式（2）如果买团体票，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案25 （9 分）在ABCD 中，ADC 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 于点 F（1）如图 ，证明： BEBF（2）如
9、图 ，若 ADC90，O 为 AC 的中点，G 为 EF 的中点，试探究 OG 与 AC的位置关系，并说明理由（3）如图 ，若 ADC60，过点 E 作 DC 的平行线，并在其上取一点 K（与点 F位于直线 BC 的同侧） ，使 EKBF，连接 CK，H 为 CK 的中点，试探究线段 OH 与 HA之间的数量关系，并对结论给予证明第 6 页（共 25 页）第 7 页（共 25 页）2018-2019 学年广东省广州市番禺区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大題共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分，在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出来，填入
10、下表中相对应的表格.）1 （2 分）直线 y2x 6 与 x 轴的交点坐标是（ ）A （0，3） B （3，0） C （0，6） D （3，0）【分析】根据 x 轴上的任何一点其纵坐标都为 0 可知，只需把 y0 代入 y2x6，即可解决问题【解答】解：当 y0 时，x3直线 y2x6 与 x 轴交点坐标为（ 3，0） ，故选：B【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与 x 轴的交点的纵坐标为 02 （2 分）下列各式计算正确的是（ ）A 2 B （ ） （ ）3C 2 D 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题【解答】解：
11、 ，故选项 A 错误；（ ） （ ）523，故选项 B 正确； ，故选项 C 错误； ，故选项 D 错误；故选：B【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法3 （2 分）如图，ACAD，BCBD ，则正确的结论是（ ）第 8 页（共 25 页）AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 ABCAB 与 CD 互相垂直平分 D四边形 ABCD 是菱形【分析】根据线段垂直平分线的判定定理即可得到结论【解答】解：ACAD，BCBD ，AB 垂直平分 CD，故选：A【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键
12、4 （2 分）一组数据 5，2，3，5，4，5 的众数是（ ）A3 B4 C5 D8【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数【解答】解：这组数据中，5 出现的次数最多，为 3 次，故众数为 5故选：C【点评】本题考查了众数的概念；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数5 （2 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简|a|+ 的结果为（ ）A1 B1 C12a D2a1【分析】根据 a 在数轴上所在的位置判断出其符号及绝对值的大小，再化简二次根式即可【解答】解：由数轴可得，0a1，则 a10，a0，原式|a|
13、+|a1| aa+11故选：A第 9 页（共 25 页）【点评】本题考查了绝对值和二次根式的化简我们知道，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身； （a0） ， （a0） 6 （2 分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C 、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（ ）A13 B26 C34 D47【分析】根据勾股定理分别求出 F、G 的面积，再根据勾股定理计算即可【解答】解：由勾股定理得，正方形 F 的面积正方形 A 的面积+正方形 B 的面积3 2+5234，同理，正方形 G 的面
14、积正方形 C 的面积+正方形 D 的面积2 2+3213，正方形 E 的面积正方形 F 的面积+正方形 G 的面积47，故选：D【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c 27 （2 分）下列 4 个命题：对角线相等且互相平分的四边形是正方形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形第 10 页（共 25 页）其中正确的是（ ）A B C D【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理逐一判定后即可得到正确的选项【解答】解：对角线相等且互相平
15、分的四边形是矩形，故错误；有三个角是直角的四边形是矩形，正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，正确的有 ，故选：A【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大8 （2 分）点 P（x ，y ）在第一象限，且 x+y8，点 A 的坐标为（6，0） ，设OPA 的面积为 S当 S12 时，则点 P 的坐标为（ ）A （6，2） B （4，4） C （2，6） D （12，4）【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出 S 关于 x 的函数关系式，把 S12
16、代入函数关系即可得出 x 的值，进而得出 y 的值【解答】解：A 和 P 点的坐标分别是（6，0） 、 （x，y ） ，S 6y3y x+y8，y8xS3（8x）243x 当 S12 时，3x+2412，解得 x4x+y8，y844，即 P（4，4） ；故选：B第 11 页（共 25 页）【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键9 （2 分）如图，直线 yx +1 与直线 ymx +n 相交于点 P（a，2） ，则关于不等式x+1 mx+n 的解集是（ ）Ax1 B0x1 Cx1 Dx 1【分析】首先将已知点的坐标代入直线 yx+1 求得
17、a 的值，然后观察函数图象得到在点 P 的右边，直线 yx +1 都在直线 ymx +n 的上方，据此求解【解答】解：直线 l1：y x+1 与直线 l2：y mx +n 相交于点 P（a，2） ，a+12，解得：a1，观察图象知：关于 x 的不等式 x+1mx+n 的解集为 x1，故选：C【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案10 （2 分）如图，E，F 分别是ABCD 的边 AD、BC 上的点，EF6，DEF60，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到 EFCD，ED交 BC 于点 G，则GEF 的周长为（ ）第
18、12 页（共 25 页）A9 B12 C9 D18【分析】由折叠得：DEFD EF60，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出GEF 是等边三角形，已知边长求出周长即可【解答】解：由折叠得：DEFD EF60，ABCD，ADBC，DEFEFG60，GEF 是等边三角形，EFFG GE6，GEF 的周长为 6318，故选：D【点评】考查平行四边形的性质、轴对称的性质和等边三角形的性质等知识，得到GEF 是等边三角形，是解决问题的关键二、填空题（共 6 题，每题 2 分，共 12 分，直接把最简答案填写在题中的横线上.）11 （2 分）计算： 2 【分析】根据二次根式的除法法则求解【解答】
19、解： 2故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解答本题的关键12 （2 分）如图，在ABCD 中，若A63，则D 117 【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出D 的度数【解答】解：ABCD 是平行四边形，ABCD，D180A117 第 13 页（共 25 页）故答案为：117【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补13 （2 分）将一次函数 y2x3 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度，所得直线的解析式为 y 2x 【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可
20、得出答案【解答】解：一次函数 y2x3 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度，所得直线的解析式为 y2x3+3 2x 即 y2x故答案为：y2x 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键14 （2 分）如图，等腰ABC 中，ABAC ，AD 是底边上的高，若AB 5cm，BC6cm ，则 AD 4 cm【分析】先根据等腰三角形的性质求出 BD 的长，再根据勾股定理解答即可【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD BC 63cm，在直角ABD 中，由勾股定理得：AB 2BD 2+AD2，所以，AD 4cm 故答案为：4【点评】
21、本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得15 （2 分）等式 成立的条件是 1a3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，a+10，3a0，第 14 页（共 25 页）解得，1a3，故答案为：1a3【点评】本题考查的是二次根式的除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为 0 是解题的关键16 （2 分）正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A 2，A 3，和点 C1，C 2，C 3，分别在直线 ykx+b（k0）和 x 轴
22、上，已知点B1（1， 1） ，B 2（3，2） ，则 Bn 的坐标是 （2 n1，2 n1 ） 【分析】由图和条件可知 A1（0，1）A 2（1，2）A 3（3，4） ，由此可以求出直线为yx+1，Bn 的横坐标为 An+1 的横坐标，纵坐标为 An 的纵坐标，又 An 的横坐标数列为An2 n1 1，所以纵坐标为（2 n1 ） ，然后就可以求出 Bn 的坐标为A（n+1）的横坐标，An 的纵坐标【解答】解：点 B1（1，1） ，B 2（3，2） ，A 1（0，1）A 2（1，2）A 3（3，4） ，直线 ykx+b（k0）为 yx +1，Bn 的横坐标为 An+1 的横坐标，纵坐标为 An
23、的纵坐标又 An 的横坐标数列为 An2 n1 1，所以纵坐标为 2n1 ，Bn 的坐标为A （n+1 ）的横坐标， An 的纵坐标 （2 n1，2 n1 ） 故答案为：（2 n1，2 n1 ） 【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论三、解答题（本大题共 9 小题，满分 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （6 分）计算：第 15 页（共 25 页）（1）2 + ；（2） （3+ ）
24、（ 5）【分析】 （1）根据二次根式的加减法可以解答本题；（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题【解答】解：（1）2 +3 ；（2） （3+ ）（ 5）132 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法18 （6 分）如图，在ABC 中，D、E、F 分别为边 AB、BC、CA 的中点（1）求证：四边形 DECF 是平行四边形（2）当 AC、BC 满足何条件时，四边形 DECF 为菱形？【分析】 （1）先由中位线定理得到 DFBC，DF BCEC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形 DECF 是平行四边形；（2）当 ACBC 时，
25、四边形 DECF 为菱形，由中点的性质可得 CECF，即可证平行四边形 DECF 为菱形【解答】证明：（1）D、 F 分别为边 AB、CA 的中点DFBC，DF BC，E 为边 BC 的中点EC BC，DFEC，且 DFEC四边形 DECF 是平行四边形，第 16 页（共 25 页）（2）当 ACBC 时，四边形 DECF 为菱形；理由如下，E、F 分别为边 BC、CA 的中点，EC BC，CF AC，且 ACBCECCF，平行四边形 DECF 是菱形【点评】主要考查了平行四边形的判定及性质和三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定和性质定理以及三角形中位线定理是解题的关键19 （7 分）如图，
26、在四边形 ABCD 中，AB 4，AD3，BC12，CDx，x 0，ABAD （1）求 BD 的长；（2）当 x 为何值时BDC 为直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形 ABCD 的面积【分析】 （1）在直角ABD 中，利用勾股定理求得 BD 的长度；（2）利用勾股定理的逆定理求得 x 的值；（3）四边形 ABCD 的面积由两个直角三角形组成，利用三角形的面积公式解答【解答】解：（1）如图，AB4，AD3，ABADBD 5，即 BD 的长度是 5；（2）在直角BCD 中，BD 5，BC12当 CD 为斜边时，由勾股定理知：CD 13当 CD、BD 为直角边时，由勾股定理知：BC ，即
27、12 ，则CD 综上所述，CD 的长度是 13 或 即 x 为 13 或 时BDC 为直角三角形；第 17 页（共 25 页）（3） 当 CD 为斜边时，S 四边形 ABCD 的面积 S ABD +S BCD ABAD+ BDBC+ 51236当 CD、BD 为直角边时，S 四边形 ABCD 的面积 S ABD +SBCD ABAD+ BDCD+ 5 6+ 综上所述，四边形 ABCD 的面积是 36 或 6+ 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出BCD 的形状是解答此题的关键20 （7 分）甲乙两人参加某项体育训练，近期五次测试成绩得分情况如图所示：
28、（1）分别求出两人得分的平均数；（2）谁的方差较大？（3）根据图表和（1）的计算，请你对甲、乙两人的训练成绩作出评价【分析】 （1）从折线统计图中获取甲、乙每次成绩的原始数据，按平均数的计算方法进行计算即可；（2）按房产的计算方法进行计算后，再做比较；（3）综合考虑，发展趋势上分析得出答案第 18 页（共 25 页）【解答】解：（1） 甲 （10+13+12+14+16）13， 乙 （13+14+12+12+14 ）13；答：甲、乙的平均数都是 13（2） （1013） 2+（1313） 2+（1213） 2+（1413） 2+（1613） 24， （1313） 2+（1413） 2+（121
29、3） 2+（1213） 2+（1413） 20.8，答：甲的方差大（3）甲、乙的平均数相同，乙的方差较小，乙的成绩较稳定，但甲的成绩从折线统计图中可以看出成绩一直呈上升趋势，而且增长较快，从整体综合考虑，甲的成绩较好【点评】考查折线统计图、平均数、方差的计算方法以及通过图表及计算的统计量对数据做出评判做出决策21 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BFDE，AE BD，CFBD，垂足分别为 E、 F（1）求证：ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AOCO【分析】 （1）根据 ABCD，BEDF，利用 HL 即可证明（2）只要证明四边形 ABCD 是平行四
30、边形即可解决问题【解答】证明：（1）BFDE，BFEFDEEF，即 BEDFAEBD ，CF BD，AEB CFD90，ABCD，BE DF，RtABERtCDF（HL） （2）ABECDF，第 19 页（共 25 页）ABE CDF，ABCD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，AOCO【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题22 （8 分）如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD 2+DB
31、2DE 2【分析】 （1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明（2）只要证明AED 是直角三角形即可解决问题【解答】证明：（1）ACB 和ECD 都是等腰直角三角形ACBECD90，ACBC ECDCECADCB，在ACE 和BCD 中，ACEBCD （SAS） 第 20 页（共 25 页）（2）ACEBCD，AEDBEACB45CAB，EAD90，DE 2AE 2+AD2AD 2+DB2【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型23 （8 分）一次函数 y
32、kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D ，P 为 OB 上一动点，求 PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线 PC 与直线 AB 的交点坐标【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入 ykx+b，即可求出解析式；（2）设点 C 关于点 O 的对称点为 C，连接 CD 交 OB 于 P，则PCPC，PC+PDPC+PDCD ，即 PC+PD 的最小值是 CD连接 CD，在RtDCC中，由勾股定理求得 CD 的值，由 OP 是CCD 的中位线而求得点 P 的坐标【解答】解：（1）将点
33、 A、B 的坐标代入 ykx+b 得：02k+b，4b，k2，b4，解析式为：y2x +4；第 21 页（共 25 页）（2）设点 C 关于点 O 的对称点为 C，连接 CD 交 OB 于 P，连接 PC，则PCPC，PC+PDPC+ PDC D，即 PC+PD 的最小值是 CD连接 CD，在 RtDCC中，CD 2 ，即 PC+PD 的最小值为 2，OA、AB 的中点分别为 C、D ，CD 是OBA 的中位线，OPCD，CD OB2，COOC ，OP 是CCD 的中位线，OP CD1，点 P 的坐标为（0，1） 【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，及两点之间线段最短的定理，熟
34、练掌握待定系数是解析的关键24 （9 分）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格 40 元/张，另一类为团体门票（一次性购买门票 10 张及以上） ，每张门票价格在散客价格基础上打 8 折某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游 x 人，购买门票需要 y 元（1）如果每人分别买票，求 y 与 x 之间的函数解析式（2）如果买团体票，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案【分析】 （1）买散客门票价格为 40 元/张，利用票价乘人数即可，即 y40x；（2）买团体票，需要一次购买门票 10 张及以上，即 x10，利用打折后的票价乘
35、人数即可；（3）根据（1） （2）分情况探讨得出答案即可【解答】解：（1）散客门票：y40x；第 22 页（共 25 页）（2）团体票：y400.8x 32x （x10） ；（3）因为 4083210，所以当人数为 8 人，x8 时，两种购票方案相同；当人数少于 8 人，x8 时，按散客门票购票比较省钱；当人数多于 8 人，x8 时，按团体票购票比较省钱【点评】此题考查一次函数的实际运用，根据数字特点找出临界点是解决问题的关键25 （9 分）在ABCD 中，ADC 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 于点 F（1）如图 ，证明： BEBF（2）如图 ，若 ADC90，O 为 AC 的
36、中点，G 为 EF 的中点，试探究 OG 与 AC的位置关系，并说明理由（3）如图 ，若 ADC60，过点 E 作 DC 的平行线，并在其上取一点 K（与点 F位于直线 BC 的同侧） ，使 EKBF，连接 CK，H 为 CK 的中点，试探究线段 OH 与 HA之间的数量关系，并对结论给予证明【分析】 （1）只要证明EBFE 即可（2）如图 中，结论： GO AC证明ABGCEG（SAS） ，可得 GAGC，即可解决问题（3）如图 中，连接 AK，BK ，FK首先证明四边形 BFKE 是菱形，再证明ABKCEK（SAS） ，推出 AKCK，AKB CKB ，推出 AKCBKE60，推出ACK
37、是等边三角形，即可解决问题【解答】 （1）证明：如图中，第 23 页（共 25 页）四边形 ABCD 是平行四边形，ADEC，AB CD ，EADF ，EFB EDC，ED 平分ADC，ADFEDC，EEFB，BEBF（2）解：如图中，结论：GOAC理由：连接 BG，AG四边形 ABCD 是平行四边形，ADC90，四边形 ABCD 是矩形，ABCABE90，由（1）可知：BEBF ，EBF 90，EGFG，E45，GBF GBE45，BG GEGF ，DCE90，EEDC45，DCCEBA，ABGE45，AB EC，BGEG ，ABGCEG（SAS ） ，GAGC，AOOC，GOAC第 24
38、页（共 25 页）（3）解：如图中，连接 AK，BK ，FKBFEK，BFEK，四边形 BFKE 是平行四边形，BFBE，四边形 BFKE 是菱形，四边形 ABCD 是平行四边形，ADCABC60，DCBDAB120，EBF 120，KBEKBF60，BFBEFKEK，KBE，KBF 都是等边三角形，ABKCEK60，FEBFEK 30，CDECED30，CDCEBA，BKEK，ABKCEK（SAS） ，AKCK， AKBCKB，AKC BKE60，ACK 是等边三角形，OAOC，CHHK，AK2OH，AHCK ，AHAKcos30 AK，AH OH【点评】此题属于四边形综合题，考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平第 25 页（共 25 页）行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键