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2019年北师大版数学选修1-1讲义:1.2.1 充分条件-1.2.2 必要条件

1、21 充分条件22 必要条件学习目标 1.了解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力知识点一 充分条件与必要条件的概念给出下列命题:(1)若 xa2b 2,则 x2ab;(2)若 ab0,则 a0.思考 你能判断这两个命题的真假吗?答案 (1)真命题;(2) 假命题梳理 一般地, “若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说,由p 可推出 q,记作 pq,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件知识点二 充分条件与必要条件的判断命题真假 “若

2、 p,则 q”为真命题 “若 p,则 q”为假命题推出关系 pq pq条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件1命题“若 p,则 q”是假命题,p 不是 q 的充分条件,q 也不是 p 的必要条件( )2在判定定理中,条件是结论的充分条件( )3若 p 是 q 的充分条件,则 p 是唯一的( )4若 q 是 p 的必要条件,则 p 是 q 的充分条件( )类型一 充分条件与必要条件的判断例 1 (1)判断下列说法中,p 是 q 的充分条件的是 (填序号)p:“x1” ,q:“x 22x 10” ;已知 , 是不同的两个平面,直线 a,

3、直线 b,p:a 与 b 无公共点,q:;设 a,b 是实数,p:“ab0” ,q:“ab0” 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 解析 对,pq;对,p q;对,p q,故填.(2)下列各题中,p 是 q 的必要条件的是 ( 填序号)p:x 22 016,q:x 22 015;p:ax 22ax10 的解集是实数集 R,q:0b1,q:log 2alog2b0.考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 必要条件的判断答案 解析 qp;p:0alog2b0ab1,qp,故填.引申探究 本例(1)中 p 是 q 的必要条件的是 答案 解析 x 22x 10x 1,即 q

4、p;Error!a 与 b 无公共点,即 qp;qp故填.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法确定谁是条件,谁是结论;尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为结论的充分条件,否则就不是充分条件;尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为结论的必要条件,否则就不是必要条件(2)命题判断法如果命题:“若 p,则 q”为真命题,那么 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件;如果命题:“若 p,则 q”为假命题,那么 p 不是 q 的充分条件,同时 q 也不是 p 的必要条件跟踪训练 1 对任意实数 a,b,c,在下列命题中,真命题是( )A “acbc”是“a

5、 b”的必要条件B “acbc ”是“ab”的必要条件C “acbc”是 “ab”的充分条件D “acbc”是“ab”的充分条件考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 必要条件的判断答案 B解析 Error!a b,Error!abcab,而由 abacbc,“acbc”既不是 “ab”的充分条件,也不是“ab”的必要条件,故 A,C 错误又Error!ab,Error!ab,由 acbcab,而由 abacbc,“acbc”是“ab”的必要不充分条件,故选 B.类型二 充分条件与必要条件的应用例 2 已知 p:x 2x 60,q:x 24x49m 20,若 q 是 p 的充分条件,求正实数

6、 m 的取值范围考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 解不等式得 p:2x3,当 m0 时,q: 23mx23m,由 q 是 p 的充分条件可得 qp,从而Error!00),q 是 p 的必要条件,pq,从而Error!解得 m .43正实数 m 的取值范围为 .43, )反思与感悟 1.设集合 Ax|x 满足 p,Bx|x 满足 q,则 pq 可得 AB;qp 可得BA;pq 可得 AB,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 AB.2利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值跟踪训练 2 已知 p:关于

7、x 的不等式 0,3 m2 3 m2要使 AB,应有 Error!解得 00”是“x 0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分条件 D既不充分又不必要条件考点 充分条件、必要条件的综合应用题点 充分不必要条件的判定答案 A解析 x0x0,而 x0x0,x0 是 x0 的充分不必要条件2若 aR,则“a2”是“ (a1)(a2) 0”的( )A充分条件B必要条件C既不充分又不必要条件D无法判断考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 A解析 a2(a1)(a2)0,a2 是(a1)( a2)0 的充分条件3设 xR,则 x2 的一个必要条件是( )Ax1 Bx3

8、Dx2x1,x1 是 x2 的必要条件4 “一元二次方程 ax2bx c 0( a0)的两根都大于 3”是“Error!, ”的 条件(填“充分” “必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 若方程的两根都大于 3,即 x13,x 23,可得Error!成立,故“一元二次方程 ax2bxc 0( a0)的两根都大于 3”是“Error!”的充分条件5不等式(ax)(1 x)2解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有(2,1) x|(ax)(1x)2.1充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法:直接利用定义进行判断(2)等价法:“pq”表示 p

9、等价于 q,等价命题可以进行转换,当我们要证明 p 成立时,就可以去证明 q 成立(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件 p 和结论 q 相应的集合分别为 A 和 B,那么若 AB,则 p 是 q 的充分条件;若 AB,则 p 是 q 的必要条件;若 AB,则 p 是 q 的既充分又必要条件2根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组) 进行求解一、选择题1 “x 为无理数”是“x 2 为无理数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分条件 D既不充分又不必要条件考点

10、充分条件、必要条件的综合应用题点 必要不充分条件的判定答案 B解析 当 x2 为无理数时,x 为无理数;当 x 为无理数时, x2 不一定为无理数2设 a,bR,则“ab 2”是“a1 且 b1”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分条件 D既不充分又不必要条件考点 充分条件、必要条件的综合应用题点 必要不充分条件的判定答案 B解析 由 ab2a1 且 b1,所以“ab2”不是“a 1 且 b1”的充分条件又“a1 且 b1”一定能推出“ab2 ”,故“ab2”是“a1 且 b1”的必要不充分条件3已知命题“若 p,则 q”,假设其逆命题为真,则 p 是 q 的( )A充分条件B必要

11、条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 必要条件的判断答案 B解析 原命题的逆命题:“若 q,则 p”,它是真命题,即 qp,所以 p 是 q 的必要条件4设 R,则“0”是“ f(x)cos(x )(xR)为偶函数 ”的( )A充分条件 B必要条件C以上都不对 D不确定考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 A解析 当 0 时,f(x )cos(x )cos x(xR)是偶函数,而 f(x)cos(x)(xR )是偶函数不一定得出 0,故 A 正确5a1 B. 0考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 必要条件的判断答案 C解

12、析 ab2,q:x 2考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 必要条件的判断答案 A解析 由 ABA 能得出 AB,其余选项都不符合要求7 “x24”是“x m”的必要条件,则 m 的一个值可以是( )A0 B2C4 D16考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的值答案 B解析 由 x2 能得出 x24,所以选项 B 正确8集合 A ,B x|a0”是“x 1”的必要条件;已知向量 m,n,则“m n”是“mn”的充分条件;“a 3b3”是“a b”的必要条件;在ABC 中, “ab”不是 “AB”的充分条件考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 必要条件的判

13、断答案 解析 中,当 x1 时,有 x0,所以正确;中,当 mn 时,mn 不一定成立,所以不正确;中,ab 能推出 a3b3,即 a3b3 是 ab 的必要条件,所以正确;中,当 ab 时,有 AB,所以“ab”是“AB”的充分条件,所以不正确12已知 p:4b 恒成立的实数 b的取值范围考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于 p:x 22x 30) 依题意,得x|10),所以Error!解得 a2,则使 ab 恒成立的实数 b 的取值范围是 bd”和“ad”为真,所以它的逆否命题“cda0,且 a1) 有意义,q:关于实数 t 的不等式t2(a3) t(a2)0,解得 1t ,52所以实数 t 的取值范围是 .(1,52)(2)因为命题 p 是 q 的充分条件,所以 是不等式 t2(a3) t( a2)0 的解集的子集,t1t52因为方程 t2(a3)t( a2) 0 的两根为 1 和 a2,所以只需 a2 ,解得 a ,52 12即实数 a 的取值范围为 .12, )