1、2018 年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 Ax| yln（x1），集合 B x|1 x2，则（ RA）B（ ）A （1，1） B （1，1 C （1，2） D （1，2）2 （5 分）设 i 是虚数单位，若（ 1+2i）ia+bi（a，b R） ，则 a+b（ ）A3 B3 C1 D13 （5 分）函数 f（x ）（ ） x，x （0，+）的值域为 D，在区间（1，2）上随机取一个数 x，则 xD 的概率是（ ）A1 B C D4
2、（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A5+2 B4+2 C4+4 D5+45 （5 分）设 aR，则“a3”是“函数 ylog a（x1）在定义域上为增函数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）若 ，则 sin4+cos4（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D7 （5 分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆” ，其离心率 设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为 a，b，c，则 a，b，c 满足的关系是
3、（ ）A2ba+c Bb 2ac Cab+c D2bac8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） （0）的图象向右平移 个单位后，得到函数 g（x）的图象关于直线 对称，若 ，则（ ）A B C D10 （5 分）在如图所示的三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知 AA18，AC AB 5，BC 6，点 A1 在底面 ABC 上的射影是线段 BC 的中点 O，则直线 B1C 与直线 A1O 所成角的正切值为（ ）第 3 页（共 24 页）A B C D11
4、 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 的左，右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，如果|PF 1|3| PF2|，则双曲线 C 离心率的取值范围是（ ）A （1，2 B2，+） C （1，3 D3 ，+）12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x） ，对任意实数 x 均有（1x ）f（x ）+xf'（x ）0 成立，且 yf （x+1）e 是奇函数，则不等式 xf（x）e x0 的解集是（ ）A （，e） B （e，+） C （，1） D （1，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向
5、量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx 2+y24x6y +13 的最小值为 15 （5 分）在 的展开式中，x 3y2 的系数为 （用数字作答） 16 （5 分）已知空间直角坐标系 Oxyz 中，正四面体 PABC 的棱长为 2，点A（m， 0，0） ，B（0，n，0） ，mn 0，则| OP|的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n中，a 11，其前 n
6、项和为 Sn，满足 Sn2a n1（）求a n的通项公式；（）记 ，求数列b n的前 n 项和 Tn，并证明 第 4 页（共 24 页）18 （12 分）如图，在锐角ABC 中， ， ，BC6，点 D 在边 BC 上，且 BD2DC，点 E 在边 AC 上，且 BEAC ， BE 交 AD 于点 F（）求 AC 的长；（）求 cosDAC 及 AF 的长19 （12 分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示零件质量不超过 20 克的为合格（1）从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车
7、间至少一个零件合格的概率；（2）质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 4 件进行检测，若至少 2 件合格，检测即可通过，若至少 3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间 12 个零件中随机抽取 2 个零件，用 X 表示乙车间的零件个数，求 X 的分布列与数学期望20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAPDAD2CD2BC 2，且ADCBCD90（）当 PB2 时，证明：平面 PAD平面 ABCD；（）当四棱锥 PABCD 的体积为 ，且二面角 PADB 为钝角时，求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值第 5 页（
8、共 24 页）21 （12 分）已知直线 l1 是抛物线 C：x 22py（p0）的准线，直线 l2：3x 4y60，且 l2 与抛物线 C 没有公共点，动点 P 在抛物线 C 上，点 P 到直线 l1 和 l2 的距离之和的最小值等于 2（）求抛物线 C 的方程；（）点 M 在直线 l1 上运动，过点 M 做抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P1，P 2，在平面内是否存在定点 N，使得 MNP 1P2 恒成立？若存在，请求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由22 （10 分）已知函数 ， （）当 a0 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（）若 f（x） g（x）在区间（0，1上恒成立，
9、求实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2018 年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 Ax| yln（x1），集合 B x|1 x2，则（ RA）B（ ）A （1，1） B （1，1 C （1，2） D （1，2）【分析】求出集合 A 的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可【解答】解：Ax| yln（x1） x|x10 x|x1，则 RAx| x1，则（ RA）Bx |1x 1（1，1 ，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运
10、算，要求熟练掌握交集，补集的定义2 （5 分）设 i 是虚数单位，若（ 1+2i）ia+bi（a，b R） ，则 a+b（ ）A3 B3 C1 D1【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求【解答】解：由（1+2i）i2+ia+bi ，得 a2，b1a+b1故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题3 （5 分）函数 f（x ）（ ） x，x （0，+）的值域为 D，在区间（1，2）上随机取一个数 x，则 xD 的概率是（ ）A1 B C D【分析】由指数函数的单调性求出函数 f（x
11、）（ ） x，x（0，+ ）的值域为 D，再由测度比为长度比得答案【解答】解：函数 f（x ）（ ） x，x （0，+）的值域为（0，1） ，第 7 页（共 24 页）即 D（0，1） ，则在区间（1，2）上随机取一个数 x，xD 的概率 P 故选：C【点评】本题考查几何概型，考查指数函数值域的求法，是基础题4 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A5+2 B4+2 C4+4 D5+4【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可【解答】解：几何体是组合体，下部是半圆柱，上部是 球，圆柱的底面半径与球的半径相同为 1，圆柱的高为 2，几何体的表
12、面积为：1 2+12+22+2 4+4 故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状第 8 页（共 24 页）5 （5 分）设 aR，则“a3”是“函数 ylog a（x1）在定义域上为增函数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】函数 ylog a（x1）在定义域（1，+）上为增函数 a1，即可判断出关系【解答】解：函数 ylog a（x1）在定义域（1，+）上为增函数 a1，因此“a3”是“函数 ylog a（x1）在定义域上为增函数”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了对数函数
13、的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）若 ，则 sin4+cos4（ ）A B C D【分析】把已知等式两边平方求得 sincos，再由 sin4+cos4（sin 2+cos2）22sin 2cos2求解得答案【解答】解： ， ，即 ，则 ，sin 4+cos4（sin 2+cos2） 22sin 2cos212 故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题7 （5 分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆” ，其离心率 设黄金椭
14、圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为 a，b，c，则 a，b，c 满足的关系是（ ）第 9 页（共 24 页）A2ba+c Bb 2ac Cab+c D2bac【分析】通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出 a、b、c 的关系，即可得到选项【解答】解：因为离心率 的椭圆称为“黄金椭圆” ，所以 是方程 e2+e10 的正跟，即有（ ） 2+ 10，可得 c2+aca 20，又 c2a 2b 2，所以 b2ac即 b 是 a，c 的等比中项故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（
15、 ）A B C D【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案第 10 页（共 24 页）【解答】解：当 k1 时，不满足退出循环的条件，k2，a ；当 k2 时，不满足退出循环的条件，k3，a ；当 k3 时，不满足退出循环的条件，k4，a ；当 k4 时，不满足退出循环的条件，k5，a ；当 k5 时，不满足退出循环的条件，k6，a ；故 a 的值以 4 为周期呈周期性变化当 k2017 时，不满足退出循环的条件，k2018，a ；当 k2018 时，满足退出循环的条件，故输出的 a 值为 ，故选：B【点评】本
16、题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答9 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） （0）的图象向右平移 个单位后，得到函数 g（x）的图象关于直线 对称，若 ，则（ ）A B C D【分析】首先利用函数的额平移变换和正弦型函数的性质求出函数的解析式，进一步利用三角函数的关系式的恒等变换求出结果【解答】解：函数 f（x ）sin（2x+ ） （0）的图象向右平移 个单位后，得到：g（x）sin（2x +） ，函数 g（x）的图象关于直线 对称，第 11 页（共 24 页）即：g（ ）1，故： ， （kZ）则：k + （kZ） ，由于
17、：0，则：k0 时， ，故：f（x） sin（2x + ） 由于： ，则：sin（ ） ，所以： cos（ ） ， 1 故选：C【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和三角函数关系式的恒等变换及相关的运算问题的应用10 （5 分）在如图所示的三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知 AA18，AC AB 5，BC 6，点 A1 在底面 ABC 上的射影是线段 BC 的中点 O，则直线 B1C 与直线 A1O 所成角的正切值为（ ）A B C D【分析】推导出 A1O面 AB，从而 A1OBC ，进而 BCAO，由此得到 BC面A1OA，分别以 OC、
18、OA、OA 1 为 x、y、z 轴建立空间坐标系，由此能求出直线 B1C 与直线 A1O 所成角的正切值【解答】解：点 A1 在底面 ABC 的射影是线段 BC 的中点 O，第 12 页（共 24 页）A 1O面 ABC，而 BC面 ABC，A 1OBC，（1 分）又ACAB 5，线段 BC 的中点 O，BC AO，A 1OAO O ，（3 分）BC面 A1OA，在AOB 中，AO 2+BO2AB 2，则 AO4，在A 1AO 中， A1A2AO 2+A1O2，则 A1O4 ，分别以 OC、OA、OA 1 为 x、 y、z 轴建立空间坐标系，C（3，0，0） ，A 1（0，0，4 ） ，O（0
19、，0，0） ，B1（3，4，4 ） ， （6，4，4 ） ， （0，0，4 ） ，设直线 B1C 与直线 A1O 所成角为 ，则 cos ，tan 直线 B1C 与直线 A1O 所成角的正切值为 故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 的左，右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，如果|PF 1|3| PF2|，则双曲线 C 离心率的取值范围是（ ）A （1，2 B2，+） C （1，3 D3 ，+）【分析】设|PF 2|t，则
20、| PF1|3t ，利用双曲线的定义，可得 ta，利用双曲线的定义，第 13 页（共 24 页）以及三角形的性质推出双曲线 C 的离心率的范围【解答】解：设|PF 2|t，| PF1|3| PF2|，则|PF 1|3t，3tt2a，ta，可得 ，解得 1 2，即 e（1，2 故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义的运用，属于基本知识的考查12 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x） ，对任意实数 x 均有（1x ）f（x ）+xf'（x ）0 成立，且 yf （x+1）e 是奇函数，则不等式 xf（x）e x0 的解集
21、是（ ）A （，e） B （e，+） C （，1） D （1，+）【分析】问题转化为解不等式 1，令 g（x） ，根据函数的单调性以及奇偶性求出 x 的范围即可【解答】解：由 xf（x ）e x0，得 1，令 g（x） ，则 g（x） 0，故 g（x）在 R 递增，又 yf（x）e 是奇函数，故 f（1）e， g（1）1，故 g（x）g（1） ，解得：x1，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性，考查转化思想，是一道中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 第
22、 14 页（共 24 页）【分析】根据投影的计算公式，所求投影为| |cos ， ，从而根据数量积的坐标运算及根据坐标求向量长度的公式即可求出答案【解答】解：向量 ， ，向量 在向量 方向上的投影为：| |cos ， 故答案为： 【点评】考查一个向量在另一个向量方向上投影的定义，及其计算公式，向量夹角的余弦公式，数量积的坐标运算14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx 2+y24x6y +13 的最小值为 【分析】画出 x，y 满足约束条件 ，表示的平面区域，利用几何意义求出可行域内的点到（2，1）的距离即可【解答】解：由 x，y 满足约束条件 对应的可行域（阴影部分
23、） ，zx 2+y24x6y +13（x 2） 2+（y3） 2，所求最值就是可行域内的点到 P（2，3）的距离的平方的最小值点 P 到直线 x+y40 的距离： zx 2+y24x6y +13 的最小值为： ，故答案为： 第 15 页（共 24 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15 （5 分）在 的展开式中，x 3y2 的系数为 60 （用数字作答） 【分析】在这 6 个因式（x 2+2x+ ）中，有 4 个因式都取 ，一个因式含 x2，一个因式取 2x，可得到含 x3y2 的项，由此求得 x3y2 的
24、系数【解答】解：由于 表示 6 个因式（x 2+2x+ ）的乘积，故在这 6 个因式中，有 4 个因式都取 ，一个因式含 x2，一个因式取 2x，可得到含x3y2 的项；故 x3y2 的系数为 260，故答案为：60【点评】本题主要考查二项式定理的应用，乘方的意义，属于基础题16 （5 分）已知空间直角坐标系 Oxyz 中，正四面体 PABC 的棱长为 2，点A（m， 0，0） ，B（0，n，0） ，mn 0，则| OP|的取值范围为 【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体 PABC 的位置，则原点 O 在以AB 为直径的球面上运动，原点 O 到点 P 的最
25、近距离等于 PM 减去球的半径，最大距离是 PM 加上球的半径【解答】解：如图所示，若固定正四面体 PABC 的位置，则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动，设 AB 的中点为 M，则 PM ，所以原点 O 到点 P 的最近距离等于 PM 减去球 M 的半径，第 16 页（共 24 页）最大距离是 PM 加上球 M 的半径；所以 1|OP| +1，即|OP |的取值范围是 1， +1故答案为： 1， +1【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
26、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n中，a 11，其前 n 项和为 Sn，满足 Sn2a n1（）求a n的通项公式；（）记 ，求数列b n的前 n 项和 Tn，并证明 【分析】 （）利用数列的递推关系式判断数列是等比数列，然后求解a n的通项公式；（）求出数列的和，然后化简 ，利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：（）由 Sn2a n1，得 Sn+12a n+11，后式减去前式，得 an+12a n+12a n，得 an+12a n因为 a110，可得 an0，所以 ，即数列a n是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 第 17 页（共
27、 24 页）（）因为 ，所以 ，所以，因为 ，所以 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法的应用，考查计算能力18 （12 分）如图，在锐角ABC 中， ， ，BC6，点 D 在边 BC 上，且 BD2DC，点 E 在边 AC 上，且 BEAC ， BE 交 AD 于点 F（）求 AC 的长；（）求 cosDAC 及 AF 的长【分析】 （）利用已知条件结合正弦定理，求 AC 的长；（）通过余弦定理利用两角和与差的三角函数，求解 cosDAC 及 AF 的长【解答】解：（）在锐角ABC 中， ， ，BC6，由正弦定理可得 ，所以 （）由 ， ，可得 ， ，所以 cosCcos（
28、BAC+ABC ）cosBACcosABC+sinBAC sinABC ，因为 BEAC，所以 ， ，在ACD 中，AC5， ， ，第 18 页（共 24 页）由余弦定理可得 ，所以 cosDAC 由 BEAC，得 AFcosDACAE ，所以 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力19 （12 分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示零件质量不超过 20 克的为合格（1）从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的
29、概率；（2）质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 4 件进行检测，若至少 2 件合格，检测即可通过，若至少 3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间 12 个零件中随机抽取 2 个零件，用 X 表示乙车间的零件个数，求 X 的分布列与数学期望【分析】 （1）甲车间合格零件数为 4，乙车间合格的零件数为 2，利用相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式求解即可（2）设事件 A 表示“2 件合格，2 件不合格” ；事件 B 表示“3 件合格，1 件不合格” ；事件 C 表示“4 件全合格” ； 事件 D 表示“检测通过” ；
30、事件 E 表示“检测良好” 利用概率加法求解即可（3）X 可能取值为 0，1，2求出概率，得到分布列，然后求解期望【解答】解：（1）甲车间合格零件数为 4，乙车间合格的零件数为 2，第 19 页（共 24 页） （2）设事件 A 表示“2 件合格，2 件不合格” ；事件 B 表示“3 件合格，1 件不合格” ；事件 C 表示“4 件全合格” ； 事件 D 表示“检测通过” ；事件 E 表示“检测良好” ， 故所求概率为 （3）X 可能取值为 0，1，2. ， ，分布列为X 0 1 2P 【点评】本题考查随机变量的分布列
31、以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAPDAD2CD2BC 2，且ADCBCD90（）当 PB2 时，证明：平面 PAD平面 ABCD；（）当四棱锥 PABCD 的体积为 ，且二面角 PADB 为钝角时，求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值【分析】 （）取 AD 的中点 O，连接 PO，BO ，证明 OPAD ，POOB，得到 PO平面 ABCD，即可证明平面 PAD平面 ABCD第 20 页（共 24 页）（）以 O 为坐标原点，以 OA，OB 为 x 轴，y 轴在平面 POB 内过点 O 作垂直于平面 AOB 的直线为 z 轴
32、，建立空间直角坐标系 Oxyz，求出平面 PCD 的一个法向量，设直线 PA 与平面 PCD 所成的角为 ，利用空间向量的数量积转化求解即可【解答】 （）证明：取 AD 的中点 O，连接 PO，BO ，PAD 为正三角形，OPAD ，ADCBCD90，BC AD， ，BCOD，四边形 BCDO 为矩形， OBCD1，在POB 中， ，OB 1，PB2，POB90 ，POOB，ADOB O ，PO 平面 ABCD，PO平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD（）解：ADPO，AD OB ，POBOO，PO，BO 平面 POB，AD平面POB，AD平面 ABCD，平面 POB平面 ABCD，过点
33、P 作 PE平面 ABCD，垂足 E 一定落在平面 POB 与平面 ABCD 的交线 BO 上四棱锥 PABCD 的体积为 ， ， ， 如图，以 O 为坐标原点，以 OA，OB 为 x 轴，y 轴在平面 POB 内过点 O 作垂直于平面 AOB 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，由题意可知 A（1，0，0） ， ，D （1，0，0） ，C（1，1，0） ， ，设平面 PCD 的一个法向量为 ，则 ，得 ，令 x1，则 ， ， ，设直线 PA 与平面PCD 所成的角为 ，第 21 页（共 24 页）则 则直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的
34、判定定理以及性质定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力21 （12 分）已知直线 l1 是抛物线 C：x 22py（p0）的准线，直线 l2：3x 4y60，且 l2 与抛物线 C 没有公共点，动点 P 在抛物线 C 上，点 P 到直线 l1 和 l2 的距离之和的最小值等于 2（）求抛物线 C 的方程；（）点 M 在直线 l1 上运动，过点 M 做抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P1，P 2，在平面内是否存在定点 N，使得 MNP 1P2 恒成立？若存在，请求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （）作 PA，PB 分别垂直 l1 和 l2
35、，垂足为 A，B，抛物线 C 的焦点为，由抛物线定义知|PA |PF| ，转化求解抛物线 C 的方程（）由（）知直线 l1 的方程为 y1，当点 M 在特殊位置（0，1）时，显见两个切点 P1，P 2 关于 y 轴对称，故要使得 MNP 1P2，点 N 必须在 y 轴上设M（m，1） ，N（0，n） ， ， ，抛物线 C 的方程为 ，求导得 ，所以切线 MP1 的斜率 ，直线MP1 的方程为 ，又点 M 在直线 MP1 上，列出方程，通过韦达定第 22 页（共 24 页）理向量的数量积，判断求解即可【解答】解：（）作 PA，PB 分别垂直 l1 和 l2，垂足为 A，B，抛物线 C 的焦点为，
36、由抛物线定义知|PA| PF|，所以 d1+d2|PA|+|PB |PF |+|PB|，显见 d1+d2 的最小值即为点 F 到直线 l2 的距离，故 ，所以抛物线 C 的方程为 x24y（）由（）知直线 l1 的方程为 y1，当点 M 在特殊位置（0，1）时，显见两个切点 P1，P 2 关于 y 轴对称，故要使得 MNP 1P2，点 N 必须在 y 轴上故设 M（m，1） ，N（0，n ） ， ， ，抛物线 C 的方程为 ，求导得 ，所以切线 MP1 的斜率 ，直线 MP1 的方程为 ，又点 M 在直线 MP1 上，所以 ，整理得 ，同理可得 ，故 x1 和 x2 是一元二次方程 x22mx
37、 40 的根，由韦达定理得 ，4m +（n+1）（x 2+x1） ，可见 n1 时， 恒成立，所以存在定点 N（0，1） ，使得 MNP 1P2 恒成立【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，向量的数量积以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力22 （10 分）已知函数 ， （）当 a0 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（）若 f（x） g（x）在区间（0，1上恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）当 a0 时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数 f（x ）的单调性；第 23 页（共 24 页）（）利用函数恒成立，转化为函
38、数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果【解答】解：（）f'（x ）ax+（a1） ，当 ，即 时，0x1 时，f'（x ）0，x1 时，f'（x）0，所以 f（x）在区间（ 0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增；当 ，即 时， 和 x1 时，f'（x）0，时，f'（x ）0，所以 f（x）在区间 上单调递减，在区间 和（1，+）上单调递增；当 ，即 时，0x1 和 时，f'（x）0，时，f'（x ）0，所以 f（x）在区间 上单调递减，在区间（0，1）和 上单调递增；当 ，即 时，f'（x）0，所以
39、f（x）在定义域（0，+）上单调递增；综上： 当 时，f（x）在区间 上单调递减，在区间（ 0，1）和上单调递增；当 时， f（x ）在定义域（ 0，+）上单调递增；当 时，f（x ）在区间 上单调递减，在区间 和（1，+）上单调递增；当 时， f（x ）在区间（ 0，1）上单调递减，在区间（ 1，+）上单调递增（）令 h（x）f（x）g（x） ，原问题等价于 h（x）0 在区间（0，1上恒成立，可见 ，第 24 页（共 24 页）要想 h（x）0 在区间（0，1上恒成立，首先必须要 h'（1）0，而 ， 另一方面当 时， ，由于 x（0，1，可见 h''（x）0，所以 h'（x）在区间（0，1上单调递增，故 h'（x）h'（ 1）0，所以 h（x）在区间（0，1上单调递减，h（x）h（1）0 成立，故原不等式成立综上，若 f（x） g（x）在区间（0，1上恒成立，则实数 a 的取值范围为【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力