1、2.2 最大值、最小值问题第 1 课时 函数的最值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点 函数的最大(小)值与导数如图为 yf(x) ，x a，b的图像思考 1 观察a，b上函数 yf (x)的图像，试找出它的极大值、极小值答案 极大值为 f(x1)，f(x 3)，极小值为 f(x2)，f(x 4)思考 2 结合图像判断，函数 yf (x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在，f(x )minf(a)，f(x) maxf(x 3)思考 3 函数 yf( x)在a，b上的最大(小) 值一定是某极值吗
2、？答案 不一定，也可能是区间端点的函数值梳理 最值的概念及求法(1)函数 f(x)在闭区间 a，b上的最值、最值点函数 yf(x) 在区间a，b上的最大值点 x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 f(x0)，把 f(x0)叫作 yf(x)在a，b上的最大值函数 f(x)在区间a，b上的最小值点 x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不低于 f(x0)，把 f(x0)叫作 yf(x )在a，b上的最小值函数的最大值和最小值统称为最值(2)求连续函数 yf(x )在a，b上的最大( 小)值的步骤求函数 yf(x )在区间( a，b) 内的极值将函数 yf(x )的各极值与端点
3、处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值( )2函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值一定大于极小值( )3单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值( )4若函数存在最大(小)值，则最大(小) 值唯一( )类型一 求函数的最值命题角度 1 不含参数的函数求最值例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)2x 312x，x 2,3 ；(2)f(x) xsin x ，x0,212考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 (1)因为 f(x)2x 312x，所以 f(x) 6x 2126( x )(x )，
4、2 2令 f(x )0，解得 x 或 x .2 2因为 f(2) 8 ，f(3)18，f( )8 ，2 2f( ) 8 ；2 2所以当 x 时， f(x)取得最小值8 ；2 2当 x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x) cos x ，令 f(x) 0，又 x0,2 ，12解得 x 或 x .23 43因为 f(0)0，f(2) ，f ，(23) 3 32f .(43) 23 32所以当 x0 时，f( x)有最小值 0；当 x2 时，f(x) 有最大值 .反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验 f(x)0 的根是否在给定区间内(2)研
5、究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练 1 求函数 f(x)e x(3x 2)，x 2,5的最值考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 f(x) 3e xe xx2，f(x )3e x(e xx22e xx)e x(x22x3)e x(x3)(x 1) 在区间2,5上，f(x) e x(x3)( x1)0，则令 f(x) 0，解得 x .a由 x0,1，则只考虑 x 的情况a当 00，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 1 ( 1,0) 0 (0,2) 2f(x ) 0 f(x) 7ab b 16ab由表可知
6、，当 x0 时，f( x)取得极大值 b，也是函数 f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又 f(1)7 a3，f(2)16a3f(1) ，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围) 是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练 3 设 f(a)，f(1)f(1) ，故需比a32较 f(0)与 f(1)及 f(1)与 f(a)的大小因为 f(0)f(1) a10 ，32所以 f(x)的最大值为 f
7、(0)b1.又 f(1)f(a) (a1) 2(a2)0，又x(0,1)，07.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论一、选择题1函数 yxsin x，x 的最大值是( )2，A 1 B. 1 C D 12考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值答案 C解析 y1cos x0，故 yx sin x 在 上是增加的，所以当 x 时，y max.2，2函数 f(x) 在2,4上的最小值为( )xexA0 B.1eC. D.4e4 2e2答案 C解析
8、 f(x) ，当 x2,4 时，f (x)0.所以 f(x)在1,0)上是减少的，在(0,1上是增加的又因为 f(1) 1，f(1)e1，1e所以 f(1) f(1)2 e0，b0 ，所以 f(x)ax 3bx2 x在1,1上是增加的，故 f(x)在0,1 上的最大值 f(1)ab24，ab2，f(x)在 1,0 上的最小值 f(1)( ab)2 1 2 .12 328函数 f(x)x 33x 1，若对于区间 3,2上的任意 x1，x 2，都有|f(x 1)f (x2)|t ，则实数 t的最小值是( )A20 B18 C3 D0考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 A解析 由
9、f(x )3x 230，得 x1，则 f(x)minf(3)19，f(x) maxf(1) 1，由题意知|f( x1) f(x2)|max|191|20，t20，故 tmin20.二、填空题9已知 a0，若函数 f(x) 在1,1上的最大值为 2，则实数 a 的值为_x 12x2 a考点 含参数的函数的最值问题题点 已知最值求参数答案 1解析 求导得 f(x ) ，2x 1a xx2 a2令 f(x )0，可得 x1 或 xa，又 f(1)0， f(a)1 ，f(1) ，1a 41 a若 1 2，则有 a1；若 2，则也有 a1，1a 41 a因此 a1.10已知函数 f(x)x 3ax 24
10、 在 x2 处取得极值，若 m，n1,1 ，则 f(m)f(n) 的最小值是_考点 函数最值的应用题点 已知极值求最值答案 13解析 f(x) 3x 22ax ，由题意知 f(2)0，得 a3，f (x)x 33x 24，令 f(x )3x 26x 3x (x2) 0，解得 x10，x 22(舍去)，f(1)0，f(0)4，f(1)2，f(x) min4，f(x) 3x 26x3(x1) 23，f(x) minf(1)9，f(m)f(n)的最小值是4913.11函数 f(x)ax 44ax 2b (a0,1x2)的最大值为 3，最小值为 5，则a_，b_.考点 含参数的函数最值问题题点 己知最
11、值求参数答案 2 3解析 f(x) 4ax 38ax 4ax( x22) ，a0，x1,2，当 x(1， )时，f ( x)0，2f(x) minf( )b4a5，2f(x)maxf(2)b 3，由可得 a2，b3.三、解答题12已知函数 f(x)x 3ax 2 3x.(1)若 f(x)在1 ， )上是增加的，求实数 a 的取值范围；(2)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)在1，a上的最大值和最小值考点 函数最值的应用题点 已知极值求最值解 (1)f(x) 3x22ax3，x1 ，)时 f(x)0 恒成立，a min3( 当且仅当 x1 时取等号)32(x 1x)a3.(2)由题意知
12、 f(3)0，即 276a30，a5，f(x) x 35x 23x ，f(x)3x 210x3.令 f(x )0，得 x13，x 2 (舍去)13当 10，即当 x3 时，f( x)取极小值 f(3)9.又 f(1)1，f(5) 15，f(x)在1,5 上的最小值是9，最大值是 15.13设 f(x)ln x ，g( x)f(x )f ( x)(1)求 g(x)的单调区间和最小值；(2)求 a 的取值范围，使得 g(a)g(x)0 恒成立1a考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)由题设知 f(x)的定义域为(0 ，)，f(x) ，所以 g(x)ln x ，1x 1x所以 g
13、(x) .x 1x2令 g(x) 0，得 x1，当 x(0,1)时，g( x)0，故(1，) 是 g(x)的递增区间因此 x1 是 g(x)在(0 ，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 g(1)1.(2)因为 g(a)g(x)0 恒成立，1a即 ln a0 恒成立由(1)知，g(x) 的最小值为 1，所以 ln a0)y2t 1t 2t2 1t .2(t 22)(t 22)t当 0 时，y0，可知 y 在 上是增加的22 ( 22， )故当 t 时，| MN|有最小值2215已知函数 f(x)ln x a(1x )(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围解 (1)f(x) 的定义域为 (0，)，f(x) a.1x当 a0 时，f(x )0，所以 f(x)在(0，)上是增加的若 a0，则当 x 时，f (x)0；(0，1a)当 x 时，f(x )0 时，f( x)在 x 处取得最大值，最大值为 f ln a ln aa1.1a (1a) 1a (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln aa10，1a则 g(a)在(0 ，)上是增加的，又 g(1)0，于是，当 01 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)