1、2018 年山西省吕梁市孝义市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A2 ，1，0，1，2 ，Bx|（ x1） （x+2）0，则 AB（ ）A 1，0 B0 ，1 C 1，0，1 D0 ，1，22 （5 分）已知复数 （i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A （3，3） B （1，3） C （3，1） D （1，3）3 （5 分）一次考试中，某班学生的数学成绩 X 近似服从正态分布 N（100，100） ，则该班
2、数学成绩的及格率可估计为（成绩达到 90 分为及格） （参考数据：P（90X110）0.68） （ ）A60% B68% C76% D84%4 （5 分）若函数 为奇函数，则 f（g（2） ）（ ）A2 B1 C0 D25 （5 分）已知点 P 是直线 x+yb0 上的动点，由点 P 向圆 O：x 2+y21 引切线，切点分别为 M，N，且MPN90，若满足以上条件的点 P 有且只有一个，则 b（ ）A2 B2 C D6 （5 分）已知不等式组 表示的平面区域为 D，若函数 y|x1|+m 的图象上存在区域 D 上的点，则实数 m 的取值范围是（
3、;）A0， B2， C 1， D 2，17 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为 1，则该几何体的体积是（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D8 （5 分）设 ，若 a1+a470，则 a5（ ）A32 B64 C128 D2569 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A B0 C D10 （5 分）设 P 为双曲线 上的点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，且 PF2 F1F2，PF 1 与 y 轴交于点 Q，O 为坐标原点，若四边形 OF2PQ 有内切圆，则 C 的离心率为（ ）第 3 页
4、（共 25 页）A B C2 D311 （5 分）在四面体 ABCD 中， ，BC6，AD底面 ABC，G 为DBC 的重心，且直线 DG 与平面 ABC 所成的角是 30，若该四面体 ABCD 的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是（ ）A24 B32 C46 D4912 （5 分）设等差数列a n的公差为 ，前 8 项和为 6，记 ，则数列tanantanan+1的前 7 项和是（ ）A BC D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三
5、十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的张邱建算经 ，该问题的答案是 14 （5 分）已知向量 与 的夹角是 ，且| | + |，则向量 与 + 的夹角是 15 （5 分）已知函数 的周期为 ，当 时，函数 g（x）f （x）+m 恰有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 16 （5 分）当 x1 时，不等式（x1）e x+1ax 2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在A
6、BC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ccosB+bcosC2acosA（1）求 A；（2）若 a2，sinBsinCsin 2A，D 为 BC 边上一点，且 ，求 AD 的长18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90 ，AC 1平面 A1BC第 4 页（共 25 页）（1）证明：BCAA 1；（2）若 BCAC，A 1AA 1C，求二面角 B1A 1BC 的余弦值19 （12 分）某大型商场去年国庆期间累计生成 2 万张购物单，从中随机抽出 100 张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元） （0，200 （200，400 （400，
7、600 （600，800 （800，1000购物单张数 25 25 30由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 800 元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 600元者，可抽奖一次抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的 5 个红球和 5 个黑球的不透明口袋中，随机摸出 4 个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 X，当X4，2，0 时，消费者可分别获得价值 5
8、00 元、200 元和 100 元的购物券求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望20 （12 分）已知抛物线 E：x 24y 的焦点为 F，P（a，0）为 x 轴上的点（1）当 a0 时，过点 P 作直线 l 与 E 相切，求切线 l 的方程；（2）存在过点 P 且倾斜角互补的两条直线 l1，l 2，若 l1， l2 与 E 分别交于 A，B 和C，D 四点，且FAB 与FCD 的面积相等，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ）mlnx（1）讨论函数 的单调性；（2）定义：“对于在区域 D 上有定义的函数 yf（x）和 yg（x） ，若满足 f（x）g（x）恒成立，
9、则称曲线 yg（x ）为曲线 yf（x ）在区域 D 上的紧邻曲线” 试问第 5 页（共 25 页）曲线 yf（x+1）与曲线 是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 ，P 为曲线 C 上的动点，C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点（1）求线段 OP 中点 Q 的轨迹的参数方程；（2）若 M 是（1）中点 Q 的轨迹上的动点，求MAB 面积的最
10、大值23已知函数 f（x ）|x +2|2| x1|（1）解不等式 f（x ）1；（2）若关于 x 的不等式 f（x）ax 只有一个正整数解，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2018 年山西省吕梁市孝义市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A2 ，1，0，1，2 ，Bx|（ x1） （x+2）0，则 AB（ ）A 1，0 B0 ，1 C 1，0，1 D0 ，1，2【分析】解一元二次不等式，求出集合 B，然后进行交集的运算
11、即可【解答】解：Bx| 2x 1，A2，1，0，1，2；AB1，0故选：A【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算2 （5 分）已知复数 （i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A （3，3） B （1，3） C （3，1） D （1，3）【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出【解答】解：复数 （1+2i） （1+i ）1+3i，则 z 的共轭复数 13i 在复平面内对应点的坐标是（ 1，3） 故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于
12、中档题3 （5 分）一次考试中，某班学生的数学成绩 X 近似服从正态分布 N（100，100） ，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到 90 分为及格） （参考数据：P（90X110）0.68） （ ）A60% B68% C76% D84%【分析】根据正态分布的性质分别求出 P（90X100） ，P（X100） ，从而得出P（X90） 【解答】解：X 服从正态分布 N（100，100） ，第 7 页（共 25 页）P（90X 100） P（90X110） 0.34，P（X100）0.5，P（X90）0.34+0.50.84故选：D【点评】本题考查了正态分布的性质，属于基础题4
13、（5 分）若函数 为奇函数，则 f（g（2） ）（ ）A2 B1 C0 D2【分析】求出 g（2）的值，从而求出 f（g（2） ）的值即可【解答】解：设 x0，则x0，故 f（x）2 x2f（x） ，故 x0 时，f（ x）22 x，由 g（2）f（2）24 2，故 f（g（2） ）f（2）f（2）2，故选：D【点评】本题考查了函数求值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题5 （5 分）已知点 P 是直线 x+yb0 上的动点，由点 P 向圆 O：x 2+y21 引切线，切点分别为 M，N，且MPN90，若满足以上条件的点 P 有且只有一个，则 b（ ）A2 B2 C
14、 D【分析】根据对称性得出 P 点位置，从而得出 P 点坐标，代入直线方程即可得出 b 的值【解答】解：过原点 O 作 x+yb0 的垂线 yx，垂足为 A，由对称性可知当 P 在 A 处时，MPN90，OA 平分MPN，OAMOAN45，过 A 的水平线与竖直线为圆的两条切线，故 A（1，1）或 A（1，1） ，代入 x+yb 0 可得 b2 或2第 8 页（共 25 页）故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，属于中档题6 （5 分）已知不等式组 表示的平面区域为 D，若函数 y|x1|+m 的图象上存在区域 D 上的点，则实数 m 的取值范围是（ ）A0
15、， B2， C 1， D 2，1【分析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数 y|x1| 的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：作出函数 y|x1| 的图象如图：则函数的图象关于 x1 对称，沿着对称轴 x1 平移 y|x1|图象，由图象可知当图象经过点 B 时函数 m 取得最小值，当图象经过点 D 时，m 取得最大值，由 ，解得 ，即 B（2，1） 此时1|21|+ m，即 m2，由 ，解得 ，即 D（1，1） ，此时 1m，即 m1，则实数 m 的取值范围2m1，故选：D第 9 页（共 25 页）【点评】本
16、题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为 1，则该几何体的体积是（ ）A B C D【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是 2，圆柱的高为 4，圆锥的高为 2，几何体的体积为： 故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键第 10 页（共 25 页）8 （5 分）设 ，若 a1+a470，则 a5（ ）A
17、32 B64 C128 D256【分析】写出二项式（12x） n 的展开式的通项，由题意列式求得 n，则答案可求【解答】解：二项式（12x） n 的展开式的通项 由 a1+a470，得 ，即 n5 故选：A【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题9 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A B0 C D【分析】算法的功能是求 Ssin +sin + 的值，利用正弦函数的周期性求输出 S 的值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求 Ssin +sin + 的值，第 11 页（共 25 页）20183366+2，Ssin +sin + 336
18、（sin +sin +sin ）+sin +sin3360+ + 故选：D【点评】本题考查了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题10 （5 分）设 P 为双曲线 上的点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，且 PF2 F1F2，PF 1 与 y 轴交于点 Q，O 为坐标原点，若四边形 OF2PQ 有内切圆，则 C 的离心率为（ ）A B C2 D3【分析】求出圆的圆心、半径和直线 PF1 的方程，根据切线的性质列方程求出 a，b，c的关系，得出离心率【解答】解：F 1（c ，0） ，F 2（c ，0） ，P（c，
19、 ） ，直线 PF1 的方程为 y x+ ，即 b2x2acy+ b2c0，四边形 OF2PQ 的内切圆的圆心为 M（ ， ） ，半径为 ，M 到直线 PF1 的距离 d ，化简得：2b 43ab 2c0，令 b1 可得 ac ，又 c2a 21，a ，c e 2故选：C【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题11 （5 分）在四面体 ABCD 中， ，BC6，AD底面 ABC，G 为DBC 的重心，且直线 DG 与平面 ABC 所成的角是 30，若该四面体 ABCD 的顶点均在球 O 的表第 12 页（共 25 页）面上，则球 O 的表面积是（ ）A24
20、B32 C46 D49【分析】根据线面角计算 AD，根据正弦定理和 AD 得出球心 O 的位置，计算出球的半径即可得出表面积【解答】解： ，BC 6，cosBAC ，即BAC120，延长 DG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点，连结 AM，DA平面 ABC，DMA 为直线 DG 与平面 ABC 所成的角，即DMA30，AM AB ，AD1，设 N 为ABC 的外心，则 ON平面 ABC，OAOD ， O 在 AD 的中垂线上，故而 ON DA ，由正弦定理可知 2NC 4 ，NC2 ，外接球的半径 OC ，球 O 的表面积 S4 49故选：D【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，
21、线面角的计算，属于中档题12 （5 分）设等差数列a n的公差为 ，前 8 项和为 6，记 ，则数列tanantanan+1的前 7 项和是（ ）第 13 页（共 25 页）A BC D【分析】由等差数列的求和公式可得首项，tana ntanan+1 11，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和【解答】解：等差数列a n的公差 d 为 ，前 8 项和为 6，可得 8a1+ 87 6，解得 a1 ，tanantanan+1 1 1，则数列tana ntanan+1的前 7 项和为（tana 8tana 7+tana7tana 6+tana2tan a1）7 （ta
22、na 8tana 7）7 （tan tan ）7 （tan tan ）7 （tan（ ）tan（ + ） ）7 （ ）7 故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用两角和差的正切公式的变形，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的张邱建算经 ，该问题的答案是 90 尺 第 14 页（共 25 页）【分析】根据条件建立等差数列模型，进行求解即可【解答
23、】解：由题意女子织布数目构成一个等差数列，首项为 a15，a 301，则 S30 90，故答案为：90 尺【点评】本题主要考查等差数列的应用，根据条件建立等差数列模型是解决本题的关键14 （5 分）已知向量 与 的夹角是 ，且| | + |，则向量 与 + 的夹角是 120 【分析】根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可【解答】解：向量 与 的夹角是 ，且| | + |， +2 + ，2 + 0，即 2| | |cos + 0，化简得| | | |，cos ，向量 与 + 的夹角是 120故答案为：120【点评】本题考查了根据平面向量的数量积求夹角、模长的应用问题，是基础题15 （5
24、分）已知函数 的周期为 ，当 时，函数 g（x）f （x）+m 恰有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 （3，2 【分析】利用二倍角和辅助角化简，根据周期为 ，可得 的值，当时，函数 g（x）f （x）+m 恰有两个不同的零点，转化为 f（x）图象与函数 ym 只有两个交点问题，即可求解第 15 页（共 25 页）【解答】解：函数可得 f（x） sinx+cosx+12sin（ ）+1f（x）的周期为 ， ，可得： 3那么 f（x）2sin（3x + ）+1当 时，则 3x+ ， f（x）图象与函数 ym 只有两个交点问题，根据正弦函数图象可得： m 21+1 即 2m3，实数 m 的取
25、值范围是（ 3，2 故答案为：（3，2【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简确定解析式，零点问题转化为交点问题是解决本题的关键属于中档题16 （5 分）当 x1 时，不等式（x1）e x+1ax 2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （，1 【分析】分离参数，构造函数利用导数求出函数的最值即可求解实数 a 的取值范围【解答】解：x1 时，不等式（x1）e x+1ax 2 恒成立（x1）e xax 2+10 恒成立，a ，在（1，+）恒成立，设 f（x） ，f（x）x 2ex 2（x1）e x+2e x（x 22x+2）+2e x（x1） 2+1+20 恒成立，
26、f（x）0 ，在（1，+）恒成立，第 16 页（共 25 页）f（x）在（1 ，+）单调递增，f（x） minf（1）1，a1，故答案为（，1【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系以及导数和函数最值的关系，考查了函数恒成立的问题，属于中档偏难题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ccosB+bcosC2acosA（1）求 A；（2）若 a2，sinBsinCsin 2A，D 为 BC 边上一点，且 ，求 AD 的长【分析】 （1）直接利用正弦定理的三角函数关系式
27、的恒等变换求出结果（2）利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果【解答】解：（1）ccos B+bcosC2acos A，sinCcosB+sin BcosC2sin AcosAsin（B+C） 2sinAcosA，sinA2sinAcosAA（0，） ，sinA0， ， （2）a2，sinBsinCsin 2A，bca 24由 a2b 2+c22bc cosA，得 4b 2+c24，b 2+c28，又 bc4，bc2则ABC 为等边三角形，且边长为 2，第 17 页（共 25 页） 在ABC 中，AB 2， ， ，由余弦定理可得：BD 2AB 2+AD22ABADcosB，整理得： ，解得： 【
28、点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90 ，AC 1平面 A1BC（1）证明：BCAA 1；（2）若 BCAC，A 1AA 1C，求二面角 B1A 1BC 的余弦值【分析】 （1）推导出 AC1BC，BCAC，从而 BC平面 ACC1A1，由此能证明BCAA 1（2）推导出 AC1A 1C，AA 1AC 取 A1C1 的中点 D1，连接 CD1，则CD1ACCD 1BC，建立空间直角坐标系 Cxyz利用向量法能求出二面角B1A 1BC 的余弦值【解答】证明：（1）AC 1 平面 A1BC，A
29、C 1BCBCA90，BCAC ，BC平面 ACC1A1，BCAA 1解：（2）AC 1平面 A1BC，AC 1A 1C，四边形 ACC1A1 为菱形， AA1AC 又 A1AA 1C， A 1AC 与 A1CC1 均为正三角形取 A1C1 的中点 D1，连接 CD1，则 CD1AC 第 18 页（共 25 页）由（1）知 CD1BC，则可建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz设 BCAC2，则 A（2，0，0） ， ，B（0，2，0） ， ， ， 设平面 B1A1B 的法向量为 （x ，y，z） ，则 ，取 z1，则 （ ，1）为平面 B1A1B 的一个法向量又 为平面 A1BC 的一个法向
30、量，cos ， 又二面角 B1A 1BC 的平面角为钝角，所以其余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）某大型商场去年国庆期间累计生成 2 万张购物单，从中随机抽出 100 张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元） （0，200 （200，400 （400，600 （600，800 （800，1000第 19 页（共 25 页）购物单张数 25 25 30由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布
31、直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 800 元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 600元者，可抽奖一次抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的 5 个红球和 5 个黑球的不透明口袋中，随机摸出 4 个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 X，当X4，2，0 时，消费者可分别获得价值 500 元、200 元和 100 元的购物券求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望【分析】 （1）由消费额在区间（0，400的频率为 0.5，能求出中位
32、数估计值为 400设所求概率为 p，而消费额在（0，600的概率为 0.8消费额在区间（600，800 内的概率为 0.2p由此求出消费额的平均值可估计为1000.25+3000.25+5000.3+700（0.2p）+900p令其与中位数 400 相等，能求出 p（2）根据题意 X 的可能取值为 4，2，0，分别求出相应的概率，设抽奖顾客获得的购物券价值为 Y，由此能求出 Y 的分布列和数学期望【解答】解：（1）因消费额在区间（0，400的频率为 0.5，故中位数估计值为 400设所求概率为 p，而消费额在（0，600的概率为 0.8故消费额在区间（600，800内的概率为 0.2p因此消费
33、额的平均值可估计为 1000.25+3000.25+5000.3+700（0.2p）+900p令其与中位数 400 相等，解得 p0.05（2）根据题意 X 的可能取值为 4，2，0，第 20 页（共 25 页）设抽奖顾客获得的购物券价值为 Y，则 Y 的分布列为X 4 2 0Y 500 200 100P故 （元） 【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查中位数、概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知抛物线 E：x 24y 的焦点为 F，P（a，0）为 x 轴上的点（1）当 a0 时，过点 P 作直线
34、 l 与 E 相切，求切线 l 的方程；（2）存在过点 P 且倾斜角互补的两条直线 l1，l 2，若 l1， l2 与 E 分别交于 A，B 和C，D 四点，且FAB 与FCD 的面积相等，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）根据题意，设切点为 ，直线 l 的斜率为 k，利用导数的几何意义分析可得 ky ，即可得 Q 点处的切线方程，将 P 的坐标代入切线方程，分析可得 x02a 或 x00，即可得答案；（2）设直线 l1 的方程为 yk（xa） ，则直线 l2 的方程为 yk（xa） ，分别与抛物线的方程联立，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由根与系数的关系分析可得 F
35、AB 与FCD 的面积的表达式，结合题意可得 ，化简可得（2a 2）k 21，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，过点 P 作直线 l 与 E 相切，设切点为 ，直线 l 的斜率为 k，又由 x24y，即 y ，则 y ，则 ky ，第 21 页（共 25 页）Q 点处的切线方程为 l 过点 P， ，解得 x02a 或 x00当 a0 时，切线 l 的方程为 y0 或 axya 20（2）设直线 l1 的方程为 yk（xa） ，代入 x24y 得 x24kx +4ka0，16k 216ka0，得 k（ka）0，由题意得，直线 l2 的方程为 yk（xa） ，同理可得k（k a）0，即 k（
36、k+a）0，得 k2（k 2a 2）0，a 2k 2设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x2+x24k ，x 2x24ka 点 F 到 AB 的距离为 ，FAB 的面积为 同理FCD 的面积为 由已知得 ，化简得（2a 2）k 21，欲使 有解：则 a22， 又 ，得 k21，a 21综上，a 的取值范围为 或1a1 或 【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系，涉及抛物线的标准方程以及导数的几何意义，属于综合题21 （12 分）已知函数 f（x ）mlnx（1）讨论函数 的单调性；（2）定义：“对于在区域 D 上有定义的函数 yf（x）和 yg（x） ，若满足 f（x）g（
37、x）恒成立，则称曲线 yg（x ）为曲线 yf（x ）在区域 D 上的紧邻曲线” 试问曲线 yf（x+1）与曲线 是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由第 22 页（共 25 页）【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的切线方程得到方程组，由（1）得 代入（2）消去x1，整理得 ，关于 x2（x 21）的方程有唯一解，令 ，根据函数的单调性求出 g（x）的最小值，根据函数的单调性求出 m 的值【解答】解：（1） 当 m0 时，F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单调递减；当 m0 时，令 F（x）0，
38、得 ，函数 F（x）在 上单调递减；令 F（x） 0，得 ，函数 F（x ）在 上单调递增综上所述，当 m0 时，F（ x）在（0，+）上单调递减；当 m0 时，F（x）在 上单调递减，在 上单调递增（2）原命题等价于曲线 yf （x+1）与曲线 是否有相同的外公切线函数 f（x+1）mln（x+1 ）在点（x 1，mln（x 1+1） ）处的切线方程为，即 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 曲线 yf（x+1）与 的图象有且仅有一条外公切线，所以有唯一一对（x 1，x 2）满足这个方程组，且 m0，第 23 页（共 25 页）由（1）得 代入（2）消去 x1，整理得，关于 x2（x 21）
39、的方程有唯一解令 ， 当 m0 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增；所以 因为 x+，g（x ）+ ；x1，g（x ）+ ，只需 mmlnm 10令 h（m）mmlnm1，h（m）lnm 在 m0 为单减函数，且 m1 时，h（m）0，即 h（m） maxh（1）0，所以 m1 时，关于 x2 的方程 有唯一解，此时 x1x 20，外公切线的方程为 yx这两条曲线存在相同的紧邻直线，此时 m1【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及学生理解问题、解决问题的能力，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分）在
40、平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 ，P 为曲线 C 上的动点，C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点（1）求线段 OP 中点 Q 的轨迹的参数方程；（2）若 M 是（1）中点 Q 的轨迹上的动点，求MAB 面积的最大值【分析】 （1）由 C 的方程可得 2+32sin216，由此能求出 C 的直角坐标方程，设P（4cos，2sin ） ，则 Q（2cos，sin ） ，由此能求出点 Q 的轨迹的参数方程（2）求出点 Q 的轨迹的普通方程和直线 AB 的方程，设 M（2cos，sin） ，求出点 M到 AB
41、 的距离为 ，由此能求出MAB 面积的最大值第 24 页（共 25 页）【解答】解：（1）由 C 的方程可得 2+32sin216，又 2x 2+y2，ysin，C 的直角坐标方程为 x2+4y216，即 设 P（4cos，2sin ） ，则 Q（2cos，sin ） ，点 Q 的轨迹的参数方程为 （ 为参数） （2）由（1）知点 Q 的轨迹的普通方程为 ，A（4，0） ，B （0，2） ， ，所以直线 AB 的方程为 x+2y40设 M（2cos ，sin ） ，则点 M 到 AB 的距离为 ，MAB 面积的最大值为 【点评】本题考查点的轨迹的参数方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考
42、查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23已知函数 f（x ）|x +2|2| x1|（1）解不等式 f（x ）1；（2）若关于 x 的不等式 f（x）ax 只有一个正整数解，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）化简函数为分段函数，通过 x 的范围转化求解不等式的解集即可（2）利用函数的图象，转化求解即可【解答】解：（1）当 x2 时，x 41，解得 x5，x2；当2x1 时，3x 1，解得 ， ；当 x1 时，x +41，解得 x3，x3综上，不等式的解集为 （2）作出函数 yf（x）与 yax 的图象，第 25 页（共 25 页）由图象可知当 1a3 时，不等式只有一个正整数解 x1，1a3【点评】本题考查函数的图象的应用，不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查数形结合以及转化思想以及计算能力