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2018年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

1、2018 年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知集合 ,则 AB(  )A (1,+) B C D2 (5 分)若复数 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是(  )A (1,1) B (1,0) C (1,+) D (,1)3 (5 分)已知命题 ;命题 q:若 ab,则 ,则下列为真命题的是(  )Apq Bpq Cpq Dpq4 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为(  )A Blog

2、 23 C3 D25 (5 分)已知等比数列a n中,a 2a5a88,S 3a 2+3a1,则 a1(  )A B C D6 (5 分)函数 的图象大致为(  )第 2 页(共 28 页)ABCD7 (5 分)已知不等式 ax2by2 在平面区域(x,y )|x|1 且|y| 1 上恒成立,若 a+b的最大值和最小值分别为 M 和 m,则 Mm 的值为(  )A4 B2 C4 D28 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足AFB60设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则(  

3、)A|AB|2| MN| B2| AB|3|MN| C|AB| 3|MN| D|AB|MN|9 (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(  )第 3 页(共 28 页)A B C2 D410 (5 分)已知函数 f(x )2sin(x+) (0) ,若 ,在上具有单调性,那么 的取值共有(   )A6 个 B7 个 C8 个 D9 个11 (5 分)三棱锥 DABC 中,CD底面 ABC,ABC 为正三角形,若AE CD,AB CD AE 2,则三棱锥 DABC 与三棱锥 EABC 的公共部分构成的几何体的外接球的体积为(  )A B C D1

4、2 (5 分)设函数 f(x )x 2xlnx+2,若存在区间 ,使 f(x)在a,b 上的值域为 k(a+2 ) ,k(b+2),则 k 的取值范围是(   )A BC D二、填空题:本大题共 4 道,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知多项式(1+2x) 6(1+y) 5,则其展开式中 xy3 的系数为     14 (5 分)已知双曲线 C: 1 的右焦点为 F,过点 F 向双曲线的一条渐进线引垂线,垂足为 M,交另一条渐近线于 N,若 2 ,则双曲线的离心率     第 4 页(共 28 页)15 (5 分)某人在微信群中发

5、了一个 7 元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到 1 元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是     16 (5 分)数列a n中, ,若数列b n满足 ,则数列b n的最大项为第     项三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 (12 分)ABC 的内角为 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(1)求 sin(A+B)+sin AcosA+cos(AB )的最大值;(2)若 ,当ABC 的面积最大时,ABC 的周长;18 (12 分)某校倡导为特困学生募捐,要求在自

6、动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:售出水量x(单位:箱)7 6 6 5 6收入 y(单位:元)165 142 148 125 150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前 20名,获一等奖学金 500 元;综合考核 2150 名,获二等奖学金 300 元;综合考核 50 名以后的不获得奖学金(1)若 x 与 y 成线性相关,则某天售出 9 箱水时,预计收入为多少元?(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的概率均为 ,已知甲乙两名学生获

7、得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和 X 的分布列及数学期望;第 5 页(共 28 页)附:回归方程 ,其中 19 (12 分)如图,在四棱锥中 PABCD,底面 ABCD 为边长为 的正方形,PABD (1)求证:PBPD ;(2)若 E,F 分别为 PC,AB 的中点,EF平面 PCD,求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小20 (12 分)已知椭圆 的左、右顶点分别为 A1,A 2,右焦点为F2(1, 0) ,点 在椭圆 C 上(1)求椭圆方程;(2)若直线 l:y k(x4) (k0)与椭圆 C 交于 M,N 两点,已知直线 A1M 与 A2N相交于点 G,证

8、明:点 G 在定直线上,并求出定直线的方程21 (12 分)f(x )a(x1) ,g(x)(ax1)e x,aR(1)证明:存在唯一实数 a,使得直线 yf (x)和曲线 yg(x)相切;(2)若不等式 f(x )g(x)有且只有两个整数解,求 a 的范围22 (10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 过点 P(a,1) ,其参数方程为(t 为参数,a R) 以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 cos2+4cos0()求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;()已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A、B 两点,且|PA|

9、2|PB| ,求实数 a 的值选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x +m|+|2x1| 第 6 页(共 28 页)(1)当 m1 时,求不等式 f(x)2 的解集;(2)若 f(x) |2x +1|的解集包含 ,求 m 的取值范围第 7 页(共 28 页)2018 年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知集合 ,则 AB(  )A (1,+) B C D【分析】化简集合 A、B,根据交集的定义写出 AB【解答】解:集合

10、 Ay| ylog 2x,x2y|y1,B y|y ,x 1 y|y ,则 ABy|y1(1,+) 故选:A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2 (5 分)若复数 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是(  )A (1,1) B (1,0) C (1,+) D (,1)【分析】利用复数代数形式的乘除运算,再由实部大于 0 且虚部小于 0 列式求解【解答】解: 在复平面内对应的点在第四象限, ,解得1m 1实数 m 的取值范围是( 1,1) 故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3 (5 分)已知命题 ;

11、命题 q:若 ab,则 ,则下列为真命题的是(  )第 8 页(共 28 页)Apq Bpq Cpq Dpq【分析】根据题意,分析可得 p 为真命题,而 q 为假命题,结合复合命题的真假关系分析选项,综合即可得答案【解答】解:根据题意,对于 P,x 2x +1(x ) 2+ 0 恒成立,则x 0R,则x02x 0+10 为真命题;对于 q,当 a0 而 b0 时, ,则 不成立,则 q 为假命题;分析选项可得:pq、pq、pq 都是假命题;pq 为真命题;故选:B【点评】本题考查复合命题的真假的判定,关键是掌握复合命题真假的判定方法4 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值

12、为(  )A Blog 23 C3 D2【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:模拟程序的运行,可得S3,i1满足条件 i3,执行循环体, S3+ ,i 2满足条件 i3,执行循环体, S3+ + ,i 3第 9 页(共 28 页)满足条件 i3,执行循环体, S3+ + + 3+14,i4此时,不满足条件 i3,退出循环,可得: S 2故程序框图输出 S 的值为 2故选:D【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题

13、5 (5 分)已知等比数列a n中,a 2a5a88,S 3a 2+3a1,则 a1(  )A B C D【分析】设等比数列a n的公比为 q,a 2a5a88,S 3 a2+3a1,可得:8,a 3+a2+a1a 2+3a1,解得 a52a 1q4,a 32a 1,进而得出【解答】解:设等比数列a n的公比为 q,a 2a5a88 ,S 3a 2+3a1, 8,a 3+a2+a1a 2+3a1,解得 a52a 1q4,a 32a 1,解得 q22,a 1 故选:B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题6 (5 分)函数 的图象大致为( &

14、nbsp;)A第 10 页(共 28 页)BCD【分析】通过特值法逐步排除选项即可得到结果【解答】解:当 x1 时,函数 1,所以选项 B 不正确;x1 时,函数 1,所以选项 A 不正确,x 时,函数 e0,所以选项 D 不正确;故选:C【点评】本题考查函数的图象的判断,一般利用函数的奇偶性与函数的单调性,函数经过的特殊点以及函数的对称性判断解答,例如本题采用特值排除法也是常用方法7 (5 分)已知不等式 ax2by2 在平面区域(x,y )|x|1 且|y| 1 上恒成立,若 a+b的最大值和最小值分别为 M 和 m,则 Mm 的值为(  )A4 B2 C4 D2【分析】先依据不

15、等式组( x,y)|x|1,| y|1,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表示的平面区域,再利用求最优解的方法,结合题中条件:“恒有ax2by2”得出关于 a,b 的不等关系,利用线性规划的知识进行求解第 11 页(共 28 页)【解答】解:令 zax2by ,ax2by2 恒成立,即函数 zax2by 在可行域要求的条件下,z max2 恒成立当直线 ax2byz0 过点(1,1)或点(1,1)或(1,1)或(1,1)时,有: 点 P(a,b)形成的图形是图中的菱形 MNTS设 a+bz,得 ba+z,平移直线 ba+z ,由图象知当直线 ba+z 经过 M(2,0)时,直线的截

16、距最大,当经过点 T(2,0)时,直线的截距最小,即最大值 Ma+b2+02,最小值为不等式 ma+b2+02,Mm 22 4,故选:C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题求出不等式的平面区域是解决本题的关键8 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足AFB60设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则(  )A|AB|2| MN| B2| AB|3|MN| C|AB| 3|MN| D|AB|MN|【分析】设|AF|a,| BF|b,连接 AF、BF由抛物

17、线定义得 2|MN|a+b,由余弦定理第 12 页(共 28 页)可得|AB| 2(a+ b) 23ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案【解答】解:设|AF|a,| BF|b,由抛物线定义,得 AF|AQ |,|BF| |BP|在梯形 ABPQ 中, 2| MN|AQ|+|BP |a+b由余弦定理得,|AB|2a 2+b2 2abcos60a 2+b2ab配方得,|AB| 2(a+ b) 23 ab,又ab( ) 2,(a+b) 23ab(a+ b) 2 (a+ b) 2 (a+b) 2得到|AB| (a+ b) |AB| |MN|故选:D【点评】本题着重考查抛物

18、线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题9 (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(  )第 13 页(共 28 页)A B C2 D4【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为三棱锥,底面是等腰直角三角形,直角边长为 2,高为 2,再由棱锥体积公式求解【解答】解:由三视图还原原几何体如图:该几何体为三棱锥,底面是等腰直角三角形,直角边长为 2,高为 2,则该几何体的体积为 故选:A【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题10 (5 分)已知函数 f(x )2sin(x+) (0) ,若 ,在上

19、具有单调性,那么 的取值共有(   )A6 个 B7 个 C8 个 D9 个【分析】由题意知, k + T,根据 k 的取值情况求得 的可能取值【解答】解:函数 f(x )2sin(x+) ,第 14 页(共 28 页),由题意,有 k + T,k 为非负整数;又 f(x)在 上具有单调性, ,T ,又 T , ,解得 12, k + T, (2k+1) ,解得 (2 k+1)12;k ,取 k8;k 的取值范围是0 ,1,2,3,4,5,6,7,8 ;则 的取值共有 9 种故选:D【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是难题11 (5 分)三棱锥 DABC 中,CD底面

20、 ABC,ABC 为正三角形,若AE CD,AB CD AE 2,则三棱锥 DABC 与三棱锥 EABC 的公共部分构成的几何体的外接球的体积为(  )A B C D【分析】首先根据题意,整理出几何体,进一步根据图形求出球的半径,进一步求出球的体积【解答】解:根据题意:三棱锥 DABC 与三棱锥 EABC 的公共部分构成的几何体的外接球的半径为:正三角形 ABC 的底面中心如图所示:第 15 页(共 28 页)故:r ,所以:V ,故选:B【点评】本题考查的知识要点:几何体与球的接和切的应用12 (5 分)设函数 f(x )x 2xlnx+2,若存在区间 ,使 f(x)在a,b 上的

21、值域为 k(a+2 ) ,k(b+2),则 k 的取值范围是(   )A BC D【分析】判断 f(x )的单调性得出 f(x)k (x+2)在 ,+)上有两解,作出函数图象,利用导数的意义求出 k 的范围【解答】解:f(x )2xlnx+1,f(x )2 ,当 x 时,f(x)0,f(x)在 ,+ )上单调递增,f(x)f( )2ln 0,f(x)在 , +)上单调递增,a,b ,+ ) ,f(x)在a, b上单调递增,f(x)在a, b上的值域为k(a+2) ,k(b+2) , ,方程 f(x) k(x+2)在 ,+ )上有两解 a,b第 16 页(共 28 页)作出 yf(x)

22、与直线 yk (x +2)的函数图象,则两图象有两交点若直线 yk(x +2)过点( , + ln2) ,则 k ,若直线 yk(x +2)与 yf(x)的图象相切,设切点为(x 0,y 0) ,则 ,解得 k11k ,故选:C【点评】本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,零点个数与函数图象的关系,属于中档题二、填空题:本大题共 4 道,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知多项式(1+2x) 6(1+y) 5,则其展开式中 xy3 的系数为 120 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出【解答】解:根据题意(1+2x) 6(1+y)5 ,xy 3 的系数为 120,故答案为:

23、120【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题第 17 页(共 28 页)14 (5 分)已知双曲线 C: 1 的右焦点为 F,过点 F 向双曲线的一条渐进线引垂线,垂足为 M,交另一条渐近线于 N,若 2 ,则双曲线的离心率    【分析】由题意可知 F 为 MN 的三等分点,用 a,b,c 表示出OMN 的边长,利用勾股定理得出 a,b 的关系从而得出离心率【解答】解:双曲线的渐近线方程为 y ,设 M 在直线 y 上,M(x 0, ) ,F(c,0) ,则 MF b,OM a,2 ,FN2b,S OFN 2S OMF ,即 2MOFNO

24、F,ON2a,在 Rt OMN 中,由勾股定理得 a2+9b24a 2,b 2 ,e 故答案为: 第 18 页(共 28 页)【点评】本题考查了双曲线的简单性质,属于中档题15 (5 分)某人在微信群中发了一个 7 元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到 1 元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是 【分析】利用隔板法得到共计有 n 15 种领法,乙获得“最佳手气”的情况总数m6,由此能求出乙获得“ 最佳手气”的概率【解答】解:如下图,利用隔板法,得到共计有 n 1510 种领法,甲领 3 元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有 3 种,甲领 4 元“

25、甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有 2 种,甲领 5 元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有 1 种,“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数 m3+2+16,甲领取的钱数不少于其他任何人的概率 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查隔板法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题第 19 页(共 28 页)16 (5 分)数列a n中, ,若数列b n满足 ,则数列b n的最大项为第 6 项【分析】由数列的递推式和等差数列的求和公式可得 an,求得 bn,判断单调性,即可得到最大项【解答】解:由 a10,a na n1 2n1,可得 ana 1+(a 2a

26、 1)+ (a 3a 2)+ +ana n1 0+3+5+(2n1) (n1) (3+2n1)n 21,若数列b n满足 bnn ( ) n1 ,即有 bnn ( ) n1 n(n+1)( ) n1 ,可得 ,由 1 可得 n ,由 n 为整数,可得 1n6 时,b n 递增;且 n6 时,b n 递减,可得 b6 为最大项故答案为:6【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列恒等式,考查数列的单调性的判断和运用:求最大项,考查运算能力,属于中档题三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 (12 分)ABC 的内角为 A,B,C 的对边分别为 a,b

27、,c,已知(1)求 sin(A+B)+sin AcosA+cos(AB )的最大值;(2)若 ,当ABC 的面积最大时,ABC 的周长;【分析】 (1)根据正弦定理和两角和的正弦公式,以及二次函数的性质即可求出答案,(2)根据三角形的面积公式和余弦定理,以及基本不等式即可求出第 20 页(共 28 页)【解答】解:(1)由 得: ,abcosC+csinB,即 sinAsinBcosC+sinCsinB,cosBsinB , ;由 ,令 tsinA+cosA,原式 ,当且仅当 时,上式的最大值为 (2) ,即 ,当且仅当 等号成立; ,周长 【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦

28、余弦定理,基本不等式,三角形面积公式,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题18 (12 分)某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:售出水量x(单位:箱)7 6 6 5 6收入 y(单位:元)165 142 148 125 150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前 20名,获一等奖学金 500 元;综合考核 2150 名,获二等奖学金 300 元;综合考核 50 名以后的不获得奖学金(1)若 x 与

29、y 成线性相关,则某天售出 9 箱水时,预计收入为多少元?第 21 页(共 28 页)(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的概率均为 ,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和 X 的分布列及数学期望;附:回归方程 ,其中 【分析】 (1)根据表中数据 ,经计算 ,所以线性回归方程为 ,把 x9 带入计算即可(2)根据独立性事件的性质,X 的可能取值为 0,300,500,600,800,1000;即可求解概率可得 X 的分布列及数学期望【解答】解:(1) ,经计算 ,所以线性回归方程为,当 x9 时,y 的估计

30、值为 206 元;(2)X 的可能取值为 0,300,500,600,800,1000; ; ; ;X 0 300 500 600 800 1000P所以 X 的数学期望 E(X )600【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用,分布列及数学期望属于基础题19 (12 分)如图,在四棱锥中 PABCD,底面 ABCD 为边长为 的正方形,PABD (1)求证:PBPD ;(2)若 E,F 分别为 PC,AB 的中点,EF平面 PCD,求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小第 22 页(共 28 页)【分析】 (1)连接 AC,BD 交于点 O,连结 PO,则 ACBD ,结合 PABD

31、得出 BD平面 PAC,故而 BDPO ,又 O 为 BD 的中点,得出 OP 为 BD 的中垂线,得出结论;(2)设 PD 的中点为 Q,连接 AQ,EQ ,证明四边形 AQEF 是平行四边形,于是 AQ平面 PCD,通过证明 CD平面 PAD 得出 CDPA,结合 PABD 得出 PA平面ABCD,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值等于|cos |,从而得出线面角的大小【解答】解:(1)连接 AC, BD 交于点 O,连结 PO底面 ABCD 是正方形,ACBD,OBOD又 PABD ,PA平面 PAC,AC 平面 PAC,PAAC A,BD平面

32、 PAC,PO 平面 PAC,BDPO 又 OBOD ,PBPD (2)设 PD 的中点为 Q,连接 AQ,EQ ,则 EQCD,EQ CD,又 AFCD,AF ,EQAF,EQAF,四边形 AQEF 为平行四边形,EF AQ ,EF平面 PCD,AQ 平面 PCD,AQPD ,Q 是 PD 的中点,APAD AQ平面 PCD,AQCD,又 ADCD,AQADA ,CD平面 PAD,CDPA第 23 页(共 28 页)又 BDPA,BDCDD,PA平面 ABCD以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 B( ,0,0) ,P(0,0, ) ,A(0,0

33、,0) ,Q (0, , ) (0, , ) , ( ,0, ) AQ平面 PCD, 为平面 PCD 的一个法向量cos 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ,则 sin |cos | 直线 PB 与平面 PCD 所成角为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,线面角的计算,空间向量的应用,属于中档题20 (12 分)已知椭圆 的左、右顶点分别为 A1,A 2,右焦点为F2(1, 0) ,点 在椭圆 C 上(1)求椭圆方程;(2)若直线 l:y k(x4) (k0)与椭圆 C 交于 M,N 两点,已知直线 A1M 与 A2N相交于点 G,证明:点 G 在定直线上,并求出定直线的方程【分析

34、】 (1)由题意得:c1将 B 代入椭圆方程,即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆方程;第 24 页(共 28 页)(2)分类讨论,M 在椭圆顶点时,根据椭圆的对称性,求得直线 k,求得 A1M 与 A2N方程,求得 G 点坐标,当 M 不在椭圆顶点时,将直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,表示出直线 A1M 与 A2N,当 x1 时,代入整理得,所以 G 在定直线 x1 上【解答】解:(1)F 2(1,0) ,c1,由题目已知条件知 ,椭圆的方程为: ;(2)由椭圆对称性知 G 在 xx 0 上,假设直线 l 过椭圆上顶点,则 , , ,所以 G 在定直线 x1 上当

35、M 不在椭圆顶点时,设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) , ,整理得(3+4k 2)x232k 2x+64k2120,所以 ,当 x1 时, ,得 2x1x25(x 1+x2)+80 ,所以 ,显然成立,所以 G 在定直线 x1 上【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式的应用,考查转化思想,属于中档题第 25 页(共 28 页)21 (12 分)f(x )a(x1) ,g(x)(ax1)e x,aR(1)证明:存在唯一实数 a,使得直线 yf (x)和曲线 yg(x)相切;(2)若不等式 f(x )g(x)有且只有两个整数解,求 a 的

36、范围【分析】 (1)设切点为(x 0,y 0) ,求得 g(x )的导数,可得切线的斜率,由方程相等,可得 x0 的方程,求得其范围,即可得证;(2)令 f(x) g(x) ,即 a(x1)(ax1)e x,所以 ,令,求得导数和单调性,结合条件讨论 0a1,a1,可得满足条件的 a的范围【解答】解:(1)证明:设切点为(x 0,y 0) ,则 ,yf(x)和 yg(x )相切,则,所以 ,即 令 h(x)e x+x2,h'(x)e x+10,所以 h(x)单增又因为 h(0)10,h(1)e10,所以,存在唯一实数 x0,使得 ,且 x0(0,1) 所以只存在唯一实数 a,使成立,即

37、存在唯一实数 a 使得 yf(x)和 yg(x)相切(2)令 f(x) g(x) ,即 a(x1)(ax1)e x,所以 ,令 ,则 ,由(1)可知,m(x)在(,x 0)上单减,在(x 0,+)单增,且 x0(0,1) ,故当 x0 时,m (x)m(0)1,当 x1 时,m(x)m (1)1,当 a0 时,f(x )0,g(x)e x,f(x )g(x)显然恒成立,不满足题意;第 26 页(共 28 页)当 a0 时,因为要求整数解,所以 m(x)在 xZ 时,m(x )1,所以 am(x)1 有无穷多整数解,舍去;当 0a1 时, ,又 ,所以两个整数解为 0,1,即 ,所以 ,即 ,当

38、 a1 时, ,因为 在 xZ 内大于或等于 1,所以 无整数解,舍去,综上, 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调性,考查方程思想和不等式有解的条件,以及分类讨论思想方法,化简整理的运算能力,属于难题22 (10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 过点 P(a,1) ,其参数方程为(t 为参数,a R) 以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 cos2+4cos0()求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;()已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A、B 两点,且|PA| 2|PB| ,求实数 a 的值【分析】 ()利用

39、三种方程的转化方法,求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;()设 A、B 两点所对应参数分别为 t1,t 2,联解 ,得 ,由此能求出实数 a 的值第 27 页(共 28 页)【解答】解:()曲线 C1 参数方程为 ,其普通方程xya+10,由曲线 C2 的极坐标方程为 cos2+4cos0, 2cos2+4cos 20x 2+4xx 2y 20,即曲线 C2 的直角坐标方程 y24x ()C 1 参数方程为 可化为 ,设 A、B 两点所对应参数分别为 t1,t 2,联解 得 ,要有两个不同的交点,则 ,即 a0,由韦达定理有 ,|PA| 2|PB|, 当 时,根据直线参数方程

40、的几何意义可知 t12t 2, ,解得 a ,a 0,符合题意,当 时根据直线参数方程的几何意义可知 t12t 2,解得 a ,a 0,符合题意,实数 a 的值为 或 【点评】本题考查三种方程的转化,考查参数方程的运用,考查参数的几何意义,考查分类讨论的数学思想,属于中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x +m|+|2x1| (1)当 m1 时,求不等式 f(x)2 的解集;第 28 页(共 28 页)(2)若 f(x) |2x +1|的解集包含 ,求 m 的取值范围【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,去掉绝对值,解关于各个区间上的不等式的解集,取并集即可;(2)求出 f(x )的最大值,问题转化为|x+m|2,从而求出 m 的范围【解答】解:(1)当 m 1 时,f(x)| x1|+|2x 1|,x1 时,f(x )3x22,解得 ;当 时,f(x ) x2,解得 ;当 时, f(x )2 3x2,解得 ;综合可知,原不等式的解集为 (2)由题意可知 f(x )|2x+1|在 上恒成立,当 时,f(x )|x+m|+|2x1| |x+m|+2x1 |2x+1|2x+1,从而可得|x+ m|2,即2x+m22xm2x,且 , (2x) min0,因此 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及函数恒成立,是一道中档题