1、4 导数的四则运算法则学习目标 1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数知识点一 导数的加法与减法法则已知 f(x)x，g( x) .1x思考 1 f(x) ，g(x)的导数分别是什么？答案 f(x) 1，g(x) .1x2思考 2 若 yh( x)f( x)g(x)，I( x)f (x)g(x)，那么 h (x)，I( x)分别与 f(x) ，g(x)有什么关系？答案 y(xx) 1x x (x 1x) x ， xxx x 1 .yx 1xx xh(x ) 1 ，limx 0yx lim x 01 1xx x 1
2、x2即 h(x) f(x)g(x) 同理，I( x)1 ，即 I(x) f ( x)g(x)1x2梳理 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x) g(x)f(x )g(x) ，f(x)g(x) f(x )g( x)特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程知识点二 导数的乘法与除法法则1若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f( x)和 g(x)，则(1) f(x)g(x)f(x)g( x)f(x)g(x)(2) .fxgx f xgx fxg
3、xg2x2kf (x)kf( x)1若 f(x)a 22axx 2，则 f(a) 2a2x.( )2运用法则求导时，不用考虑 f(x)，g(x) 是否存在( )3f( x)g(x)f(x)g(x)( )类型一 利用导数四则运算法则求导例 1 求下列函数的导数(1)y ；2x3 3x x 1xx(2)y ；x2 1x2 3(3)y(x 1)(x3)( x5)；(4)yxsin x .2cos x考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解 (1)31322,yxx15.(2)方法一 yx2 1 x2 3 x2 1x2 3x2 32 .2xx2 3 2xx2 1x2 32 4xx2 32方法
4、二 y 1 ，x2 1x2 3 x2 3 2x2 3 2x2 3y (1 2x2 3) ( 2x2 3) 2 x2 3 2x2 3x2 32 .4xx2 32(3)方法一 y(x1)( x3) (x5)( x1)( x3)( x5)(x 1)(x3) (x1)(x3)(x5)(x 1)( x3)(2x4)(x5)( x1)( x3)3x 218x23.方法二 y( x1)(x3)(x5)( x24x3)(x5)x 39x 223x 15，y(x 39x 223x 15)3x 218x 23.(4)y(xsin x) (2cos x)xsin xx(sin x )2 cos x 2cos xco
5、s x2sin x xcos x .2sin xcos2x反思与感悟 1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换) ，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程3利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练 1 求下列函数的导数：(1)f(x)xln x；(2)y ；x 1x 1(3)y2x 3log 3x；(4)yxsin cos .x2 x2解 (1)f(x) (xln x)ln xx
6、 ln x1.1x(2)方法一 y .(x 1x 1) x 1 x 1x 12 2x 12方法二 y 1 ，x 1 2x 1 2x 1y (1 2x 1) ( 2x 1) .2 x 1 2x 1x 12 2x 12(3)y(2x 3log 3x)(2 x3)(log 3x)6x 2 .1xln 3(4)yxsin cos x sin x，x2 x2 12y 1 cos x.(x 12sin x) 12类型二 求导法则的逆向应用例 2 已知 f(x )是一次函数，x 2f(x)(2 x1) f(x)1 对一切 xR 恒成立，求 f(x)的解析式考点 导数的加法与减法法则题点 导数加减法则的逆向应
7、用解 由 f(x) 为一次函数可知，f(x)为二次函数，设 f(x)ax 2bxc(a0)，则 f(x )2axb，把 f(x)，f( x)代入关于 x 的方程得 x2(2axb)(2x1)(ax 2bxc) 1，即(ab)x 2(b2c )xc 10 ，又该方程对一切 xR 恒成立，所以Error!解得Error!所以 f(x)2x 22x 1.反思与感悟 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数跟踪训练 2 设 yf( x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等的实根，且 f
8、(x) 2x1.求yf(x) 的函数表达式考点 导数的加法与减法法则题点 导数加减法则的逆向应用解 f(x) 2x1，f(x)x 2xc (c 为常数)，又方程 f(x)0 有两个相等的实根，即 x2xc 0 有两个相等的实根，1 24c0，即 c ，14f(x)的表达式为 f(x)x 2x .14类型三 导数运算法则的综合应用命题角度 1 利用导数求函数解析式例 3 (1)已知函数 f(x) 2xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系；ln xx(2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数 a，b，c，d，使得 f(x)xcos x.考点 导数的应用题点
9、导数的应用解 (1)由题意得 f( x) 2f(1)，1 ln xx2令 x1，得 f (1) 2f(1)，即 f(1) 1.1 ln 11所以 f(x) 2x ，得 f(e) 2e 2e，ln xx ln ee 1ef(1)2，由 f(e)f(1) 2e 20)在 x x0 处的导数为 0，那么 x0 等于( )x2 a2xAa Ba Ca Da 2考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 B解析 y1 ，在 xx 0 处，函数 y 的导数是 1 0，x 0a.a2x2 x2 a2x a2x203已知物体的运动方程为 st 2 (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻 t2 时的速度
10、为( )3tA. B.194 174C. D.154 134考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 s2t ，在 t2 处，函数 st 2 的导数是 4 .即物体在时刻 t2 时3t2 3t 34 134的速度为 .1344若曲线 f(x)xsin x1 在 x 处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a 等于( )2A2 B1 C1 D2考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 f(x)sin x xcos x，由题意知 f 1，(2)( a2)a2.5若函数 f(x) 在 xx 0 处的导数值与函数值互为相反数，则 x0 的值等于( )exxA0 B1C. D不存在12考
11、点 导数的应用题点 导数的应用答案 C解析 f(x) ，xex exx2由题意知 f(x 0)f(x 0)0，即 0，解得 x0 .x0e ex20 x0 126函数 yf(x)sin xe x 的图像上一点 (0,1)处的切线的斜率为( )A1 B2 C3 D0答案 B解析 因为函数 yf( x)sin xe x 的导数为 ycos xe x，所以 f(0)cos 0e 02.所以函数 ysin xe x 的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为 2.7函数 f(x)x 3 的斜率等于 1 的切线有( )A1 条 B2 条C3 条 D不确定答案 B解析 f(x)3x 2，设切点为(x 0，y
12、0)，则 3x 1，得 x0 ，即在点 和点2033 ( 33，39)处有斜率为 1 的切线( 33， 39)8在下面的四个图像中，其中一个图像是函数 f(x) x3ax 2(a 21)x1( a0)的导函数13yf(x) 的图像，则 f(1)等于( )A. B C. D 或13 13 73 13 53考点 导数的应用题点 导数的应用答案 B解析 f(x)x 22ax (a 21)，导函数 f(x )的图像开口向上又a0，f(x )不是偶函数，其图像不关于 y 轴对称，故其图像必为.由图像特征知 f(0)0，且对称轴a0，a1，则 f(1) 11 ，故选 B.13 13二、填空题9已知函数 f
13、(x)f cos xsin x，则 f 的值为_(4) (4)考点 导数的应用题点 导数的应用答案 1解析 f(x)f sin xcos x，(4)f f ，(4) (4) 22 22得 f 1.(4) 2f(x)( 1)cos xsin x ，2f 1.(4)10曲线 yf(x )x ex2x 1 在点(0,1) 处的切线方程为_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 3xy10解析 f(x) e xxe x2，kf (0) e 0023，所以切线方程为 y13( x0)，即 3xy10.11已知 f(x)x( x1)(x2)(x3)(x4)(x5)6，则 f(0)_.考点 导数的运算法则题点
14、 导数乘法法则及运算答案 120解析 因为 f(x)x( x1)(x2)(x3)(x4)(x5)6，所以 f(x) (x1)( x2)( x3)(x4)(x5) x (x1)(x2)( x3)(x4)( x5)，所以 f(0)12345120.三、解答题12若曲线 yx 2ax ln x 存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围考点 导数的应用题点 导数的应用解 yx 2ax ln x ，y 2xa ，1x由题意可知存在实数 x0 使得 2xa 0，1x即 a2x 成立，1xa2x 21x 2.(当 且 仅 当 2x 1x，即 x 22时 等 号 成 立 )实数 a 的取值范围是2 ，
15、)213已知函数 f(x)ax 2bx 3(a0)，其导函数 f(x)2x8.(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)e xsin xf( x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)因为 f(x)ax 2bx3(a0) ，所以 f(x) 2axb，又 f(x )2x8，所以 a1，b8.(2)由(1)可知 g(x)e xsin xx 28x3，所以 g(x) e xsin xe xcos x2x8，所以 g(0)e 0sin 0e 0cos 02087，又 g(0)3，所以曲线 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0) ，即 7xy30
16、.四、探究与拓展14已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是4ex 1_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 34，)解析 y ，4exex 12 4exe2x 2ex 1设 te x(0，)，则 y ，4tt2 2t 1 4t 1t 2t 2(当且仅当 t1 时，等号成立) ，1ty1,0)， .34，)15设函数 f(x)ax ，曲线 yf (x)在点(2，f(2) 处的切线方程为 7x4y120.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x )上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数
17、的应用题点 导数的应用解 (1)由 7x4y120，得 y x3.74当 x2 时，y ，f(2) ，12 12又 f(x )a ，f(2) ，bx2 74由得Error!解得Error!故 f(x)x .3x(2)设 P(x0，y 0)为曲线上任一点，由 y1 知，曲线在点 P(x0，y 0)处的切线方程为3x2yy 0 (xx 0)，(1 3x20)即 y (xx 0)(x0 3x0) (1 3x20)令 x0，得 y ，6x0从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .(0， 6x0)令 yx，得 y x2x 0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x 0,2x0)所以点 P(x0，y 0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为 |2x0|6.12 | 6x0|故曲线 yf(x) 上任一点处的切线与直线 x0，y x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.