1、章末复习学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题1函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果 f( x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内是增加的；如果 f(x )0，当 xa 时，f(x)a 时，f(x)0，则点 a 叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值2求函数 yf( x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数 yf(x )在(a，b)内的极值(2)将函数 yf(x )的各极值与端点处函数值 f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值类型一
2、导数中的数形结合思想例 1 已知函数 yxf (x )的图像如图所示( 其中 f(x) 是函数 f(x)的导函数)，则 yf (x)的图像大致是( )考点 数形结合思想在导数中的应用题点 数形结合思想在导数中的应用答案 C解析 当 00，f(x )0，故 yf(x) 在(1,2)上是增加的，因此排除 D.反思与感悟 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内是增加的，在哪个区间内是减少的；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪训练 1 函数 f(x)ln
3、 x x2 的大致图像是( )12考点 数形结合思想在导数中的应用题点 数形结合思想在导数中的应用答案 B解析 函数 f(x)ln x x2 的定义域为(0，) ，12f(x) x .1x 1 x2x 1 x1 xx令 f(x )0，得 0.1 x1 xx又因为 x0，所以(1x)(1 x)0，所以 01.于是当 01 时，函数 f(x)是减少的；当 x1 时，f(x) 0 时，xf( x)f( x)0.g(x)在(0，)上是减少的 f(b )g(b) Bf (x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g( b)f(b)g(x) Df (x)g(x)f(a)g(a)考点 利用导数研究函数的单调性题
4、点 比较函数值的大小答案 C解析 由条件，得 f(b) g(x)命题角度 2 求解不等式例 3 定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数 f(x)，满足 f(x)2ex 的解集为 ( )A(，0) B( ，2)C(0，) D(2，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 求解不等式答案 C解析 设 g(x) ，则 g(x) .fxex f x fxexf(x)0，即函数 g(x)在定义域内是增加的f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于 g(x)g(0)函数 g(x)在定义域内是增加的，x0，即不等式的解集为(0，) ，故选 C.反思与感悟 应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条
5、件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到 x 的取值范围跟踪训练 3 函数 f(x)的定义域为 R，f (1) 2，对任意 xR，f( x)2，则 f(x)2x4 的解集为( )A(1,1) B( 1，)C(，1) D(，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 求解不等式答案 B解析 令 g(x)f(x)2x 4， f(x)2，则 g(x) f(x)20.又由 g(1) f( 1)2( 1)40，得 g(x)0，即 g(x)g(1) 的解为 x1，f(x)2x4 的解集为(1，)类型三 利用导数研究函数的极值与最值例 4 已知函数 f(x)x 3ax 2b 的图像上一点 P(1
6、,0)，且在点 P 处的切线与直线 3xy0平行(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间 0，t(00.要使 g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则Error! 解得20，得 x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4) 和(4，)f(x) 极大值 f(4)128，f(x) 极小值 f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上是减少的，在4,5上是增加的，f(4)128，f(1) 47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.类型四 导数的综合应用例 5 已知函数 f(x)x 3ax 1.(1)若 f(x)在 R 上是增加的，求 a 的取值
7、范围；(2)是否存在实数 a，使 f(x)在( 1,1)上是减少的，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由考点 利用函数的单调性求变量题点 已知函数的单调性求参数解 (1)f(x) 3x2a，因为 f(x)在 R 上是增加的，所以 f(x) 0 在 R 上恒成立，即 3x2a0 在 R 上恒成立即 a3x 2，而 3x20，所以 a0.当 a0 时，f(x )x 31 在 R 上是增加的，符合题意所以 a 的取值范围是(， 0(2)假设存在实数 a，使 f(x)在( 1,1)上是减少的，则 f(x )0 在(1,1)上恒成立，即 3x2a0 在( 1,1)上恒成立，即 a3x 2，
8、又因为在(1,1)上，00；当 10，a0.5已知函数 f(x) 在( 2，) 内是减少的，则实数 a 的取值范围为_ax 1x 2考点 利用函数的单调性求变量题点 已知函数的单调性求参数答案 ( ，12)解析 因为 f(x) ，所以 f( x) .ax 1x 2 2a 1x 22由函数 f(x)在(2，)内是减少的，知 f(x )0 在(2，)内恒成立，即 0 在(2，)内恒成立，因此 a .2a 1x 22 12当 a 时，f(x ) ，此时函数 f(x)为常函数，12 12故 a 不符合题意，舍去12故实数 a 的取值范围为 .( ，12)导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作
9、用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法一、选择题1已知函数 f(x) ln x，则有( )xAf(2)0 在(0，)上恒成立，12x 1xf(x)在(0，)上是增加的，f(2)0)的导数 f( x)的最大值为 5，则在函数 f(x)图像上的23点(1，f(1)处的切线方程是( )A3x15y40 B15x3y20C15x 3y 20 D3xy10考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程答案 B解析 f(x)2x 24ax 32(x a)
10、 232a 2，f(x )max32a 25，又 a0，a1.f(x )2x 24x 3，f(1)2435，又 f(1) 23 ，23 133所求切线方程为 y 5(x1)133即 15x3y20.6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)1，且对任意 xR，都有 f(x)12的解集为( )x 12A(1,2) B(，1)C(1，) D(1,1)考点 利用导数研究函数的单调性题点 求解不等式答案 B解析 f(x) ，即为 f(x) x ，即12 12 12 x 12 12 12h(x)h(1)，得 x0，(x 13) 23yx 3x 2xa 在 R 上是增加的，故 x3x 2x a0 有
11、1 个实数根二、填空题9函数 yx 3x 25x5 的递增区间是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 ，(1 ，)( ， 53)解析 令 y3x 22x 50 ，得 x1.5310设函数 f(x)ax 33x 1(xR )，若对于任意的 x(0,1都有 f(x)0 成立，则实数 a 的取值范围为_考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 4，)解析 x(0,1，f(x )0 可化为 a .3x2 1x3令 g(x) ，则 g(x) ，3x2 1x3 31 2xx4令 g(x) 0，得 x .12当 00；12当 0 的解集是 x|002x x 2000
12、，2 2所以 f(x)是增加的，所以 f( )是极小值，f( )是极大值，故正确；2 2由题意知，f( )为最大值，且无最小值，故错误，正确故判断正确的为.2三、解答题12已知 f(x)x 2aln x，求 f(x)在1 ，)上的最小值解 f(x) 2x ，ax 2x2 ax(1)当 a2 时，f ( x)0 在1，)恒成立f(x)在1，)上是增加的，f(x) minf(1)1.(2)当 a2 时，令 f(x )0，得 x 或 x (舍)，2a2 2a2且当 a2 时， 1，2a2当 x 时，f(x )0.1，2a2) ( 2a2， )f(x)在 上是减少的，在 上是增加的1，2a2) ( 2
13、a2， )f(x) minf ln .(2a2) a2 a2 a2四、探究与拓展13已知函数 f(x)ax 21( a0)，g( x)x 3bx .(1)若曲线 yf(x )与曲线 yg(x)在它们的交点(1 ，c)处具有公共切线，求 a，b 的值；(2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g( x)在区间k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数解 (1)f(x) 2ax，g(x) 3x2b.因为曲线 yf(x )与曲线 yg (x)在它们的交点(1 ，c )处具有公共切线，所以 f(1)g(1)，且 f(1)g(1)，即 a11b 且 2a3b，解得 a3，b3.(2)记 h(x)f(x)g( x)，当 a3，b9 时，h(x)x 33x 29x1，所以 h(x) 3x 26x9.令 h(x) 0，得 x13，x 21.h(x)，h(x) 在(，2上的变化情况如下表：x (，3) 3 ( 3,1) 1 (1,2) 2h(x) 0 0 h(x) 28 4 3由表可知当 k3 时，函数 h(x)在区间k,2上的最大值为 h(3) 28；当3k2 时，函数 h(x)在区间 k,2上的最大值小于 28.因此，k 的取值范围是( ，3