1、2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一 导数的概念思考 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？答案 平均变化率刻画函数值在区间x 1，x 2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x0 点处变化的快慢；当 x 趋于 0 时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x0 处的yx瞬时变化率，它是一个固定值梳理 导数的定义函数 yf(x) 在 x0 点的瞬时变化率 是函数 yf(x)在 x0 点的导数用符号 f(x 0)表示，记作：f(x 0) .limx1 x0fx
2、1 fx0x1 x0 lim x 0fx0 x fx0x知识点二 导数的几何意义如图，P n 的坐标为(x n，f(x n)(n1,2,3,4，) ，P 的坐标为 (x0，f(x 0)，直线 PT 为过点 P 的切线思考 1 割线 PPn 的斜率 kn 是多少？答案 割线 PPn 的斜率 kn .fxn fx0xn x0思考 2 当点 Pn 无限趋近于点 P 时，割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？答案 k n 无限趋近于切线 PT 的斜率 k.梳理 (1)切线的定义：当 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P
3、 处的切线(2)导数 f(x 0)的几何意义：函数 f(x)在 xx 0 处的导数，是曲线 yf (x)在(x 0，f (x0)处的切线的斜率 k，即 k f ( x0)limx 0fx0 x fx0x(3)切线方程：曲线 yf(x )在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x 0)f ( x0)(xx 0)1函数在某一点的导数与 x 值的正、负无关( )2函数 f(x)在 xx 0 处的导数值是 x0 时的平均变化率 ( )3若函数 yf( x)在 xx 0 处有导数，则函数 yf(x)在 x x0 处有唯一的一条切线( )4函数 yf(x)在 xx 0 处的切线与函数 yf(x)的
4、公共点不一定是一个 ( )类型一 利用定义求导数例 1 建造一栋面积为 x 平方米的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，y f (x) 0.3，求 f(100)，并解释它的实际意义x10 x10解 当 x 从 100 变为 100x 时，函数值 y 关于 x 的平均变化率为f100 x f100x ，100 x 100 x 3 100 100 310x ，110 110 100 x 10f(100) ，limx 0f100 x f100x 0.105，limx 0110 110 100 x 10f(100)0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的速度为 1 050 元
5、/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每增加 1 平方米的建筑面积，成本就要增加 1 050 元反思与感悟 求一个函数 yf (x)在 xx 0 处的导数的步骤(1)求函数值的变化量 yf(x 0x)f (x0)(2)求平均变化率 .yx fx0 x fx0x(3)取极限，得导数 f( x0) .limx 0yx跟踪训练 1 利用导数的定义求函数 f(x)x 23x 在 x2 处的导数考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数解 由导数的定义知，函数在 x2 处的导数f(2) ，limx 0f2 x f2x而 f(2x)f(2)(2x) 23(2x)( 2 232)
6、(x) 2 x，于是 f(2) (x1) 1.limx 0 x2 xx lim x 0类型二 求切线方程例 2 已知曲线 y2x 2 上一点 A(1,2)，求：(1)点 A 处的切线的斜率；(2)点 A 处的切线方程考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点的切线方程解 (1) limx 0yx lim x 021 x2 212x (42x )4，limx 04x 2x2x lim x 0点 A 处的切线的斜率为 4.(2)点 A 处的切线方程是 y24(x1)，即 4xy20.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练 2 曲线 yx 21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵
7、坐标是_考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点处的切线方程答案 3解析 limx 0yx lim x 02 x2 1 22 1x (4x )4，limx 0曲线 yx 21 在点(2,5)处的切线方程为y54( x2) ，即 y4x3.切线与 y 轴交点的纵坐标是3.类型三 求切点坐标例 3 已知抛物线 y2x 21 分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为 45；(2)切线平行于直线 4xy20；(3)切线垂直于直线 x8y30.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则 y2( x0x) 212x 14x 0x2(x)202， 4x 0
8、2x，yx当 x 趋于 0 时， 趋于 4x0，即 f( x0)4x 0.yx(1)抛物线的切线的倾斜角为 45，斜率为 tan 451.即 f(x 0)4x 01，得 x0 ，14切点坐标为 .(14，98)(2)抛物线的切线平行于直线 4xy20，k4，即 f (x0)4x 04，得 x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8y30 垂直，则 k 1，即 k8，( 18)故 f(x 0)4x 08，得 x02 ，切点坐标为(2,9)反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)(2)求导函数 f( x)(3)求切线的斜率 f( x0)(4)由斜率
9、间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0.(5)点(x 0，y 0)在曲线 f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标跟踪训练 3 已知直线 l：y 4xa 与曲线 C：y f(x)x 32x 23 相切，求 a 的值及切点坐标考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y 0)f(x ) limx 0fx x fxx limx 0x x3 2x x2 3 x3 2x2 3x3x 24x，由题意可知 k4，即 3x 4x 04，20解得 x0 或 x02，23切点坐标为 )或(2,3)( 23，4927)当切点为 时，有 4 a，a .(
10、 23，4927) 4927 ( 23) 12127当切点为(2,3)时，有 342a，a5.当 a 时，切点为 ；12127 ( 23，4927)当 a5 时，切点为(2,3)1设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且有 f(x0 x)f (x0)a xb( x)2(a，b 为常数) ，则( )Af(x) a Bf(x)bCf(x 0)a Df(x 0)b考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 C解析 f(x 0) limx 0fx0 x fx0x (ab x)a.limx 02曲线 f(x) 在点(3,3) 处的切线的倾斜角等于( )9xA45 B60 C135
11、D120考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 C解析 f(x) limx 0fx x fxx9 limx 01x x 1xx9 ，limx 0 1x xx 9x2f(3) 1，99又直线的倾斜角范围为0，180)，倾斜角为 135.3.如图，函数 yf( x)的图像在点 P(2，y)处的切线是 l，则 f(2)f(2)等于( )A4 B3C2 D1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 D解析 由题干中的图像可得函数 yf (x)的图像在点 P 处的切线是 l，与 x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知 l：xy4，f(2)2，f (2
12、) 1，代入可得 f(2)f(2)1，故选 D.4已知函数 f(x) ，则 f(1) _.1x答案 12解析 f(1) limx 0f1 x f1x lim x 011 x 1x .limx 0 11 x1 1 x 125求曲线 yf( x) 在点 处的切线方程1x (2，12)考点 切线方程的求解及应用题点 求曲线的切线方程解 因为 limx 0f2 x f2x limx 012 x 12x .limx 0 122 x 14所以曲线在点 处的切线斜率为 ，(2，12) 14由直线的点斜式方程可得切线方程为y (x2)，12 14即 x4y40.1导数 f(x 0)的几何意义是曲线 yf (x
13、)在点(x 0，f(x 0)处的切线的斜率，即 k f(x 0)limx 0fx0 x fx0x2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 yf (x0)f ( x0)(xx 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x 0)，表示出切线方程，然后求出切点一、选择题1曲线 y 在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )1xA. B.4 3C. D.23 34考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 D解析 函数 y 在 x1 处的导数为 1，1x lim x 0( 11 x)由 tan 1 及 00)，g( x)x 3bx ，若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 f(x) 2ax，limx 0yx lim x 0ax x2 1 ax2 1xf(1)2a，即切线斜率 k12a.g(x ) 3x 2b，limx 0yx lim x 0x x3 bx x x3 bxxg(1)3b，即切线斜率 k23b.在交点(1，c)处有公共切线， 2a3b.又a11b，即 ab，故可得Error!