1、2019 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1 （3 分）已知集合 A1 ，0，1，2 ，Bx|log 2x1，则 AB（ ）A1 ，2 B （1，2 C0 ，1，2 D （0，22 （3 分）已知复数 z 满足（2+i）z5（i 为虚数单位） ，则 z（ ）A2i B12i C2i D1+2i3 （3 分）下列命题中的真命题是（ ）A若 0，则向量 与 的夹角为钝角B若 am2bm 2，则 abC若命题“pq 是真命题” ，则命题“pq 是真命题”D命题“ x0R，2 ”的否定是“ xR，2 xx 2”4 （3 分）已知 tan2， （0，）
2、 ，则 （ ）A B C D5 （3 分）已知函数 f（x ）xlnx+a 在 xe 处的切线经过原点，则实数 f（1）（ ）Ae B C1 D06 （3 分）已知a n为等比数列，a 5+a82，a 6a78，则 a2+a11（ ）A5 B7 C7 D57 （3 分）如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）A12 B15 C D第 2 页（共 26 页）8 （3 分）在平面区域 ，内任取一点 P（x，y） ，则存在 R，使得点 P 的坐标（x ，y ）满足（x2）cos +ysin 0 的概率为（ &n
3、bsp;）A1 B C D19 （3 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn（1） nan2n6+ ， （nN*）则S100（ ）A196 B200 C194+ D198+10 （3 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，斜率为 2 直线过点 F1 双曲线 C 第二象限相交于点 P 若|OP| |OF 2，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D11 （3 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 2f（x）f（x）0，且 f（ln 2）2，则f（lnx） 0 的解集是（ ）A （0，2） B （0， ）
4、 C （0，e） D （0， ）12 （3 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ）满足 f（ x）f（ +x） ，f（ x）f （x） ，且在（0， ）上是单调函数，则 的值可能是（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题13 （3 分）抛物线 yx 2 的准线方程是 14 （3 分）已知（ ） n 的展开式的所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为 15 （3 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 4，点 Q 在棱 AA1 上，且AQ3A 1Q，EFGC 1 是面 BCC1B
5、1 内的正方形，且 C1E1，P 是面 BCC1B1 内的动点，且 P 到平面 CDD1C1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 第 3 页（共 26 页）16 （3 分）已知函数 f（x ）lnxb，g（x）ax+（1a） ，其中 a，bR，若 f（x）g（x ）恒成立，则当 取最小值时，ab 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA+（ca）sinCbsinB，点 D 是 AC 的中点，DEAC，交 AB 于点 E，且
6、 BC2，DE （1）求 B；（2）求ABC 的面积18如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADCD，面 CDEF是菱形，DCF60，CD2AD2AB，AE AD（）证明：CEAF；（）已知点 P 在线段 BC 上，且 CPCB ，若二面角 ADFP 的大小为 60，求实数 的值19为方便市民出行，倡导低碳出行某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘第 4 页（共 26 页）车该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：天）表示活动推出的天次，y（单
7、位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表 1 和散点图表 1：x 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天y 7 12 20 33 54 90 148（1）由散点图分析后，可用 ye bx+a 作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次 y 关于活动推出天次 x 的回归方程，根据表 2 的数据，求此回归方程，并预报第 8天使用扫码支付的人次（精确到整数） 表 2：x y z4 52 3.5 140 2069 112表中 zlny ， （2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表 3表 3：支付方式 现
8、金 乘车卡 扫码频率 10% 60% 30%优惠方式 无优惠 按 7 折支付 随机优惠（见下面统计结果）统计结果显示，扫码支付中享受 5 折支付的频率为 ，享受 7 折支付的频率为 ，享受9 折支付的频率为 已知该线路公交车票价为 1 元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量 为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元） ，求 的分布列和期望参考公式：对于一组数据（u i， i） ， （u 2， 2） ， （u n， n） ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 参考数据：第 5 页（共 26 页）e5.3200.33，e 5.5244.69，e 5.7298.87
9、20已知椭圆 C： + 1（ab0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，A，B 是其左右顶点，点 P 是椭圆 C 上任一点，且PF 1F2 的周长为 6，若PF 1F2 面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若过点 F2 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 M，N 两个不同点，证明：直线 AM 必与 BN 的交点在一条定直线上21已知函数 f（x ）lnx ax 2+（2a）x，aR（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）当 a ，时，若对于任意 x1，x 2（1，+） （x 1x 2） ，都存在 x0（x 1，x 2） ，使得 f'（x 0） ，证明： x 022在平面直
10、角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C1 方程中的参数是 ，且 C1 与 C2 有且只有一个公共点，求 C1 的普通方程；（2）已知点 A（0，1） ，若曲线 C1 方程中的参数是 t，0 ，且 C1 与 C2 相交于P，Q 两个不同点，求 的最大值23已知函数 f（x ）|2x 1|+2|x+1|（1）求不等式 f（x ）5 的解集；（2）若存在实数 x0，使得 f（x 0）5+mm 2 成立的 m 的最大值为 M，且实数 a，b 满足 a3+b3M，证明：0a+ b2第
11、6 页（共 26 页）2019 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1 （3 分）已知集合 A1 ，0，1，2 ，Bx|log 2x1，则 AB（ ）A1 ，2 B （1，2 C0 ，1，2 D （0，2【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx|0 x 2；AB1，2故选：A【点评】考查列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2 （3 分）已知复数 z 满足（2+i）z5（i 为虚数单位） ，则 z（ ）A2i B12i C2i D1+2i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答
12、】解：由（2+i）z 5，得 z 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （3 分）下列命题中的真命题是（ ）A若 0，则向量 与 的夹角为钝角B若 am2bm 2，则 abC若命题“pq 是真命题” ，则命题“pq 是真命题”D命题“ x0R，2 ”的否定是“ xR，2 xx 2”【分析】对于选项 A：当 0，则向量 与 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B：要注意 am2bm 2 成立时，m0 这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项 C：命题 “pq 是真命题”p，q 中至少有一个为真命题，不能确定 pq 是真命题；对于选项 D：
13、含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题【解答】解：选项 A：若 0，则向量 与 的夹角为钝角或平角，所以选项 A 是假命题；第 7 页（共 26 页）选项 B：am 2bm 2，则 ab 并且 m0 或 m0，a，bR，所以选项 B 是假命题；选项 C：命题“pq 是真命题 ”p，q 中至少有一个为真命题，只有当 p，q 都是真命题时，pq 才是真命题，所以选项 C 是假命题；选项 D；根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则；“x0R，2 ”的否定是“x R，2 xx 2”是真命题；故选：D【点评】本题考查了命题真假的判断，涉
14、及向量的数量积，不等式的基本性质，复合命题的真假，命题的否定，属于基础题4 （3 分）已知 tan2， （0，） ，则 （ ）A B C D【分析】由诱导公式及二倍角公式化简可得 2cos，由 2，结合同角三角函数基本关系式得 cos，即可求解【解答】解： 2cos，又 tan ，sin 2+cos21，解得：cos ，又 （0， ） ， tan0，故 （0， ） ，故 cos ，所以： 故选：A【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题5 （3 分）已知函数 f（x ）xlnx+a 在 xe 处的切线经过原点，则实数 f（1）（
15、）第 8 页（共 26 页）Ae B C1 D0【分析】先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解【解答】解：函数 f（x ）xlnx+a，f（e ）e+af（x）lnx+1 ，f（e ） 2，切线方程为 ye a2（x e） ，故 0ea2（0e） ，解 ae则实数 f（1）e故选：A【点评】本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题6 （3 分）已知a n为等比数列，a 5+a82，a 6a78，则 a2+a11（ ）A5 B7 C7 D5【分析】通过已知条件求出 a5，a 8，求出公比，求出 a7，然后求解 a2+a11 的值【解答】解：a 5+a82，
16、a 6a78，a 5a88，解得 a54，a 82，或 a52，a 84当 a54，a 82，q 3 ，a2+a11a 5q3 +a8q34 2 7，当 a52，a 84q 32a2+a11a 5q3 +a8q32（ ）+4 （2）7故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，考查计算能力7 （3 分）如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 26 页）A12 B15 C D【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为 5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积【解答】解：由三视图可以判定出这是一个底面为
17、四边形的四棱锥，其高 h 为 5底面四边形可以分割成二个三角形，面积 S 44+ 10，体积 V ，故选：D【点评】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积8 （3 分）在平面区域 ，内任取一点 P（x，y） ，则存在 R，使得点 P 的坐标（x ，y ）满足（x2）cos +ysin 0 的概率为（ ）A1 B C D1【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数为可行域内的点与单位圆的交点，从而求解概率【解答】解：由题意可知：单位圆与直线 f（m，n）（x2）m+yn 存在交点， ，即（x2） 2+y22，结合图形，可知：P第 10 页（共 26 页）1 故选：A【点评】本题
18、考查线性规划的简单应用，几何概型的简单应用，考查计算能力9 （3 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn（1） nan2n6+ ， （nN*）则S100（ ）A196 B200 C194+ D198+【分析】推导出 anS nS n1 （1） nan（1） n1 an1 +2，当 n 为奇数时，2an+an1 2 ，当 n 为偶数时，a n1 2，从而a1+a2a 3+a4a 5+a6a 99+a1004，由此能求出 S100【解答】解：数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn（1） nan2n6+ ， （nN*） ，S n（1） nan+2n6+ ， （n N*）
19、，anS nS n1 （1） nan+2n6+ （1） n1 an1 （2n2）+6 （1） nan（1） n1 an1 +2，当 n 为奇数时，2a n+an1 2 ，当 n 为偶数时，a n1 2，a 1 2，a 3 ， ， ，第 11 页（共 26 页）6 ，a46 ， ，a 1006 ，a 1+a2a 3+a4a 5+a6 a99+a1004，S 100504200故选：B【点评】本题考查数列的前 100 项和的求法，考查数列的递推公式、分组求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题10 （3 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，斜率为
20、 2 直线过点 F1 双曲线 C 第二象限相交于点 P 若|OP| |OF 2，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D【分析】由题意可得三角形 PF1F2 为直角三角形，且 PF1PF 2，设|F1P|m ，| PF2|n，运用双曲线的定义和斜率的定义、勾股定理和离心率公式，可得所求值【解答】解：斜率为 2 直线过点 F1 双曲线 C 第二象限相交于点 P，| OP|OF 2|c，可得三角形 PF1F2 为直角三角形，且 PF1PF 2，设|F 1P| m，| PF2|n，可得 nm 2a，又 2，解得 m2a，n4 a，又 m2+n24c 2，即 4a2+16a24c 2
21、，即 c a，则 e 故选：B第 12 页（共 26 页）【点评】本题考查双曲线定义、方程和性质，考查直角三角形的性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题11 （3 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 2f（x）f（x）0，且 f（ln 2）2，则f（lnx） 0 的解集是（ ）A （0，2） B （0， ） C （0，e） D （0， ）【分析】构造函数 g（x） ，xR，g（ln2） 可得 f（lnx）0g（t）g（ln2） ，x0利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：构造函数 g（x） ，xR，g（ln2） f（lnx ） 0（x0） ，利用 lnxt R，不
22、等式化为： g（t）g（ln2） ，xRg（x） 0，函数 g（x）在 R 上单调递减，由 g（t）g（ln2） tln2lnxln2，解得 0x2故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题12 （3 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ）满足 f（ x）f（ +x） ，f（ x）f （x） ，且在（0， ）上是单调函数，则 的值可能是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】根据条件判断 f（x ）的图象关于点（ ，0）对称，同时关于 x 对称，第 13 页（共 26 页）结合函数的单调性分别进行讨论即可【解
23、答】解：函数 f（x ）sin（x+） （0，| | ）满足 f（ x）f（+x） ，f（x）的图象关于点（ ，0）对称，f（ x ）f（x ） ， 函数关于 对称，f（x）在（0 ， ）上是单调函数， ，8若对称中心（ ，0）和对称轴 x 得距离 d （ ） ，若 d ，即 T2，即 T 2，则 1 ，此时 f（x）sin（x+） ，x 是对称轴，则 +k + ，得 k + ，| ，k 1 时， ，此时 f（x）sin （x ） ，满足条件，若 d ，即 T ，即 T ，则 3 此时 f（x）sin（3x+） ，x 是对称轴，则 3+k + ，得 k + ，| ，k 1时， ，此时 f（x）
24、sin （3x+ ） ，当 0x 时， 3x + ，此时函数不单调，不满足条件若 d ，即 T ，即 T ，则 5 此时 f（x）sin（5x+） ，x 是对称轴，则 5+k + ，得 k + ，| ，k 2时， ，此时 f（x）sin （5x ） ，当 0x 时， 5x ，此时函数单调递增，满足条件若 d T，即 T ，即 T ，则 7 此时 f（x）sin（7x+） ，第 14 页（共 26 页）x 是对称轴，则 7+k + ，得 k ，| ，k1 时， ，此时 f（x）sin （7x ） ，当 0x 时， 7x ，此时函数不单调，不满足条件，若 d T，即 T ，即 T ，则 98 不成
25、立，综上满足条件的 1 或 5，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的单调性，对称性和对称轴的应用，根据条件求出 和 的值是解决本题的关键二、填空题13 （3 分）抛物线 yx 2 的准线方程是 4y +10 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p1，再直接代入即可求出其准线方程【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x 2y，焦点在 y 轴上；所以：2p1，即 p ，所以： ，准线方程 y ，即 4y+10故答案为：4y+10【点评】本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置14 （3 分）已知（ ） n 的展开式的所有项的系数和为 64，则其
26、展开式中的常数项为 15 【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得：令 x1，则 2n64，所以 n6，则（） 6 的展开式的通项为 Tr+1 （ ） 6r （ ） r x ，令 ，解得 r4，即其展开式中的常数项为 15，得解【解答】解：令 x1，则 2n64，所以 n6，第 15 页（共 26 页）则（ ） 6 的展开式的通项为 Tr+1 （ ） 6r （ ） r x ，令 ，解得 r4，即其展开式中的常数项为 15，故答案为：15【点评】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，属中档题15 （3 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 4，点 Q 在棱 AA1 上，且AQ
27、3A 1Q，EFGC 1 是面 BCC1B1 内的正方形，且 C1E1，P 是面 BCC1B1 内的动点，且 P 到平面 CDD1C1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 【分析】过 Q 作 QMBB 1，连接 MP，则 QMMP，从而 PQ2QM 2+MP216+MP 2，当 MP 最小时，PQ 最小，利用空间直角坐标系，求出 MP2 的表达式，求出最小值，最后求出 PQ 长度的最小值【解答】解：以 D 为原点， DA，DC，DD所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：过 Q 作 QMBB，连接 MP，则 QMMP，PQ
28、 2QM 2+MP216+MP 2，当 MP 最小时，PQ 最小设 P（x ，4，z） ，F （1，4，3） ，M（4，4，3） ，N（0，4，z） ，0x4，0z4，P 到平面 CDD1C1 的距离等于线段 PF 的长，PNPF，x 2x1（z3） 2，MP2（x4）+（z 3） 2x 26x +15（x 3） 2+66 ，x3 时，MP 2 有最小值 6，PQ 2 的最小值为 22，线段 PQ 长度的最小值为 故答案为： 第 16 页（共 26 页）【点评】本题考查线段的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16 （3
29、分）已知函数 f（x ）lnxb，g（x）ax+（1a） ，其中 a，bR，若 f（x）g（x ）恒成立，则当 取最小值时，ab 1 【分析】令 h（x）f（x）g（x）lnxax b+ a1，则 h（x）0，结合导数，对a 进行分类讨论，求解函数的单调性，即可求解【解答】解：f（x ）lnx b，g（x）ax+（1a） ，若 f（x）g（ x）恒成立，令 h（x）f （x）g（x）lnxaxb+a1则当 a 0 时， h（x）0 恒成立，h（x）单调递增，h（x）0 不可能恒成立当 a 0 时，令 h（x）0 可得，0x ，h（x）0 可得，h（x）在 ，+ ）上单调递增， （0， ）上单调
30、递减，故当 x 时 h（x ） minh（）alnab20alna2b令 h（a）1 ，a0则 ，第 17 页（共 26 页）当 a 时， 0，h（a）单调递增，时， 0，h（a）单调递减，当 a 时，h（a）取得最小值 h（ ）1e 1e 即取最小值 1e，此时 a ，baae a 1 ，ab1故答案为：1【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系的应用，函数的单调性与最值求解的相互关系的转化，具有一定的综合性三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA+（ca）sinCbsinB，点 D
31、是 AC 的中点，DEAC，交 AB 于点 E，且 BC2，DE （1）求 B；（2）求ABC 的面积【分析】 （1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出 B（2）根据已知条件可以确定 AECE，并求出它们的表达式，在BCE 中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出 A，BE 的大小，最后求出面积【解答】解：（1）asinA+（c a）sinCbsin B，由 ，得：a 2+c2abb 2，由余弦定理得：cosB ，0B，B60：（2）连接 CE，如下图：D 是 AC 的中点，DEAC，AECE，第 18 页（共 26 页）CEAE ，在BCE 中，由正弦定理得 ， ，cosA
32、，0A180，A45，ACB75，BCEACBACE 30，BEC 90，CEAE ，AB AE+BE ，S ABC ，【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADCD，面 CDEF是菱形，DCF60，CD2AD2AB，AE AD（）证明：CEAF；（）已知点 P 在线段 BC 上，且 CPCB ，若二面角 ADFP 的大小为 60，求实数 的值【分析】 （）通过菱形的性质可以得到 CEDF，通过计算，由勾股定理的逆定理，可以得到 ADDE，已知 A
33、DCD，能推出 ADCE，也就能推出 CE面 ADF，最后第 19 页（共 26 页）证出 CEAF（）建立空间直角坐标系，分别求出平面 DFP 和平面 ADF 的法向量，利用空间向量数量积，求出 的值【解答】证明：（）CDEF 是菱形，DECD2AD，CE DF ，A ，AE 2AD 2+DE25AD 2，ADDE ，ADCD，AD平面 CDEF，ADCE ，CE面 ADF，CEAF （）由（I）知以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，建立如图的空间直角坐标系 Dxyz ，设 DA1，由题设可得 A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C （0，2，0） ，E（0，1， ） ，F（0，1，
34、） ， （，0） （，2，0） ，设 （x，y，z）是平面 DFP 的一个法向量，则 ，令 z1，得 （ ， ） ，由（）可知 （0，3， ）是平面 ADF 的一个法向量，二面角 ADFP 的大小为 60，cos60 ，解得 【点评】本题考查本题考查了线线垂直，利用空间向量数量积求参数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19为方便市民出行，倡导低碳出行某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘第 20 页（共 26 页）车该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中x（单位：
35、天）表示活动推出的天次，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表 1 和散点图表 1：x 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天y 7 12 20 33 54 90 148（1）由散点图分析后，可用 ye bx+a 作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次 y 关于活动推出天次 x 的回归方程，根据表 2 的数据，求此回归方程，并预报第 8天使用扫码支付的人次（精确到整数） 表 2：x y z4 52 3.5 140 2069 112表中 zlny ， （2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结
36、果如表 3表 3：支付方式 现金 乘车卡 扫码频率 10% 60% 30%优惠方式 无优惠 按 7 折支付 随机优惠（见下面统计结果）统计结果显示，扫码支付中享受 5 折支付的频率为 ，享受 7 折支付的频率为 ，享受9 折支付的频率为 已知该线路公交车票价为 1 元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量 为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元） ，求 的分布列和期望参考公式：对于一组数据（u i， i） ， （u 2， 2） ， （u n， n） ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 参考数据：第 21 页（共 26 页）e5.3200.33，e 5.524
37、4.69，e 5.7298.87【分析】 （1）由题意得 zlnylne bx+abx+a，利用所给的公式求出 ， ，求出 z 关于x 的线性回归方程，然后预测第 8 天的使用扫码支付的人次；（2）由题意得 的所有取值为 0.5，0.7，0.9，1，求出所有取值的概率，然后列出分布列，算出期望【解答】解：（1）由题意得 zlnylne bx+abx+a， ， 3.50.541.5，z 关于 x 的线性回归方程为 z0.5x+1.5，y 关于 x 的回归方程为 ye 0.5x+1.5，当 x8 时，y e 5.5 244.69，第 8 天使用扫码支付的人次为 2447（2）由题意得 的所有取值为
38、 0.5，0.7，0.9，1，P（0.5） 0.10，P（0.7）60%+ 0.75，P（0.9） 0.05，P（1）10%0.10， 的分布列为： 0.5 0.7 0.9 1P 0.10 0.75 0.05 0.10E0.50.10+0.70.75+0.90.05+10.100.72【点评】本题考查了线性回归方程、离散型随机变量公布列、数学期望等基础知识，考第 22 页（共 26 页）查运算求解能力，是中档题20已知椭圆 C： + 1（ab0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，A，B 是其左右顶点，点 P 是椭圆 C 上任一点，且PF 1F2 的周长为 6，若PF 1F2 面积的最大值为 （
39、1）求椭圆 C 的方程；（2）若过点 F2 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 M，N 两个不同点，证明：直线 AM 必与 BN 的交点在一条定直线上【分析】 （1）利用椭圆的定义，可求出PF 1F2 周长的表达式，当 P 点是椭圆的上（或下）顶点时，PF 1F2 面积有最大值为 ，列出等式，结合 a2b 2+c2，求出椭圆方程；（2）设出直线 MN 的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线 AM心与 BN 的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论【解答】解：（1）由题意得 ，a2，b ，c1，椭圆 C 的方程为 + 1；（2）由（1）得 A（2，0） ，B（2，0
40、） ，F 2（1，0） ，设直线 MN 的方程为 xmy +1，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由 ，得（4+3m 2）y 2+6my90，y 1+y2 ，y 1y2 ，my 1y2 （y 1+y2） ，直线 AM 的方程为 y （x +2） ，直线 BN 的方程为 y （x2） ， （x+2） （x2） ， 3，x4，第 23 页（共 26 页）直线 AM 与 BN 的交点在直线 x4 上【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查两直线的交点在定直线上的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立运用韦达定理，以及联立直线方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中
41、档题21已知函数 f（x ）lnx ax 2+（2a）x，aR（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）当 a ，时，若对于任意 x1，x 2（1，+） （x 1x 2） ，都存在 x0（x 1，x 2） ，使得 f'（x 0） ，证明： x 0【分析】 （1）由题意得：f （x ） 2ax+（2a） （x0） ，对 a 分类讨论，即可得出单调区间（2）当 a 时， a（x 1+x2）+（2a） f （x 0） 2ax 0+（2a） ，可得 a（x 1+x2） 2ax 0作差 f（ ）f（x 0） ，通过换元，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）由题意得：f（x
42、 ） 2ax+（2a） （x0） ，当 a 0 时， f（x ）0， f（x）在（0，+）上单调递增当 a 0 时，令 f（x ） 0，解得 ；令 f（x ）0，则 x ，f（x）在（0 ， ）上单调递增，在（ ，+）单调递减（2）证明：当 a 时， a（x 1+x2）+（2a） f（x 0） 2ax 0+（2a） 第 24 页（共 26 页） a（x 1+x2） 2ax 0f（ ）f（x 0） a（x 1+x2） +2ax0 令 t 1，g（t） lnt，g（t） 0，g（t ）g（1）0f（ ）f（x 0）0，即 f（ ）f（x 0） ，设 h（x）f （x） 2ax+（2a） ，x1则
43、h（x） 2a1+10h（x）f （x）在（1，+）上单调递增， x 0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C1 方程中的参数是 ，且 C1 与 C2 有且只有一个公共点，求 C1 的普通方程；（2）已知点 A（0，1） ，若曲线 C1 方程中的参数是 t，0 ，且 C1 与 C2 相交于P，Q 两个不同点，求 的最大值【分析】 （1）利用公式
44、直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出|t|（2）把曲线 C1 参数方程代入曲线 C2 直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点P，Q，的参数分别是 t1，t 2 一元二次方程根与系数关系，求出 + 的表达式，求出最大值第 25 页（共 26 页）【解答】解：（1）2cos ，曲线 C2 的直角坐标方程为 （x1） 2+y21， 是曲线 C1： 的参数，C 1 的普通方程为 x2+（y1） 2t 2，C 1 与 C2 有且只有一个公共点，|t | 1 或|t | +1，C 1 的普通方程为 x2+（y 1） 2（ ） 2 或 x2+（y1） 2（ ） 2（2）t 是曲线 C1： 的参数，C 1 是过点 A（0，1）的一条直线，设与点 P，Q 相对应的参数分别是 t1，t 2，把 ，代入（x1） 2+y21 得t2+2（sin cos ）t+10， + + |t 1|+|t2|t 1+t2|2 |sin（ ）| 2 ，当 时，4（sincos） 2440，+ 取最大值 2 【点评】本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题，属中档题23已知函数 f（x ）|2x 1|+2|x+1|（1）求不等式 f（x ）5 的解集；（2）若存在实数 x0，使得 f（x 0）5+mm 2 成立的 m 的最大值为 M，且实数