1、第 2 课时 椭圆简单性质的应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一 点与椭圆的位置关系思考 1 判断点 P(1,2)与椭圆 y 21 的位置关系x24答案 当 x1 时，得 y2 ，故 y ，而 2 ，故点在椭圆外34 32 32思考 2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点 P(x0，y 0)与椭圆 1(ab0)的位x2a2 y2b2置关系的判定吗？答案 当 P 在椭圆外时， 1；x20a2 y20b2当 P 在椭圆上时， 1；x20a2 y20b2当 P 在椭圆内时， b0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示：x2a2 y2b2位置关
2、系 满足条件P 在椭圆外 1x20a2 y20b2P 在椭圆上 1x20a2 y20b2P 在椭圆内 b0)或 1(ab0)，直线与x2a2 y2b2 y2a2 x2b2椭圆的两个交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则|AB| ，x1 x22 y1 y22|AB| x1 x22 kx1 kx22 1 k2x1 x22 ，1 k2x1 x22 4x1x2或|AB| (1ky1 1ky2)2 y1 y22 1 1k2y1 y22 .1 1k2y1 y22 4y1y2其中，x 1x 2，x 1x2 或 y1y 2， y1y2 的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到
3、关于 x(或 y)的一元二次方程求得1若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大( )2在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭圆中心的距离最小( )3在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长( )4设 A 是椭圆内一点，以 A 为中点的弦是唯一的( )类型一 直线与椭圆的位置关系例 1 已知直线 l：y 2xm，椭圆 C： 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：x24 y22(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，
4、得方程组Error!消去 y，得 9x28mx2m 240.方程的判别式 (8m )24 9(2m24)8m 2144.(1)当 0，即3 0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0 且 m1) 相切，则该椭圆的长轴长为( )6y2m2A1 B. 5C2 D2 5考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 D解析 由Error!消去 y，得(1m 2)x22 x6m 20，6由 24 4(1 m 2)(6m 2) 0，解得 m25，所以椭圆的长轴长为 2 .5类型二 弦长及中点弦问题例 2 已知椭圆 1 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A，B 两点x23
5、6 y29(1)当直线 l 的斜率为 时，求线段 AB 的长度；12(2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时，求 l 的方程考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y2 (x4)，即 y x.12 12由Error!消去 y 可得 x2180，若设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 20，x 1x218.于是|AB| x1 x22 y1 y22 x1 x22 14x1 x22 52 x1 x22 4x1x2 6 3 .所以线段 AB 的长度为 3 .52 2 10 10(2)设 A(x3，y 3)，B(x 4，y 4)，则有Err
6、or!两式相减得 0，x24 x2336 y24 y239整理得 kAB y4 y3x4 x3 9x4 x336y4 y3，由于 P(4,2)是 AB 的中点，x 3x 48，y 3y 44，于是 kAB ，98364 12于是直线 l 的方程为 y2 (x4) ，12即 x2y80.反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练 2 已知椭圆 ax2by 21(a0，b0 且 ab) 与直线 xy10 相交于 A，B 两
7、点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 ，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程222考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 方法一 设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1 x2)(x1x 2)b(y 1y 2)(y1y 2)0.A，B 为直线 xy 10 上的点， 1.y1 y2x1 x2由已知得 k OC ，代入式可得 b a.y1 y2x1 x2 22 2直线 xy10 的斜率 k 1.又|AB| |x2x 1| |x2x 1|2 ，1 k2 2 2|x 2x 1|2.联立 ax2by 21 与 xy10，可得(ab) x22bx b10.且由已知得
8、 x1，x 2 是方程(ab)x 22bxb10 的两根，x 1x 2 ，x 1x2 ，2ba b b 1a b4(x 2x 1)2 (x1x 2)24x 1x2 24 .(2ba b) b 1a b将 b a 代入式，解得 a ，b .213 23所求椭圆的方程是 1.x23 2y23方法二 由Error!得(ab) x22bx b10.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2ba b b 1a b且直线 AB 的斜率 k1，|AB| k2 1x1 x22 k2 1x1 x22 4x1x2 .24b2 4a bb 1a b|AB| 2 ， 2 ，22
9、4b2 4a bb 1a b 2 1.a b aba b设 C(x，y)，则 x ，y 1x .x1 x22 ba b aa bOC 的斜率为 ，22 ，将其代入 式得， a ，b .yx ab 22 13 23所求椭圆的方程为 1.x23 2y23类型三 椭圆中的最值(或范围 )问题例 3 已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的最值问题解 (1)由Error!得 5x22mx m 210，因为直线与椭圆有公共点， 所以 4m220( m21)0，解得 m
10、 .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，由(1)知 5x22mx m 210，所以 x1x 2 ，x 1x2 (m21) ，2m5 15所以|AB| x1 x22 y1 y22 2x1 x22 2x1 x22 4x1x2 .24m225 45m2 1 25 10 8m2所以当 m0 时，|AB|最大，此时直线方程为 yx.引申探究 在本例中，设直线与椭圆相交于 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，求AOB 面积的最大值及AOB 面积最大时的直线方程解 可求得 O 到 AB 的距离 d ，|m|2又|AB| ，2510 8m2S AOB |A
11、B|d12 122510 8m2|m|2 ，25 (54 m2)m2 25(54 m2) m22 14当且仅当 m 2m 2 时，等号成立，54此时 m .104 52，52所求直线的方程为 xy 0.104反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练 3 已知椭圆 C：x 22y 24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若
12、点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求|AB|的最小值考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题解 (1)椭圆 C：x 22y 24 化为标准方程为 1，x24 y22a2，b ，c ，2 2椭圆 C 的离心率 e .ca 22(2)设 A(t,2)，B( x0，y 0)，x 00.OA OB， 0，OA OB tx 02y 00，t .2y0x0又x 2y 4，02 2 2 2C21 Bm1 且 m3Cm3 Dm 0 且 m3考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆公共点的个数问题答案 B解析 由Error!(3m)x 24mx m 0，直线与椭
13、圆有两个公共点，Error!Error!又m0 且 m3，m1 且 m3.4过点 P(1,1)的直线交椭圆 1 于 A，B 两点，若线段 AB 的中点恰为点 P，则 ABx24 y22所在的直线方程为_考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 x2y30解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!又Error!两式相减得 .y1 y2x1 x2 12AB 所在的直线方程为 x2y 30.5已知以 F1( 2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x y40 有且仅有一个公共点，则椭3圆的长轴长为_考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 2
14、 7解析 由题意可设椭圆的方程为 1(a2) ，x2a2 y2a2 4与直线方程 x y40 联立，3得 4(a23) y28 (a24)y (16a 2)(a24) 0，3由 0 ，得 a ，7所以椭圆的长轴长为 2 .7解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)(2)联立直线与椭圆的方程(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程，并判断 .(4)利用根与系数的关系设而不求(5)把题干中的条件转化为 x1x 2，x 1x2 或 y1y 2，y 1y2，进而求解一、选择题1已知直线 l：x y30，椭
15、圆 y 21，则直线与椭圆的位置关系是( )x24A相交 B相切C相离 D相切或相交考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 C解析 把 xy30 代入 y 21，x24得 (3 x) 2 1，即 5x224x320.x24(24) 24532641Bm1 或 0m，则 1，m若 5b0)的离心率为 ，若直线 ykx 与椭圆的一个交点的横坐标 x0b，x2a2 y2b2 22则 k 的值为( )A. B C. D22 22 12 12考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程答案 B解析 根据椭圆的离心率为 ，得 .22 ca 22由 x0b，得 y b 2 ，2
16、0 (1 b2a2) b2c2a2y 0 ，k .bca y0x0 ca 227已知 A，B 是椭圆 1(ab0) 长轴的两个端点， M，N 是椭圆上关于 x 轴对称的x2a2 y2b2两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k 2(k1k20)，若椭圆的离心率为 ，则|k 1| k2|的最32小值为( )A1 B. C. D.232 3考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 A解析 设 M(x，y )，N (x，y)(axa) ，则 k1 ，k 2 ，yx a ya x又因为椭圆的离心率为 ，32所以 ，ba 1 e2 12|k1|k 2| 2 1，故选 A
17、.|y|x a |y|a x y2a2 x2 2ba8设 F1，F 2 分别是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，过点 F1，F 2 分别作 x 轴的垂线，x2a2 y2b2交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e 为( )A. B.3 12 5 12C. D.22 32考点 椭圆简单性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 B解析 将 xc 代入椭圆方程，得 y .b2a由题意得 2c，即 b2ac，2b2a所以 a2c 2ac，则 2 10，(ca) ca解得 (负值舍去)ca 5 12二、填空题9若直线 ya 与椭圆 1 恒有两个不同的交点，则 a 的取值范围是_x23 y24考点 直线与
18、椭圆的位置关系题点 直线与椭圆公共点的个数问题答案 (2,2)解析 根据椭圆的范围知：2y2，2b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c，若直线x2a2 y2b2y (xc)与椭圆的一个交点 M 满足MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率为3_考点 椭圆简单性质的应用题点 求椭圆的离心率的值答案 13解析 由直线方程 y (xc) ，得直线与 x 轴的夹角MF 1F2 ，且过点33F1(c,0)MF 1F22MF 2F1，MF 2F1 ，F 1MF2 ，即 F1MF 2M.在6 2RtF 1MF2 中， |F1F2|2c，|F 1M|c，| F2M| c，由椭圆定义可得 2a
19、c c，3 3离心率 e 1.2c2a 21 3 311若椭圆 mx2ny 21(m0，n0)与直线 xy10 交于 A，B 两点，若 ，则过原nm 2点与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为_考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 22解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!得 m(x1 x2)(x1x 2) n(y1y 2)(y1y 2)0，即 0.mn y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2 1， ，y1 y2x1 x2 nm 2 ，y1 y2x1 x2 22k OM .22三、解答题12已知点 A，B 是椭圆 C： 1( a0，b0)与直线 x3y2
20、0 的交点，点 M 是 ABx2a2 y2b2的中点，且点 M 的横坐标为 ，若椭圆 C 的焦距为 8，求椭圆 C 的方程12考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，M (xM，y M)，由题意得Error!两式相减，得 0，xA xBxA xBa2 yA yByA yBb2即 kAB0，2xMa2 2yMb2点 M ，( 12，12) 0，1a2 1b2 13a 23b 2.又c4，a 224，b 28，经检验，a 224，b 28 符合题意，椭圆 C 的方程为 1.x224 y2813在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0 ，
21、)，(0， )的距离之和等于 4，设点 P3 3的轨迹为 C.(1)写出 C 的方程；(2)设直线 ykx1 与 C 交于 A，B 两点，当 k 为何值时 ？此时|AB|的值是多少？OA OB 考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积问题解 (1)设 P(x， y)，由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0， )，(0， )为焦点，长半轴长为 2 的椭圆它的短半轴长 b3 31，22 32故曲线 C 的方程为 x2 1.y24(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组Error!消去 y，并整理得( k24)x 22kx30，4k 2 43(k24)0，故 x
22、1x 2 ，x 1x2 .2kk2 4 3k2 4 ，x 1x2y 1y20.OA OB y 1y2k 2x1x2k (x1x 2)1，x 1x2y 1y2 13k2 4 3k2k2 4 2k2k2 4 . 4k2 1k2 4又 x1x2y 1y20，k ，满足 0.12当 k 时，x 1x 2 ，x 1x2 .12 417 1217|AB| x2 x12 y2 y12 ，1 k2x2 x12而(x 2 x1)2(x 2x 1)24x 1x2 4 ，42172 1217 4313172|AB| .544313172 46517四、探究与拓展14已知椭圆 C： y 21 的两焦点为 F1，F 2
23、，点 P(x0，y 0)满足 0b0)与直线 xy10 相交于 P， Q 两点，且 (O 为坐标原x2a2 y2b2 OP OQ 点)(1)求证： 等于定值；1a2 1b2(2)若椭圆的离心率 e ，求椭圆长轴长的取值范围33，22考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题(1)证明 椭圆的方程可化为 b2x2a 2y2a 2b20.由Error!消去 y，得(a 2b 2)x22a 2xa 2(1b 2)0.由 4 a44( a2b 2)a2(1b 2)0，得 a2b 21.设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .2a2a2 b2 a21 b2a2 b2 ， x1x2y 1y20 ，OP OQ 即 2x1x2(x 1 x2)10，即 10，2a21 b2a2 b2 2a2a2 b2a 2b 22a 2b2，即 2.1a2 1b2 等于定值1a2 1b2(2)解 e ，b 2a 2c 2a 2a 2e2.ca又a 2b 22a 2b2，2e 22a 2(1e 2)，即 a2 .2 e221 e2 12 121 e2 e ，33 22 a 2 ，即 a ，54 32 52 62 2a ，即椭圆长轴长的取值范围是 ， 5 6 5 6